资源简介

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
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班级：
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考号：
___________
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2022-2023学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
“”是“”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
关于的一元二次方程的解集为，则( )
A. B. C. D.
函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
如图在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
D. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
函数与的图象如图所示，则实数的值可能是( )
A.
B.
C.
D.
已知是定义在上的奇函数，且对任意，，当时，都有，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
已知、、、均为实数，有下列命题，正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
下列说法正确的是( )
A. 命题“，有”的否定是“，使得”
B. 幂函数为偶函数
C. 的单调减区间为
D. 函数的图象与轴的交点至多有个
若满足对任意的实数，都有且，则下列判断正确的有( )
A. 是奇函数
B. 在定义域上单调递增
C. 当时，函数
D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
请写出一个同时满足下列三个条件的幂函数______．
是偶函数；在上单调递增；的值域是．
已知函数，若，则______．
为了方便进行核酸检测，某市拟建造一批外形为长方体的核酸检测工作房，如图所示．房子的高度为，占地面积为，墙体和的造价均为元，墙体和的造价均为元，地面和房顶的造价共元．则一个这样的工作房的总造价最低为______元．
函数的单调递减区间为______，值域为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
计算：
；
．
本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
本小题分
在这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．
当时，求函数在区间上的值域；
若_____，求实数的取值范围．
本小题分
已知为上的奇函数，当时，．
求；
求的解析式；
关于的方程有个不同的实数根，求实数的取值范围．
本小题分
为了鼓励居民节约用电，某市居民家庭电价收费标准划分为三档：
第一档：月用电量不超过，执行元的价格；
第二档：月用电量超过，但不超过，执行元的价格；
第三档：月用电量超过，执行元的价格．
写出普通居民家庭月电费；单位：元关于月用电量单位：的函数解析式；
已知某户居民家庭的用电价格月按照第一档执行，月按照第二档执行，月按照第一档执行，月按照第三档执行，且、、月的用电量与缴费情况如下表，求、、的值，并画出普通居民家庭月电费单位：元关于月用电量单位：的函数图象．
月份 用电量单位： 电费单位：元
本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值；
判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；
解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
则如图中阴影部分表示的集合为．
故选：．
求出集合，，由图中阴影部分表示的集合为，利用交集定义能求出结果．
本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
是的充分不必要条件，
故选：．
利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了充要条件的判定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为关于的一元二次方程的解集为，
则，是方程的两根，
所以，解得，，
所以，
故选：．
由已知可得，是方程的两根，然后利用韦达定理建立方程求出，的值，由此即可求解．
本题考查了一元二次不等式的性质，考查了学生的求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：的定义域为，
满足，解得且，
的定义域为．
故选：．
根据题意可得出，需满足，然后解出的范围即可．
本题考查了函数定义域的定义及求法，已知的定义域求的定义域的方法，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，如图，整个大正方形的面积大于等于这个直角三角形的面积和，即，即，当时，中间空白的正方形消失，即整个大正方形与个直角三角形重合；其他选项通过该图无法证明．
故选：．
观察图形，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系，得到，并判明何时取等即可．
本题主要考查均值不等式的几何法证明，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由幂函数的图象可知，
，，都不正确，可以；
也满足指数函数的图象，
故选：．
根据幂函数与指数函数的图象判断即可．
本题考查了幂函数与指数函数的图象的特征，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为当时，都有，即，
设，则，
所以在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，
所以不等式可化为，
即，
所以，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为．
故选：．
设，由已知条件可判断在上单调递增，利用是奇函数，可将不等式转化为，从而有，解之即可．
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：的定义域为或，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
B.，，定义域都是，定义域和解析式都相同，是同一函数；
C.，，定义域和解析式都相同，是同一函数；
D.与的定义域都是，解析式相同，是同一函数．
故选：．
判断每个选项的两函数的定义域和解析式是否都相同，都相同的为同一函数，否则不是．
本题考查了函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：判断定义域和解析式是否都相同，考查了计算能力，属于容易题．
10.【答案】
【解析】解：对于，若，，则，两边同时除以，则，故A正确，
对于，若，，两边同时乘以，则，则，故B正确，
对于，若，，即，则，故C正确，
对于，若，，则，
又，则，故D错误，
故选：．
根据不等式的性质可依次判断．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：命题“，有”的否定是“，使得”；满足命题的否定形式，所以A正确；
幂函数，所以或，此时函数是奇函数，所以不正确；
的单调减区间为，；所以不正确；
根据函数的定义，任意的一个变量都有唯一的一个函数值与之对应，
函数的图象与轴的交点至多有个，故D正确．
故选：．
利用命题的否定判断；幂函数的性质判断；判断函数的单调性判断；函数的性质判断．
本题考查命题的直接的判断，命题的否定，幂函数的性质，函数的单调性的应用，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：令，可得，即，，
不是奇函数，故A错误；
若存在，使得，则，与矛盾，
故对，，
对任意，都有，
对于任意正整数，，，
若为正整数，则，
若为正有理数为与互质的正整数，则，
若为正无理数，则可看作某个有理数列的极限，故可看作的极限，而，故，
故当时，，故C正确；
不妨设，则，切，
，，，
，故是增函数，故B正确；
令可得，
，故，
，故D正确，
故选：．
通过计算即可判断A错误，对分类讨论判断，再根据定义判断，令计算即可判断．
本题考查抽象函数单调性、奇偶性判断，函数性质应用，属于难题．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：由幂函数的性质知，
当为偶数时，一定是偶函数，
当时，在上单调递增，
当为偶数且时，的值域是，
故函数可以为，，等；
故答案为：答案不唯一．
由幂函数的性质对三个条件依次判断，从而求得．
本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
解得；
故答案为：．
根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，，则，则这样的工作房总造价为，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以一个这样的工作房的总造价最低为元．
故答案为：．
设，则可表示出工作房的总造价为，利用基本不等式即可求出．
本题主要考查实际应用问题和基本不等式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
令，其对称轴方程为，其图象是开口向下的抛物线，
该函数的减区间为，可得函数的减区间为；
由，可得．
故答案为：；．
求出内层函数二次函数的减区间，再由复合函数的单调性可得原函数的减区间，利用配方法求出的范围，进一步求得原函数的值域．
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．
17.【答案】解：；
．
【解析】结合分数指数幂及对数运算性质可求．
本题主要考查了分数指数幂的运算性质及对数运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：因为集合，．
当时，集合，
则，
因为“”是“”的必要不充分条件，
则是的真子集，又，
则，得，
则的取值范围为．
【解析】根据题意直接求出集合，再根据交集的定义可解．
根据题意可得是的真子集，再根据集合间的关系可解．
本题考查集合的运算以及集合间的关系，属于基础题．
19.【答案】解：当时，，对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，
，
函数在区间上的值域为．
若选，恒成立，
即对，恒成立，
，当且仅当，即时，等号成立，
，
，即的取值范围为；
若选，使得成立，
即，使得成立，
由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
，
，即的取值范围为．
【解析】根据二次函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，进而求出的最大值和最小值，得到函数的值域．
若选，恒成立，即对，恒成立，利用基本不等式求出的最大值，即可得到的取值范围；若选，使得成立，即，使得成立，利用对勾函数的性质求出的最小值，即可得到的取值范围．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了函数恒成立和能成立问题，以及对勾函数的性质，属于中档题．
20.【答案】解：因为为上的奇函数，
当时，，所以．
因为为上的奇函数，所以，
令得：，
任取，则，
所以，
由，所以，
综上所述：．
作出的图象如图所示：
要使有个根，只需．
所以实数的范围为．
【解析】由奇函数的性质求解，
作出图象，数形结合求解．
本题主要考查分段函数的解析式和图像，属于中档题
21.【答案】解：由题可知当时，，
当时，，
当时，，
所以普通居民家庭月电费；单位：元关于月用电量单位：的函数解析式为：
．
当时，由，解得：；
当时，由，解得：；
当时，由，解得：；
所以；
其图象为：

【解析】根据居民家庭电价收费标准即得；
根据函数解析式结合条件可求，，，进而可得函数图象．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型以及分段函数，属于中档题．
22.【答案】解：因为为奇函数，所以，即，解得．
证明：在定义域上单调递减，理由如下：
由知，，
任取，则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在定义域上单调递减．
解：因为为奇函数，所以等价于，
又在定义域上单调递减，
所以，解得或，
故不等式的解集为．
【解析】由为奇函数，知，代入运算，即可；
根据函数单调性的定义，进行证明即可；
由为奇函数，且在定义域上单调递减，可得，解之即可．
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，熟练掌握函数单调性的定义，函数奇偶性的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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