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沪教版数学九（上）知识点
一、相似三角形 2
1. 图形的相似 2
2. 相似三角形 5
二、锐角的三角比 11
1. 锐角的三角比 11
2. 解直角三角形 12
3. 解直角三角形的应用 14
三、二次函数 16
1. 二次函数的相关概念 16
2. 图像与性质 16
3. 二次函数的应用 20
相似三角形
图形的相似
1．相似图形
概念：形状相同的图形；
两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．
2．相似多边形
（1）概念
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）．
（2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例；
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比；
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比；
④相似多边形面积的比等于相似比的平方；
注：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
①对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
②对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
③边数相等的正多边形都相似，如：正方形，正五边形．
3．比例线段
（1）比例线段的相关概念
①如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是或写成;
②在两条线段的比中，a叫做比的前项，b叫做比的后项；
③在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；
④若四条a，b，c，d满足或，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段d叫做a，b，c的第四比例项；
⑤如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．
（2）比例的性质
①基本性质 a：b=c：dad＝bc a：b=b：c=ac
②更比性质（交换比例的内项或外项）
　　　　　　　（交换内项）
　（交换外项）
　　　　　　　（同时交换内项和外项）
③反比性质（交换比的前项、后项）
④合比性质：
⑤等比性质：
4．黄金分割
（1）把线段AB分成两条线段，并且使是和的比例中项，
叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，
其中，；
（2）黄金分割比：，，；
（3）黄金三角形：
顶角为108°的等腰三角形为黄金三角形，腰长和底边之比为黄金分割比，
顶角为36°的等腰三角形为黄金三角形，底边与腰长之比为黄金分割比．
5．平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
推论：
（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边；
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（3）如图：a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C
D、E、F，则有．
相似三角形
1．基本概念和定理
（1）概念
三个角分别相等，三条边成比例的三角形叫做相似三角形；
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”；
相似三角形对应边的比叫做相似比．
（2）基本定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
　 　　　　
用数学语言表述如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC ∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC
相似三角形的等价关系：
（1）反身性：对于任一，都有；
（2）对称性：若，则
（3）传递性：若，并且，则．
2．性质和判定
（1）性质
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
②相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
③相似三角形周长的比等于相似比；
④相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（2）判定
三角形相似的判定方法：
定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；
平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
判定定理1（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为两角对应相等，两三角形相似；
判定定理2(SAS)：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；
简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
⑤ 判定定理3(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为三边对应成比例，两三角形相似．
3．基本模型
（1）平行模型
①“A”字型
已知,则
对应边比：
②“８”字型
已知
则
对应边比：
（2）不平行模型
①反“A”字型
D在AC上：已知，则
对应边比：
共线边乘积相等：
D与C重合 ：已知，则
对应边比：
共线边乘积相等：
D在AC延长线上：已知，则
对应边比：
共线边乘积相等：
特别地，子母特例——射影定理
已知,,则
结论：，，
②反“８”字型
已知，则
对应边比：
共线边乘积相等：
引申：
证明：∵，∴
又∵，∴
对应边比：
共线边乘积相等：
（3）一线三等角
①锐角（如右边两图）
已知，则
对应边比：
交叉相乘：（注：横×横=竖×竖）
②直角
已知，则
对应边比：
交叉相乘：
③钝角
已知，D为BC中点
则
对应边比：
交叉相乘：
锐角的三角比
一、锐角的三角比
1．锐角的三角比的定义
如图，在中，
（1）正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦值，记作；
（2）余弦：我们把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦值，记作；
（3）正切：我们把锐角的对边与邻边的比叫做的正切值，记作．
的正弦、余弦、正切都是的锐角三角比．
如图，；；．
2．特殊锐角的三角比
3．锐角三角比的增减性
当角度在之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
二、解直角三角形
1．解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．对于如图，五个元素之间的关系：
（1）三边关系：；
（2）两锐角之间的关系：；
（3）边角之间的关系：
；；；；；．
3．其他关系
（1）若，则；；
证明：；；，同理可得；
（2）；
证明：；
（3）若，则；
证明：；；；
（4）；
证明：
三、解直角三角形的应用
1．利用图象解特殊角度的锐角三角函数
；
2．添加辅助线解直角三角形
求角的三角比，需要构造直角三角形，过角的端点做垂线．
选点作垂线，过作对边的垂线，或者作本身的垂线；
选点作垂线，过作对边的垂线，或者作本身的垂线．
特殊角度：、、（直接做垂直），，，（延长做垂直）．
构造直角三角形时，尽量不要破坏特殊的角度！
3．三角比的实际应用
（1）坡比：（见下左图）
（2）俯仰角：俯角（），仰角（）（见上右图）
（3）实际应用问题解题步骤：
①理解题意后标注图形，并构造直角三角形；
②求出所在三角形中的所有角度，并标注已知边长；
③计算．
二次函数
一、二次函数的相关概念
1．二次函数的定义：一般地，形如（都是常数,）的函数，叫做二次函数．其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项．
2．表达式（三种形式）
（1）一般式：；
（2）顶点式：；
（3）交点式：．
二、图像与性质
1．二次函数图像的画法：
①一般方法：列表、描点、连线；
②简易画法：五点定形法．
2．二次函数图像与性质：
函数 二次函数（都是常数，）
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大． 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．
最大/小值 抛物线有最低点， 当时，y有最小值， 抛物线有最高点， 当时，y有最大值，
3．顶点式：
(1)顶点式是一般式通过配方得来的：得到
(2)对称轴：直线，顶点坐标：
4．交点式：
(1)交点式可以通过一般式因式分解得到，题目中明确了二次函数与x轴交点，用交点式求解析式最合适．
(2)对称轴：直线，顶点坐标：
5．二次函数图像的特征与符号之间的关系
符号 字母 字母的符号 图像的特征
开口向上
开口向下
(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
图像过原点
与y轴正半轴相交
与y轴负半轴相交
注意：特殊关系：
①当时，；当时，；当时，；
②当对称轴为直线，则．
6．函数的平移：
步骤：化成顶点式，
若向左平移n个单位，则平移之后的解析式为，
若再向下平移m个单位，则平移之后的解析式为 ．
平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项．
7．函数的对称：
(1)关于轴对称：：得到
注：关于轴对称,的符号均相反．
(2)关于轴对称：：
注：关于轴对称，的符号不变，的符号相反．
(3)关于原点对称：;:
注：关于原点对称：的符号相反，的符号不变．
(4)关于顶点对称：首先化成顶点式，其次
即．
三、二次函数的应用
1．二次函数与一元二次方程
(1)函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．
①当二次函数的图像与轴有两个交点，，则方程有两个不相等实根；
②当二次函数的图像与轴有且只有一个交点，，则方程有两个相等实根；
③当二次函数的图像与轴没有交点，，则方程没有实根．
2．二次函数与不等式
函数，当即时，代表函数在x轴上方的图像，图像所对应的x的取值范围即为所求，当即时，代表函数在x轴下方的图像，图像所对应的x的取值范围即为所求．
(1)与常数函数：，，即在直线上方所对应的x的取值范围．
(2)与一次函数比较：，，若，则先求出两个函数的交点，比较函数图像的位置，从而求出对应的取值范围．
(3)与二次函数比较：，，若，则先求出两个二次函数的交点，比较函数图像的位置，从而求出对应的取值范围．
3．二次函数与几何
(1)将军饮马：利用二次函数对称性作点的对称点，利用两点之间线段最短解决问题．
(2)面积类：分析条件合理切割面积（铅垂高，水平宽），列出面积关系式，
利用二次函数性质求面积最值问题．
(3)三角形：
①等腰三角形:设动点的坐标；根据两点之间距离公式表示出长度；
分类讨论列方程求解；验证舍掉不符合题意的点．
②直角三角形：设动点的坐标；根据两点之间距离公式表示出长度；
分类讨论根据勾股定理列出方程求解；验证舍掉不符合题意的点．
(4)平行四边形存在性问题：
①写出四个点的坐标（已知求未知设）；
②取一定点A，按AB、AC、AD分别为一条对角线进行分类讨论；
③根据平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式列式计算，检验结果．
4．二次函数与实际应用
(1)坐标系类：合理建立坐标系，把题目信息条件转换成坐标，求出解析式，继而解决问题．
(2)求值类：列出关系式（注意隐含的取值范围限定），
利用函数的对称轴和最值等求值方法解决实际问题．
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