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《直线和圆的方程》评价建议
一、本章学业要求
能够根据具体问题情境的特点，通过建立适当的平面直角坐标系，建立直线与圆的方程.
能够根据直线与圆等相关几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；能够根据对直线与圆问题的分析，探索解决问题的思路；能够运用代数方法解决问题得到代数结论，给出代数结论的几何解释，解决直线与圆的问题.
能够运用平面解析几何思想解决一些简单的与直线、圆有关的实际问题.
重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.
二、本章评价建议
为落实本章的学业要求，以下从核心知识评价要求、思想方法评价要求和关键能力评价要求三个维度，提出具体的评价建议.
1.核心知识评价要求
依据夲章的学习目标和学业要求，可列出本章13个核心知识，按照了解、理解、掌握的三个认知层次，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求.具体评价要求详见表1.
表1
主题 知识单元 核心知识 评价要求 合计个数
了解 理解 掌握
几何与代数 直线和圆的方程 直线的方程 直线的倾斜角与斜率 　 √ 　 4
过两点的直线斜率的计算公式 　 　 √
两条直线平行或垂直的判定 　 √ 　
直线方程的三种形式：点斜式、两点式、一般式 　 　 √
两条直线的交点及其坐标 　 √ 　 4
两点间的距离公式 　 　 √
点到直线的距离公式 　 　 √
两条平行直线间的距离 　 √ 　
圆的方程 圆的标准方程 　 　 √ 5
圆的一般方程 　 　 √
直线与圆的位置关系 　 √ 　
圆与圆的位置关系 　 √ 　
直线与圆的简单应用 √ 　 　
总计个数 1 6 6 13
对数学知识技能的评价，本章应关注学生能否理解并运用坐标法思想和方法，比如能否建立适当的平面直角坐标系，并在坐标系下建立相关直线或圆的方程，通过研究几何图形的几何位置关系（图形特征），利用直线与圆的方程刻画研究相关几何问题；能否熟练进行代数方程的运算得到代数结论，并将代数结论翻译为几何结论.
为此，我们对本章13个核心知识的评价要求，分别按照了解，理解和掌握三个层次的具体含义进行了细化解析，使其对教学具有有效的评价和指导作用.
（1）理解直线的倾斜角与斜率：能解释直线的倾斜角和斜率的概念，描述两者之间的相互转换关系，能说明倾斜角是刻画直线倾斜程度和确定直线的几何要素，并能根据斜率（倾斜角）的范围判断倾斜角（斜率）的范围；能根据倾斜角或斜率判断两条直线平行或垂直，并能用文字语言和符号语言叙述判定结论.
（2）掌握过两点的直线斜率的计算公式：能推导得出过两点的直线斜率的计算公式，并能灵活运用斜率公式计算直线的斜率.
（3）理解两条直线平行或垂直的判定：能描述如何利用斜率或方向向量判断两直线平行或垂直，能根据给定条件求出直线的斜率或方向向量，进而判断两直线平行或垂直.
（4）掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式、一般式）：能依据斜率公式导出直线的点斜式方程和两点式方程；能利用直线的点斜式、两点式方程及截距的概念，导出直线的斜截式、截距式方程；能描述点斜式和两点式的适用范围，并能依据不同条件合理选择直线方程的形式求解；能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程，能讨论特殊形式与一般式的关系，并能熟练地进行两者之间的互化.
（5）理解两条直线的交点及其坐标：能描述两条直线交点（坐标）的几何（代数）含义，能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
（6）掌握两点间的距离公式：能推导两点间的距离公式，会分析公式中相关量的几何意义，能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离.
（7）掌握点到直线的距离公式：会运用多种方法推导点到直线的距离公式，明确使用公式的前提条件；能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.
（8）理解两条平行直线间的距离：能将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离，并会用点到直线距离公式导出两条平行直线间的距离公式；能说明应用公式的前提条件，并能用公式求给定两平行直线间的距离.
（9）掌握圆的标准方程：能描述确定圆的几何要素，能根据给定圆的几何要素推导出圆的标准方程，能分析圆的标准方程中相关量的几何意义，能根据给定的确定圆的几何要素求出圆的标准方程.
（10）掌握圆的一般方程：能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义，能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化，能根据给定的确定圆的几何要素求出圆的一般方程.
（11）理解直线与圆的位置关系：能用几何方法和代数方法描述直线与圆的三种位置关系，能根据给定直线、圆的方程，通过研究联立方程组解的情况或通过计算圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系.
（12）理解圆与圆的位置关系：能描述圆与圆的位置关系，能根据给定两圆的方程判断两个圆的位置关系.
（13）了解直线与圆的简单应用：知道直线与圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，会用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
2.思想方法评价要求
本章数学思想方法主要包括数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想以及特殊与一般思想等4种，具体评价要求详见表2.
表2
思想方法 评价要求
数形结合 能以确定直线位置的几何要素为基础，通过分析直线与圆上点的几何特征，建立直线与圆的方程；能从给定的直线或圆的方程说出直线或圆的几何特征，能揭示直线或圆上的点与对应方程的解之间的一一对应关系.
函数与方程 能用方程的语言与形式表达几何图形的几何特征，能分析直线与圆的方程中的数量关系，能通过研究直线或圆的方程以及它们所组成的方程组解的情况得到直线与圆的位置关系或其他几何问题的结论.
化归与转化 能在平面直角坐标系下将直线与直线的方程、圆与圆的方程熟练进行转化；能在具体问题情境下，将几何关系问题转化为代数形式，通过运算得到代数结论后能将结论转化为几何结论；能将直线的点斜式方程、两点式方程与一般式方程相互进行转化.
特殊与一般 能认识直线的点斜式方程与两点式方程是在特殊条件下的直线方程，能认识直线的斜截式方程是特殊的点斜式方程，截距式方程是特殊的两点式方程；能理解直线的一般式方程的代数意义；能将直线的各种形式方程进行互化；能认识圆的标准方程与圆的一般方程间的关系.
（1）要特别关注学生是否有运用坐标法思想的意识与能力，如在具体情境下学生能否想到运用坐标法研究解决问题，能否建立合适的坐标系，并根据相关曲线的几何特征建立曲线的代数方程.
（2）要关注学生能否运用直线与圆的方程刻画具体情境中的几何关系与问题，能否运用代数语言把几何问题转化为代数问题，运用代数方法得到结论，并给出代数结论的几何解释.如利用直线与圆的方程研究它们的位置关系和相关图形的长度、面积计算问题.
（3）要关注学生能否借助信息技术理解本章的知识与方法.如能否借助科学计算器的运算功能认识曲线与方程的关系，能否借助信息技术探究满足某种特殊条件的动点轨迹问题，能否充分发挥信息技术的作用，探究方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解线与方程的关系.
3.关键能力评价要求
本章的关键能力主要包括直观想象能力、运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力等，具体评价要求详见表3.
表3
关键能力 评价要求
直观想象 能通过观察直线发现确定直线位置的几何要素与直线的几何特征，通过对圆的观察发现确定圆的几何要素与圆的几何特征；能通过对直线方程的观察感知直线的位置状态，通过对圆的方程的观察感知圆的位置与大小；能借助信息技术的动态演示直观感知方程中的参数对曲线形态的影响，形成数学直觉和数形结合的思想.
运算求解 能根据几何背景问题的分析得到问题解决方法，并能明确相应代数方法的运算流程；运算过程中能清晰描述直线与圆的方程的几何意义；能熟练地运用待定系数法、消元法、换元法等进行求解、化简和运算，能灵活运用函数与方程的思想和坐标法解决与直线和圆有关的数学问题和实际问题.
推理论证 能通过类比、归纳、演绎等推理过程，认清直线与圆的几何特征；能结合具体图形，推出直线与圆的几何要素和位置关系.能运用直线与圆的方程和几何要素，对有关问题进行合乎逻辑的分析、推理和证明，并用数学符号准确、规范地表述问题，进而解决问题.
抽象概括 能在现实情境和数学情境中抽象概括出直线与圆的概念和位置关系；能利用特殊到一般、具体到抽象的方法得到直线与圆的方程；能用代数方法刻画直线与圆的几何性质和位置关系；能将代数运算结论转化为几何结论.
要特别关注学生能否通过几何直观发现确定直线位置和圆的几何要素，发现并能描述直线和圆的几何特征，如两点确定一条直线、一点和一方向确定一条直线、圆心与半径确定一个圆；能从观察直线的点斜式方程、两点式方程想象出方程表示的直线的位置状态，能从观察圆的方程想象出圆的位置与大小状.
三、本章命题建议
本章学业水平测试的命题，要以学业要求的达成为目标，以核心知识为基础，以问题情境为载体，以思想方法为依托，以关键能力为特征，综合体现数学学科核心素养的落实.
1.本章学业水平测试的命题意图
（1）重视对核心知识的评价.以直线与圆的几何特征、代数方程、直线与圆的位置关系的代数刻画等知识为素材，突出评价学生对直线的方向表示，直线方程的不同形式，点与直线、直线与直线的位置关系与数量关系，圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系等知识的掌握水平.
（2）重视对思想方法的评价.以涉及点与直线、直线与直线、直线与圆的关系问题为载体，突岀运用坐标法分析解决几何问题的基本思路与过程，注重结合具体问题情境融入数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般等主要数学思想方法，淡化几何技巧.
（3）重视对关键能力的评价.以直线与圆的方程的应用、坐标法的应用为主导，突出具体问题情境中所蕴含的数学关键能力的评价.
2.本章学业水平测试题的双向多维细目表
依据上述命题意图，我们设计了本章学业水平测试题的双向多维细目表（详见表4），编制了套示范性学业水平测试题，并给出了参考答案，供教学时选用.
表4
题型 题号 问题 情境 核心知识 评价 要求 思想 方法 关键 能力
选择题 1 数学(A) 直线的倾斜角与斜率 理解 化归与转化 运算求解
2 数学(B) 直线的一般式方程 掌握 函数与方程 推理论证
3 数学(B) 两条直线平行或垂直的判定 理解 化归与转化 运算求解
4 数学(A) 圆与圆的位置关系 理解 函数与方程 运算求解
5 数学(B) 直线与圆的位置关系 理解 数形结合 推理论证
6 数学(B) 直线与圆的位置关系 理解 数形结合 直观想象
7 数学(C) 直线与圆的位置关系 理解 数形结合 运算求解
8 数学(C) 直线与圆的位置关系 理解 数形结合 运算求解
填空题 9 数学(B) 直线的两点式方程 掌握 特殊与一般 运算求解
10 数学(B) 直线的倾斜角与斜率 理解 数形结合 直观想象
11 数学(B) 直线与圆的位置关系 理解 数形结合 直观想象
12 数学(C) 直线与圆的位置关系 理解 数形结合 推理论证
解答题 13 数学(A) 直线的点斜式方程 掌握 函数与方程 运算求解
14 数学(B) 两条直线的交点及其坐标 理解 函数与方程 推理论证
15 数学(B) 圆的一般方程与标准方程 掌握 化归与转化 运算求解
16 现实(C) 直线与圆的实际应用 了解 化归与转化 运算求解
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