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《椭圆》教学分析
一、本节知识结构框图
二、教学重点与难点
重点：椭圆的几何特征，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.
难点：椭圆几何特征的发现，椭圆标准方程的推导.
三、教科书编写意图与教学建议
本节包括椭圆的概念、标准方程与简单的几何性质，教科书通过创设情境，引导学生动手画椭圆，观察椭圆的几何特征，从中抽象出椭圆的概念.通过思考栏目引导学生直观感知椭圆的对称性，并根据对称性建立直角坐标系，再根据定义列出椭圆上的点所满足的条件，通过化简得出椭圆的标准方程.通过三道例题（例2、例3、例6）进一步揭示椭圆多种形成途径与方式，深化学生对椭圆几何特征的理解，并通过具体实例，使学生逐步掌握坐标法.
因为双曲线、抛物线与椭圆是同构的，所以本节的内容在圆锥曲线中具有基础和示范性作用，在双曲线、抛物线中，从研究的内容、过程和方法等各方面都可以类比椭圆展开学习.
3.1.1椭圆的标准方程
1.椭圆的定义
椭圆虽然是生产生活中常见的曲线，但对椭圆几何特征的探究与发现是个难点，因为很难由椭圆的形状想到椭圆的定义.为此，教科书在用细绳画圆的基础上，通过分开细绳的两端，画出图形，归纳图形上点满足的几何条件：这个图形上的点到两个定点的距离的和是定值.进而将具有这种几何特征的图形定义为椭圆.教学时，应让学生认真观察画图的过程，抽象图形的几何特征，直观感知椭圆的形状.为选择适当的平面直角坐标系、建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫.
2.椭圆的标准方程
椭圆标准方程的教学应重点关注以下几点.
第一,以建立曲线方程的一般步骤为指导:
（1）建立适当的平面直角坐标系,用有序数对表示曲线上任意一点的坐标,这是用坐标法研究问题的前提与基础;
（2）分析点在曲线上的条件（记为),写出适合条件的点的集合,这是寻找、明确建立曲线方程的依据;
（3）把条件转化为方程,这是把几何问题转化为代数问题的关键;
（4）化方程为最简形式,为用方程研究曲线做好铺垫;
（5）检验已化简后的方程的解为坐标的点是否都在曲线上，这是保证方程与曲线等价性的需要.
教科书对椭圆标准方程的推导实际上就是按上述步骤进行的.所以，教学时应结合椭圆方程的推导过程渗透这五个步骤，必要时教师可以在推导的过程中加以说明.
第二，选取适当的平面直角坐标系.选取的坐标系不同，曲线方程的形式也不同.显然，不同形式的方程在反映曲线几何性质的直观性上会有差异，因而坐标系是否建得“适当”，主要看所得的方程是否能直观、明确地反映曲线的几何性质.为了实现“适当”，我们需要事先对曲的几何特征有尽量多的了解，并在后续步骤中充分利用这些特征，这也是教科书在建立直角坐标系、推导椭圆的方程之前，要求学生观察画出的椭圆形状，思考如何建立坐标系的原因.教学时，应通过教科书中的“思考”：“观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？”引导学生展开充分的观察、思考活动.
第三,选用适当的参数.例如,用表示定长和焦距而不用,是为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式，以便运算化简；把方程中的用表示,也因为是一个有明确几何意义的量，也因为这样可以使方程变得更加简洁、美观、对称与和谐.教学时,应充分利用教科书中的“思考”:“观察图,你能从中找出表示,的线段吗 ”让学生认识到这是一组勾股数，懂得引进字母的合理性与必要性，理解.的几何意义.
第四,方程的推导.由于初中对含有字母的表达式的运算要求不高,并且方程所含的字母多、项数多，如何化简这个方程是一个难点.教学时，可以引导学生探索运算方法,强调根据代数式的特点，运用运算性质简化运算、得出正确结果的重要性,在提高学生运算技能的过程中发展数学运算、逻辑推理等素养.
在给出“椭圆的标准方程”的概念前,应按教科书的安排，通过明确椭圆（曲线）与方程,的关系,渗透“曲线的方程”“方程的曲线”的概念,让学生感受到“曲线就是方程,方程就是曲线,两者之间可以互相表示”.
在求得椭圆的标准方程后，教科书设置了“思考"：“如果焦点,在轴上,且的坐标分别为的意义同上,那么椭圆的方程是什么 "由已有的经验可以得到,此时椭圆的方程为.教学时，可以先让学生猜想方程的形式，再进行推导验证，这个“思考”应看成是让学生熟练椭圆标准方程推导过程的机会.
第五,对椭圆标准方程的认识.应 住椭圆标准方程的结构特点,的几何意义以及它们之间的关系式;明确在椭圆的两种标准方程中,都有;强调椭圆的焦点始终在长轴上.
3.例1的教学
例1的目的是使学生巩固椭圆的定义、标准方程以及之间的关系,可以让学生独立完成.
本例还可以用待定系数法,即根据条件设所求的方程为根据4，以及求解.
4.例2的教学
本例有三个作用:第一,又一次教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法;第二,向学生说明,如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同,那么这个轨迹是椭圆;第三,使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.
在例2之后,教科书提出一个思考问题:你能从例2发现椭圆与圆之间的关系吗 教学时,应通过这个问题,引导学生在自主探究的基础上认识清楚：通过伸缩变换,我们既可以由圆得到椭圆,也可以由椭圆得到圆.
需要说明的是,当点是圆与轴的交点时,此时我们可以认为点与点重合,也就是椭圆过两点.
5.例3的教学
例3的轨迹也是椭圆,由此可得椭圆的另一种生成方式,即如果一个动点与两个定点连线的斜率之积是一个不为的负常数,那么它的轨迹是 圆.这里事实上也给出椭圆的一条性质:连接椭圆上的点（长轴的端点除外)与长轴的两个端点的两条直线的斜率之积为定值,是一个不变量.
需要注意的是,本题得到的轨迹是椭圆的一部分,需要去掉椭圆与轴的两个交点.因为当动点到达定点或时,只存在一条连线.另外,教学时还可以引导学生思考如下问题：
（1）当一个动点与两个定点连线的斜率之积是-1时，动点轨迹是什么？
（2）一个动点与两个定点连线的斜率之积是一个正常数，那么动点轨迹又是什么？
问题（1）又一次让学生发现椭圆与圆之间的联系；问题（2）虽然是学习双曲线才能解决的，但这里的引导可以提升学生发现和提出问题的能力.
3.1.2椭圆的简单几何性质
1.如何研究几何图形的性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之根据曲线的条件求出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、图形可说是解析几何的一个目的.
学生在初中曾学习过圆，也用代数方法研究过圆的一些性质，但真正系统地用代数方法研究曲线性质在这里还是第一次.本小节通过对椭圆标准方程的讨论，一方面要使学生掌握椭圆的几个几何性质，掌握标准方程中的a，b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间相互关系；另一方面要通过对椭圆的标准方程的讨论来研究它的几何性质，体会用坐标法研究曲线几何性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点.
在利用方程研究椭圆的性质之前，可以引导学生观察椭圆，想一想哪些是值得研究的椭圆性质，如何研究.引导学生首先从整体上把握几何图形，这就是范围、对称性；其次是研究它的顶点（与坐标轴的交点）、扁平程度（离心率），等等.逐渐让学生掌握用代数方法研究几何图形.
为了有效提升学生通过方程研究曲线的能力，同时把用代数方法研究曲线性质的思路具体化，教科书在如下几个方面作了具体引导：
曲线的范围:方程中的取值范围;
曲线的对称性:用代,或用代,或用与分别代与,方程形式是否变化;
曲线的顶点:使方程中取得最大值或最小值的点,或曲线与其对称轴的交点;曲线的形状:方程中的参数及其相互关系.
2.椭圆的几何性质
（1）范围
确定了曲线的范围,就对曲线有了大致的了解.用描点法画曲线时,就不用考虑曲线范围之外的点.
确定曲线的范围就是确定方程中的取值范围.对于椭圆,教科书中采用的方法是把方程变形为,利用得到关于的不等式,解出的取值范围;类似地,求出的取值范围.这种方法具有普遍性,是一种通法.
不等式组的解集表示的是区域.对于区域,直观的理解是平面的一部分.上述区域是平面内四个不等式表示的区域的交集,即直线,所围成的矩形区域.
（2）对称性
对称性是图形的重要性质.图形是点的集合,图形对称性的本质是图形上点的对称性,因此图形的对称性问题可以转化为图形上点的对称性问题.在讨论椭圆的对称性之前,可先复习图形对称的概念和关于轴、y轴、原点对称的点的坐标之间的关系,明确“以代,方程不变,则曲线关于轴对称;以代,方程不变,则曲线关于轴对称;同时以代,以代,方程不变,则曲线关于原点对称”.以-代,方程不变,说明当在曲线上时,也在曲线上,而与关于轴对称,因此曲线关于轴对称.其他以此类推.
需要注意的是,如果一个图形具有关于轴对称、关于轴对称、关于原点对称三种中的任意两种，那么它必然具有第三种对称.
（3）顶点
椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.教科书通过“思考”，引导学生观察图形，思考椭圆上的哪些点比较特殊，为什么，如何得到这些点的坐标.教学时可以利用这个栏目，让学生独立思考、获得结论.
（4）离心率
离心率是刻画圆锥曲线形状的重要量,椭圆离心率的教学应围绕“如何刻画椭圆的扁平程度”这个问题进行.
由可知,椭圆的形状由三个量中的任意两个量唯一确定.由椭圆的概念,是确定椭圆的基本量,是衍生出来的量.尽管与都能刻画椭圆的形状,但刻画椭圆的扁平程度能更好地揭示椭圆的本质属性:在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离中心的远近程度.实际上,回到教科书画椭圆的方法,在保持绳长不变的情况下, 短或拉长两个焦点之间的距离,我们能直观感知椭圆扁平程度的变化.教学时,应通过信息技术让学生充分感知离心率是对椭圆扁平程度的刻画.
教科书在“边空”中给了一个问题:你能运用三角函数的知识解释,为什么越大, 圆越扁平 越小,椭圆越接近于圆吗 事实上,如图,在中,越大,越小,椭圆越扁 越小,越大,椭圆越圆.
另外,还需要注意,按教科书的界定,因为椭圆的标准方程中有的限制条件,因此圆不是椭圆.也就是说椭圆的离心率满足不等式.
3.例题的教
例4是为巩固椭圆的简单几何性质而设置的，教学中应要求学生明确a，b，c，e的几何意义及其相互关系.需要注意的是，尽管教科书没有要求画图，但应引导和督促学生养成画图的惯，通过图形直观发现它们之间的关系.
例5反映了椭圆在实际生活中的运用.教学时，应说明椭圆在生产、生活中具有广泛的应用.由于实际问题的背景与数据往往较为复杂，应注意培养学生认真阅读题目的习惯和严谨、认真、善于运算的习惯.如果学生提出通过把点B的坐标代入方程求解，应在肯定其思维合理性的基础上，提醒学生思考有没有其他方法解决问题.
例6是通过具体例子让学生感受椭圆的另外一种定义方式，一般而言，圆锥曲线的统一定义不做要求，所以教学时不要把这个题目推广到一般情形，但对于学有余力的学生，可以作为拓展性任务进行探究性学习.
例7以直线与椭圆的位置关系为背景.安排例7的目的，一是为了学生认识直线与椭圆有几种位置关系；二是让学生对相交、相切、相离这三种位置关系有进一步的认识；三是让学生更好地掌握运用方程研究曲线问题的基本思路与方法.
在上述例题的教学中，应着力培养学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.
4.关于信息技术的运用
在本节的教学中，应充分发挥信息技术的作用，借助信息技术工具帮助学生直观认识圆锥曲线、理解椭圆的定义、把握椭圆的性质.例如，演示用平面截圆锥的过程，尤其是平面与圆锥的轴的夹角变化时，截口曲线的变化（包括椭圆扁平程度与双曲线开口大小的变化）；给出不同的定点和定长,利用信息技术工具探究到两个定点的距离之和为定长的点的轨迹;显示球在阳光照射下的投影,尤其是球与地面相切的切点的变化过程；离心率的变化对 圆形状的影响；把例2中的由改为其他数；例3中的斜率之积由改为其他们数,结果又会怎样;等等.
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