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指数函数与对数函数测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
2．设alog34＝2，则4﹣a＝（　　）
A． B． C． D．
3．设a＝log32，b＝log53，c，则（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4．已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
5. 函数 的图象大致是(
6. 1614 年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数; 1637年笛卡尔开始使用指数运算; 1770年, 欧拉发现了指数与对数的互逆关系, 指出：对数源于指数, 对数的发明先于指数, 称为历史上的珍闻. 若 , 则的值约为( )
A. B. C. D.
7. 设 , 则( ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数 若 , 则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．以下说法正确的是（ ）
A．
B．若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数
C．
D．已知是幂函数，则m的值为4
10．已知函数，若，则的所有可能值为（ ）
A．1 B． C．10 D．
11．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数g(x)过点(9,2)，则f(2)＝____.
14．已知函数f(x)＝为定义在区间[－2,3 －1]上的奇函数，则a＝____，b＝____.
15．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为____.
16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；
③设野生薇甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；
④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中正确的说法有____(请把正确说法的序号都填在横线上)．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10 分)解答下列各题: (1)求 的值;
(2)求 的值;
(3)若 , 化简 .
18. (12 分) 已知函数 是定义在 上的奇函数, 且当 时, .
(1) 求函数 的解析式;
(2)画出函数的图象, 根据图象写出函数 的单调区间.
19. (12 分) 已知函数 .
(1) 求函数 的最大值和最小值;
(2)若实数 满足: 恒成立, 求 的取值范围.
20．若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
21．已知函数，.
（1）若在区间上单调递增，求m的取值范围；
（2）求在区间上的最小值；
（3）讨论在区间上的零点个数.
22．设为实数，函数.
（I）若，求实数的取值范围；
（II）当时，讨论方程在上的解的个数.
参考答案
1解析：
a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，则b＞a＞1，
log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜a＜b，故选：D．
2解析：
因为alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9则4﹣a，故选：B．
3解析：
∵a＝log32，b＝log53，
c，∴a＜c＜b．故选：A．
4解析：
∵log53 log581，∴a＜b；
∵55＜84，∴5＜4log58，∴log58＞1.25，∴b＝log85＜0.8；
∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b，
综上，c＞b＞a．故选：A．
5解析：
由函数 可知 , 函数是偶函数, 排除选项 ; 当 时, . 故选 D.
6解析：
. 故选 A.
7解析：
,,
,,又 ,
,,
故选 A.
8解析：
作出 图象, 如图.
由对数函数图象的变化趋势可知, 要使 , 则 , 且 , 即 对任意 恒成立, 所以 , 综上 . 故选 D.
9解析：
对A项，当时，，则A错误；
对B项，设，，则函数是奇函数，则B正确；
对C项，设，，则C错误；
对D项，，则D正确；
故选：BD
10解析：
当时，由，可得，当，，可得
解得，的所有可能值为：或
故选：AD.
11解析：
因为，，所以．因为在上单调递增，所以．因为是偶函数，
所以，
，
．所以．
故选：AC
12解析：
根据题意知，．
，，
，，函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，是奇函数，B正确；
由复合函数的单调性知在上是增函数，C正确；
，，，
，D错误．
故选BC．
13解析：
由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(9,2)，可得：y＝ax图象过点(2,9)，
所以a2＝9，又a>0，所以a＝3.所以f(2)＝32＝9.
14解析：
因为f(x)是定义在[－2 ,3 －1]上的奇函数，
所以定义域关于原点对称，即－2a＋3a－1＝0，所以a＝1，
因为函数f(x)＝为奇函数，
所以f(－x)＝＝＝－，
即b·2x－1＝－b＋2x，所以b＝1.
15解析：
由<0.01，得2n>＝40，故n的最小值为6.
16解析：
∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t＝5时，S＝32>30，故②正确；∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，
∴t1＋t2＝t3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．
17解析：
(1) 原式 .
(2) 原式 .
(3) 因为 , 所以 , 所以原式 .
18解析：
(1) 因为 是定义在 上的奇函数,
所以 , 当 时,所以函数 的解析式为:
(2) 函数图象如图所示,
通过函数的图象可以知道, 的单调递减区间是 .
19解析：
(1) .
令 , 因为 , 所以 .
令 .
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增.
所以 .
(2) 因为 恒成立, 即 恒成立, 所以 . 由 (1) 知 ,
所以 .
故 的取值范围为 .
20解析：
(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，
∴f(t)＝ (at－a－t)．
∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．
∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，
∴f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，
∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．
由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，
只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.
∴ ()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，
∴2－≤a≤2＋.又a≠1，
∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]．
21解析：
（1）由题意，函数开口向上，对称轴的方程为，
若使得函数在上单调递增，则满足，解得，
即实数m的取值范围.
（2）①当即时，函数在区间单调递增，
所以函数的最小值为；
②当，即时，
函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为；
③当即时，函数在区间单调递减，
所以函数的最小值为，
综上可得，函数的最小值为.
（3）因为函数的对称轴方程为，且恒成立，
①当，即时，函数在区间上有2个零点；
②当，此时m不存在；
③当，此时m不存在；
④当，即，解得或时，函
数在区间上有1个零点.
综上可得：当时，函数在区间上有2个零点，
当或时，函数在区间上有1个零点.
22解析：
（I）因为，即，
当时，不等式为恒成立，满足条件，
当时，不等式为，解得，
综上所述的取值范围是.
（II）由题意，函数，
可得当时，函数的对称轴方程为；
当时，函数的对称轴方程为；
当时，函数的对称轴方程为，
所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
又由，
所以在上单调递减，
所以，
所以在和上各有一个零点，
综上所述时，函数在上有两个解.

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