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人教A版（2019）选择性必修第二册《5.3.1 函数的单调性》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知集合若，则集合可以是
A. B.
C. D.
2.（5分）定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数在其定义域的某个区间上为“等域函数”，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
3.（5分）已知，，则是的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.（5分）设函数的定义域为，则“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.（5分）若，是任意实数，且，则
A. B.
C. D.
6.（5分）已知，，均为实数，其中，则下列不等式一定成立的是
A. B.
C. D.
7.（5分）已知，则
A. B. C. D.
8.（5分）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是
A. B.
C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知不等式的解集是，则不等式的解集是____________________.
10.（5分）年是中国共产党成立周年，某校为了庆祝建党周年，组织了一系列活动，其中红歌会比赛就是其中一项．已知高一年级选手人数多于高二年级选手人数，高二年级选手人数多于高三年级选手人数，高三年级选手人数多于教师选手人数，教师选手人数的倍多于高一年级选手人数，则参加红歌会的选手至少有 ______人．
11.（5分）函数的导函数是奇函数，则实数______．
12.（5分）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，且函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值范围是___.
13.（5分）某社团专门研究密码问题．社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，但密码的编写方式不变，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后的前位数字．编码方式如下：①为某社员的首拼声母对应的英文字母在个英文字母中的位置；②若为偶数，则在正偶数数列中依次插人数值为的项得到新数列，即，，，，，，，，，，…；若为奇数．则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即，，，，，，，，，， ；③为数列的前项和．如当值社员姓康，则在个英文字母中排第位．所以前项中有，，所以有个奇数．故，所以密码为，若今天当值社员姓唐在个英语字母中排第位，则当日密码为 ______.
三 、多选题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）下列说法正确的是
A. 命题“，都有”的否定是“，使得”
B. 当时，的最小值是
C. 若不等式的解集为，则
D. “”是“”的充要条件
15.（5分）已知，为正实数，且，则
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
16.（5分）下列说法正确的是
A. 当时，
B. 的最小值为
C.
D. 若，，则
17.（5分）设全集为，下列命题正确的是
A. 若，则 B. 若，则或
C. 若，则 D. 若，则
18.（5分）的内角，，的对边分别为，，，下列四个命题中正确的是
A. 若，则一定是锐角三角形
B. 若 ，则一定是等边三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是等腰三角形.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）设集合，，若，求实数的值．
20.（12分）在中，，，所对的边分别为，，，且，，
求的大小；
求的值．
21.（12分）某校有个学生参加了数学小组，个学生参加了物理小组，个学生参加了化学小组，他们之中同时参加数学、物理小组的有人，同时参加数学、化学小组的有人，同时参加物理、化学小组的有人，同时参加个小组的有人，现在这三个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，问需要预购多少张车票
22.（12分）已知，
证明：；
计算：的值．
23.（12分）在①两个相邻对称中心的距离为，②两条相邻对称轴的距离为，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．
问题：函数的图象过点，且满足________，当时，，求的值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：集合，
，
集合
在中，，
故选：
求出集合，由此利用，能求出结果．
此题主要考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义的合理运用．
2.【答案】D;
【解析】解：由题意得，函数的图象与直线在上有两个交点，即方程在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根．
设函数，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以在处取得极大值，也是最大值，为
又，
故，解得
故选：
由题意可得函数的图象与直线在上有两个交点，即在上有两个不等实根．构造函数，通过导数求函数的最值与区间端点值，数形结合求解即可．
此题主要考查了导数的新定义问题，考查转化思想，属于中档题．
3.【答案】A;
【解析】
此题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题.
根据充分和必要条件的定义即可求解.
解：由，可推出，
由，推不出，
所以是的充分而不必要条件，
故选：
4.【答案】A;
【解析】解：若函数在上单调递增，
则函数在上的最大值为，
若，则函数在上的最大值为，
但函数在上不单调，
故选：
根据充分、必要条件的定义，判断命题的真假性即可．
此题主要考查了充分、必要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查比较大小，涉及不等式的性质，对数函数、指数函数与幂函数的性质，属于基础题．
由题意可知，对于选项、、举出反例判断即可，根据指数函数的性质可判断

解：若，，则，故错误；
若、为负数，则无意义，故错误；
若，则，故错误；
因为在上单调递减，，
所以，故正确．
故选
6.【答案】D;
【解析】解：对于：已知，，均为实数，其中，所以不一定成立，故错误；
对于：当时，，故错误；
对于：当时，选项错误；
对于：由于，且，故，成立，故正确；
故选：
直接利用作差法和不等式的性质的应用判断、、、的结论．
此题主要考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7.【答案】B;
【解析】解：因为，
所以，可得，
则
故选：
利用两角和与差的余弦公式化简已知等式可得，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
此题主要考查了两角和与差的余弦公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查函数图象的应用，利用函数的图象特征，检验各个选项中的函数是否满足条件，从而得出结论.

解：由图像可得，函数的定义域为，从而不正确函数为偶函数，从而不正确；在上为增函数，，从而不正确；综上答案为
故选
9.【答案】;
【解析】由题意，知，是方程的两个根，且，
所以，解得.
故不等式为，解得或.
10.【答案】14;
【解析】解：设教师选手人数为，则高一，高二，高三年级选手分别至少为，，
由题知，所以
取，故参加红歌会的选手至少有
故答案为：
设教师选手人数为，则高一年级选手至少为，由题得，解不等式即可．
此题主要考查不等关系的应用，属于基础题．
11.【答案】3;
【解析】解：根据题意，函数，
其导数，
又由其导函数是奇函数，则，
解可得，
故答案为：
根据题意，求出函数的导数，由奇函数的性质可得，分析可得答案，即可得答案．
该题考查导数的计算以及奇函数的性质，关键是求出函数的导数，属于基础题．
12.【答案】;
【解析】

此题主要考查函数的零点问题，涉及对数函数的图象和性质，利用导数的几何意义研究曲线的切线，涉及函数的解析式的求法，属中高档题，关键是确定函数的解析式，然后结合对数函数的图象及导数的几何意义，利用数形结合思想方法求解

解：函数在定义域上是单调函数，存在唯一的常数，使得，
又若对任意，都有，
，，，
解得或，
的定义域为，当时，无意义，故舍去，
，，，
，有且只有两个零点，等价于有且只有两个零点，
亦即对数函数的图象和直线有且只有两个不同的交点，
画出对数函数的图象，

当直线与函数相切时的切点，
，，
解得，
根据图象得到为使函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值范围是，
故答案为.

13.【答案】289855;
【解析】解：①在个英文字母中排第位，所以，
②为偶数，所以构造新数列，前项为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
③为数列的前项和，故的小数点后的前位数字为
故答案为：
根据题意，首先确定在个英语字母中排第位；为偶数，所以构造新数列；最后进行数列求和，求出，获取的小数点后的前位数字即为密码．
此题主要考查简单的合情推理，属于基础题．
14.【答案】BC;
【解析】解：对于：命题“，都有”的否定是“，使得”，故错误；
对于：当时，，当且仅当，即时，等号成立，故正确；
对于：由不等式的解集为，
可知，，
，，，故正确；
对于：由“”可推出“”，
由，可得或，推不出“”，故错误，
故答案为：
对于：写出命题的否定，即可判断是否正确；
对于：利用基本不等式，即可判断是否正确；
对于：利用根与系数关系，解得，，即可判断是否正确；
对于：由“”可推出“”，可得或，推不出“”，即可判断是否正确．
此题主要考查命题的真假，解题中需要理清思路，属于中档题．
15.【答案】ABD;
【解析】解：对于选项，，即，
又，为正实数，所以，即，当且仅当时，不等式可取等号，故A正确；
对于选项，，即，
又，为正实数，所以，当且仅当时，不等式可取等号，故B正确；
对于选项，，，
，
当且仅当，即，时，不等式可取等号，故C错误；
对于选项，，，
即，
当且仅当，即，时，不等式可取等号，故D正确；
故选：．
由不等式可分析选项，由不等式可分析选项，由已知得出，通过恒等变形以及基本不等式可分析，．
该题考查利用基本不等式求最值，考查恒等变形的能力，属于较难题．
16.【答案】ACD;
【解析】解：对于：由于，故，当且仅当时，等号成立，故正确；
对于：函数，设，所以，当时，对勾函数在时取得最小值，
即时，，故错误；
对于：，当时，等号成立，故正确；
对于：若，，故，，
则，故正确．
故选：
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用判断、、、的结论．
此题主要考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
17.【答案】ACD;
【解析】解：对于选项，若，则，即，故正确；
对于选项，考虑，，满足，但，，故错误；
对于选项，若，则，即，故正确；
对于选项，若，则有，故正确．
故选：
由集合的交、并、补集运算说明正确；举反例可得错误．
此题主要考查交、并、补集的混合运算，考查集合的运算法则，是基础题．
18.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了正弦、余弦定理的运用，三角函数恒等变换，属于中档题.
根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．

解： 对于，中，，
，又，
所以角为锐角，但不一定是锐角三角形，故错误；
对于，若，
则由正弦定理得，即，
又，，即是等边三角形，故正确；
对于，若，
则由正弦定理得，即，
则或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于，若，
则由正弦定理得，
即，则是等腰三角形，故正确；
故选
19.【答案】解：A={x|+4x=0，x∈R}={0，-4}
∵B A
∴B= 或{0}或{-4}或{0，-4}；
①当B= 时，Δ=[2（a+1）]2-4 （-1）＜0 a＜-1
②当B={0}时， a=-1
③当B={-4}时， a不存在
④当B={0，-4}时， a=1
∴a的取值范围为（-∞，-1]∪{1}．;
【解析】
解可得集合，由，进而可得或或或，分别求出的值，综合可得答案．
此题主要考查集合间的相互关系，涉及参数的取值问题，注意分析的情况．
20.【答案】解：因为，可得，
所以，
因为，
所以
因为，，，
所以，
所以由正弦定理，可得，
解得;
【解析】
化简已知等式可得，利用余弦定理可求，结合范围，可求的值．
由题意利用三角形内角和定理，两角和的正弦公式以及诱导公式可求的值，进而利用正弦定理即可求解的值．
此题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦公式以及诱导公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21.【答案】解：由题意可画图如图所示，由图可以看出，参加三个小组的学生共有人，所以需要购买张车票.
;
【解析】此题主要考查图的应用，属于基础题.
利用图求解即可.
22.【答案】解：（1）证明：由条件，，
即，，
解得，，可得=-5，
从而可得tanα=-5tanβ，tanα+5tanβ=0得证．
（2）由，可得tanα-tanβ=tan（α-β）（1+tanαtanβ），
∴原式===．;
【解析】
由题意，把所给条件利用两角和差的三角公式展开，化简可得结论．
由题意，把两角差的正切公式展开变形，代入要求的式子化简，可得结论．
此题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
23.【答案】解：由函数的图象过点，得，
又因为，所以，
在①②③三个条件中任选一个，可知最小正周期，
根据， 得，
所以，
由，得，
由，得，
所以，


;
【解析】此题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，属于中档题.
先由求出，由三个条件中任选一个，可知最小正周期，得，求出 ，结合条件以及同角三角函数关系求得，再利用两角差的正弦公式即可求解

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