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人教A版（2019）必修第一册《5.4 三角函数的图像与性质》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知，，有下列个命题：
若，则的图象关于直线对称
与的图象关于直线对称
若为偶函数，且，则的图象关于直线对称
若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.
其中正确的命题的个数为
A. B. C. D.
2.（5分）函数的单调递增区间为
A.
B.
C.
D.
3.（5分）已知当时，恒成立，则正实数的取值范围为
A. B. C. D.
4.（5分）已知函数的定义域是，对任意当时，关于函数给出下列四个命题：①函数是奇函数；②函数是周期函数；③函数的全部零点为；④当时，函数的图象与函数的图象有且只有三个公共点．其中真命题的个数为
A. B. C. D.
5.（5分）若是上周期为的奇函数，且满足，，则
A. B. C. D.
6.（5分）已知是上的偶函数，且满足，当时，，则等于
A. B. C. D.
7.（5分）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若，则
A. B. C. D.
8.（5分）已知是定义在上周期为的偶函数，且当时，，则函数的零点个数是
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知定义在上的函数满足对任意都有成立，且函数的图像关于直线对称，则________.
10.（5分）函数的定义域是 ______ .
11.（5分）已知函数若，则满足的的值为________.
12.（5分）已知是奇函数，若函数有个不同的零点，记为，则________.
13.（5分）若对任意，恒成立，则实数的取值范围______．
三 、多选题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，已知函数，函数，则
A. 函数的值域是
B. 函数是周期函数
C. 函数的图象关于对称
D. 方程只有一个实数根
15.（5分）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是
A. 是偶函数 B. 的最小正周期
C. D. 在单调递减
16.（5分）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则
A. 函数是周期函数
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数为上的偶函数
D. 函数为上的单调函数
17.（5分）已知函数是上的奇函数，且满足，当时，则下列四个命题中正确的是
A. 函数为奇函数 B. 函数为偶函数
C. 函数的周期为 D. 函数在区间上有个零点
18.（5分）设是定义在上的偶函数，满足，且在上是增函数，给出下列关于函数的判断正确的是
A. 是周期为的函数 B. 的图象关于直线对称
C. 在上是增函数 D.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知中，角所对的边分别为
若，求；
若，求的最大值．
20.（12分）已知函数
若，求；
证明：对，，
21.（12分）定义在上的奇函数有最小正周期，当时，
讨论在上的单调性；
求在的表达式；
函数有零点，求实数的取值范围．
22.（12分）已知函数．
Ⅰ作出函数，的图象不要求写出作图过程；
Ⅱ令，求函数的定义域及不等式的解集．
23.（12分）已知函数是奇函数．
Ⅰ求函数的定义域及实数的值；
Ⅱ若函数满足且时，，求的值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】

此题主要考查了奇偶函数的定义和图象的对称性，同时考查了学生综合应用条件的能力，是个中档题也是易错题利用奇偶函数的定义和性质，得与的关系，再利用函数图象关于直线对称的条件分别进行判断即可.

解：①若，
则的图象关于直线对称；故①正确，
的图象向右平移个单位，可得的图象，
将的图象关于轴对称得的图象，
然后将其图象向右平移个单位得的图象，
与的图象关于直线对称；②正确．
，，
为偶函数，，，
的图象自身关于直线对称，③正确．
为奇函数，且，
，
的图象自身关于直线对称，④正确；
综上正确的命题是①②③④，
故选：
2.【答案】A;
【解析】解：由，得，
故函数的单调递增区间为，．
故选：．
利用正弦函数的单调性，即可求得单调递增区间．
这道题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
3.【答案】D;
【解析】解：当时，，显然恒成立，
当时，，所以，
记，，则，，
令，则，
所以在上单调递增，，
若，则，记，，则，
所以存在，使得，当时，，单调递减，
所以当时，，不符合题意，
若，则，即当时，单调递增，
所以，符合题意．
综上所述，正实数的取值范围是
故选：
先对在区间上进行讨论，可以看成显然成立，然后只需对区间讨论，转化为，，研究函数的单调性，即可求得的取值范围．
此题主要考查不等式恒成立问题，三角函数的最值，导数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
4.【答案】C;
【解析】

此题主要考查函数性质的综合应用，难度一般根据已知条件作出草图，利用图象进行分析判断即可.

解：任意，，可知函数是周期为的函数，即②正确；又当时，
如图所示：

根据图象可知②③正确又，所以①错误；
根据函数的图象与函数的图象在上有且只有三个公共点，④正确.
故选
5.【答案】A;
【解析】解：是上周期为的奇函数，且满足，，

，
故选：
根据函数的奇偶性和周期性进行转化求解即可．
此题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性之间的关系进行转化是解决本题的关键．
6.【答案】A;
【解析】解：是上的偶函数，且满足，
该函数的周期为
，
故选：
先求出函数的周期，然后将根据周期性和奇偶性将转化成，代入解析式即可求出所求．
此题主要考查了函数的奇偶性和周期性，同时考查了转化的思想，属于中档题．
7.【答案】A;
【解析】【试题解析】
解：根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为，
故，，
若，则有，
又由函数为奇函数，则有，变形可得，
又由当时，，则有，
解可得；
故选：
根据题意，分析可得函数的周期为，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．
此题主要考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】解：当时，，函数的周期为，
时，，
可作出函数的图象；
图象关于轴对称的偶函数．
函数的零点，即为函数图象交点横坐标，
当时，，此时函数图象无交点，
如图：
又两函数在上有个交点，由对称性知它们在上也有个交点，且它们关于直线轴对称，
可得函数的零点个数为；
故选：．
分别作出函数，的图象，结合函数的对称性，利用数形结合法进行求解；
这道题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于基础题．
9.【答案】;
【解析】
此题主要考查了函数的周期性及对称性，函数的奇偶性，属于中档题.
由向右平移个单位可得的图象可知，函数的图象关于对称，即函数为偶函数，在已知条件中令，可求及函数的周期，利用所求周期即可求解得到的值．

解：向右平移个单位可得的图象，
的对称轴向右平移个单位可得的对称轴，
函数的图象关于对称 ， 即函数为偶函数，

令，，
令可得：，
偶函数则上面两个式子相减可得：，
函数的周期为，

故答案为
10.【答案】;
【解析】解：由可解得，，
函数的定义域为，
故答案为：
由解不等式可得函数的定义域．
此题主要考查正切函数的定义域，属基础题．
11.【答案】;
【解析】
此题主要考查分段函数，以及函数的对称性.

解：当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的图象如下：

观察函数的图像可知函数关于点对称，
所以，
又因为…，
所以，解得，
所以，解得，故答案为
12.【答案】;
【解析】
此题主要考查函数的寄偶性、图象对称性，函数零点与方程根的关系，属于中档题.
根据图象对称性，这些交点关于点两两对称，即可的答案.

解：因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称.
设，易知函数的图象也关于点对称，
且点不在的图象上.
函数有个不同的零点等价于函数与的图象有为偶数个不同的交点，且这些交点关于点两两对称，
所以
13.【答案】（1-，+∞）;
【解析】解：不等式可化为；
设，则，
原不等式化为在上恒成立，
①或②或③；
解①得，
解②得是空集，
解③得；
实数的取值范围是．
故答案为：．
根据同角的三角函数关系，利用换元法设，，原不等式化为在上恒成立，分类讨论，建立不等式组，即可求出实数的取值范围．
该题考查了不等式的恒成立问题，解答该题的关键是转化为二次不等式恒成立问题，是综合性题目．
14.【答案】AD;
【解析】解：，
所以是偶函数，而不是周期函数，为周期函数，
对于，当时，，
当时，，
所以，，，，，
故A正确，由是偶函数，则为偶函数，
时，成周期性，但起点为，所以在上不是周期函数，故B不正确；
函数的图象关于对称，不关于对称，故C不正确；
，当时，，当时，，与只有交点即方程只有一个实数根，故D正确．
故选：．
先根据函数奇偶性的定义进行判定，然后考虑的部分，讨论的范围求出的解析式，从而可得结论．
这道题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及函数的值域和方程的解，同时考查了学生分析问题的能力．
15.【答案】ABC;
【解析】【试题解析】

此题主要考查的是抽象函数的奇偶性，周期性和对称性，以及单调性.
由函数的图象关于直线对称，得关于对称，即为偶函数，根据已知条件赋值可求，可得函数是以为周期的周期函数，再由可得出的值，由对任意的，，且，都有，可判断在单调性.

解：函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，故正确；
对任意 都有，且，
，
，即，，
，即函数最小正周期为，
，故正确；
又对任意的，，且，都有，
在上是增函数，根据的最小正周期为，且为偶函数，
在单调递增，故错误，
故选
16.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性以及对称性的应用，属于中档题.
根据题意，结合奇偶性、单调性、周期性以及对称性，逐项判定，即可得到答案.
【解析】
解：因为 ，
所以 ，即，故正确；
因为函数 为奇函数，
所以函数 图像关于原点成中心对称，所以 正确；
又函数 为奇函数，所以 ，
根据 ，
令代有 ，
所以 ，
令代有 ，即函数 为上的偶函数，正确；
因为函数为奇函数，所以 ，
又函数 为上的偶函数， ，所以函数不单调，故不正确.
故答案为
17.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性、周期性、对称性和函数的零点个数问题，属于较难题.
利用函数的奇偶性、周期性、对称性和函数的零点与方程的根的关系对选项逐个判断即可.

解：若函数为奇函数，则，令，则，
又，所以，又函数的图象关于直线对称，所以，
故，与当时，矛盾，故选项错误；
因为，所以，
又是上的奇函数，所以，即，
故，所以函数的图象关于直线对称，
所以为偶函数，选项正确；
令，得，故，
又是上的奇函数，所以，所以，所以，
所以，所以函数的周期为，选项正确；
是上的奇函数，则，又，且当时，，
所以当时，只有个根.
又函数的图象关于直线对称，
所以当时，只有，
故当时，只有个根，
由对称性知，当时，只有个根，
所以函数在区间上有个零点，故选项错误.
所以选
18.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查函数的周期性，单调性，对称性及抽象函数，考查数形结合思想，属于中档题．
由题意是定义在上的偶函数，满足，可以知道该函数的周期为，再利用为偶函数且在上为增函数，可以由题意画出一个草图即可判断.

解：因为，
所以，
由函数的周期定义可知该函数的周期为，故正确；
由于为定义在上的偶函数且在上为单调递增函数，
所以由题意可以画出的函数草图为：

由图及题中条件可以得到：
由图可以知道该函数关于对称，所以正确；
由已知条件是定义在上的偶函数且在上是增函数，
所以在上为单调递减函数，故错误；
对于，
令，得到： ，
又，则，
所以，故正确．
故选
19.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，，
所以，，
因为，由正弦定理得，
由余弦定理得
，
当时，可取最大值;
【解析】此题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，难度一般，
正弦定理结合已知条件和角的取值范围可得答案；
直接应用正弦定理余弦定理结合可得答案.
20.【答案】解：（Ⅰ）由题意知，则．
证明：（Ⅱ），
由（Ⅰ）得，
故，
=，
其中1+cos（+）-2coscos=1-coscos-sinsin=1-cos（-）≥0，
∵+∈（0，π），
∴sin（+）＞0，
故．;
【解析】
直接利用万能公式的应用求出三角函数的值；
利用作差法和三角函数的值的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：三角函数的求值，万能公式，作差法，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
21.【答案】解：当时，
，
易得在上单调递增，
证明如下：令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，
在上的单调递减.
当时，，，
，，，
，

在上递减，取值范围为；
在上递减，取值范围为，
，
故的范围为;
【解析】
当时，，利用在上单调递增，即可得出在上的单调性；
利用奇函数的性质，求在的表达式；
函数有零点，根据函数的值域，求实数的取值范围．
此题主要考查奇偶性及函数单调性，考查函数解析式求解，综合性较强．
22.【答案】解：（Ⅰ）作出函数f（x）=2sin（x-）+1在x∈[-2，14]内的图象，如图所示；

（Ⅱ）由g（x）====tan（x-）=tan（x+），
令kπ-＜x+＜kπ+，k∈Z；
8k-6＜x＜8k+2，k∈Z；
所以函数g（x）的定义域为（8k-6，8k+2），k∈Z；
令g（x）≥1，得tan（x+）≥1，
所以+kπ≤x+＜+kπ，k∈Z；
解得8k≤x＜8k+2，k∈Z；
所以不等式g（x）≥1的解集为{x|8k≤x＜8k+2，k∈Z}．;
【解析】
Ⅰ利用列表、描点、连线法，画出函数在内的图象；
Ⅱ化简函数，求出的定义域，令求出的取值集合即可．
该题考查了三角函数画图问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
23.【答案】解：Ⅰ，解得：，
函数的定义域为，
由，，
因为函数为奇函数，则，
，
即，
即，解得；
Ⅱ 由Ⅰ知，
，
，
是周期为的函数，
．
;
【解析】此题主要考查函数的性质及应用，主要考查奇函数的定义和周期函数的定义及运用，考查运算能力，属于中档题．
Ⅰ求得的定义域，由奇函数的定义可得，化简整理可得的值；
Ⅱ将换为，可得，即是周期为的函数，将变形为，计算即可得到所求值．

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