资源简介

《椭圆》教学设计
一、单元内容及其解析
1.内容
椭圆的概念、椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质.
本单元内容结构图如下：
本单元建议教学用时为4课时，其中，章引言、椭圆的概念与椭圆的标准方程的建立，1课时；巩固和深化椭圆的概念与椭圆的标准方程，1课时；探究椭圆的简单几何性质，1课时；椭圆的标准方程及其简单几何性质的综合运用，1课时.
2.内容解析
本单元的内容是在学生学习直线和圆的方程的基础上，先抽象椭圆的几何特征，然后建立它的标准方程，再利用方程研究它的几何性质，并利用它们解决简单的实际问题.从知识的前后联系看，本单元是坐标法的进一步运用，所要解决的仍然是解析几何的“两个基本问题”：建立曲的方程，通过方程研究曲线的几何性质.
从本章知识的内部结构看，椭圆、双曲线、抛物线的研究背景、研究问题、研究方法具有高度的相似性，因而本单元的学习在全章的学习中具有基础地位.在本单元，“椭圆的概念”部分先在问题“椭圆具有怎样的几何特性？”的引领下进行画图操作，从中发现椭圆的几何特征，进而获得椭圆的概念，明晰研究的基础与出发点.“椭圆的标准方程”部分，先根据椭圆的几何特征建立坐标系，然后通过代数运算得到椭圆的标准方程.“椭圆的简单几何性质”部分，在明确要研究的性质的基础上，通过椭圆的方程研究椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般思路和方法，包括如何发现曲线的几何特征、如何建立适当的坐标系、如何简化与优化方程、研究曲线的哪些性质、如何运用方程进行研究等本单元最重要、最根本的数学思想方法是坐标法.另外，在解决问题的过程中，数形结合类比、特殊化与一般化、转化与化归等也发挥着重要作用.
本单元的学习有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严谨精确地思考和解决问题，有助于发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象等方面的素养.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：椭圆的概念、标准方程与简单几何性质，研究椭圆的思路和方法.
二、单元目标及其解析
（1）了解圆锥曲线的实际背景，例如，行星运行轨迹、抛物运动轨迹、探照灯的镜面，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
（3）了解椭圆的简单应用.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能通过观察用平面截圆锥认识到：当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线.能通过实例知道，圆锥曲线在生产、生活中有广泛的应用.
（2）能通过实际绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义.能通过建立适当的坐标系椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满足的方程，化简所列出的方程，得到椭圆的标准方程.能在直观认识椭圆的图形特点的基础上，用椭圆的标准方程推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质.能用椭圆的定义、标准方程及简单几何性质解决简单的问题.能通过椭圆与方程的学习，体会建立曲线的方程、用曲线的方程研究曲线的性质的方法，发展数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理素养.
（3）能通过将关于椭圆的实际问题转化为关于椭圆的数学问题，运用椭圆的定义、标准方程简单的几何性质解决关于椭圆的数学问题，从而解决关于椭圆的实际问题，发展数学建模素养.能类比用直线的方程与圆的方程研究直线与圆的位置关系，用直线的方程与椭圆的标准方程研究直线与椭圆的位置关系，知道直线与椭圆的公共点的个数与直线的方程与椭圆的标准方程组成的方程组的解的个数的关系，进一步体会用方程研究曲线的方法.
三、单元教学问题诊断分析
学生对坐标法已有初步的认识，通过直线和圆的方程的学习，对用坐标法研究曲线的基本思路与方法已有了解，但还不善于自觉运用坐标法，在学习中可能会遇到如下难点.
难点一：如何抽象出椭圆的几何特征.在画椭圆的过程中，笔尖将细绳分为两段，它们都不是定长，但它们的总长是这根细绳的长（定长），进而抽象出动点满足的几何条件是动点到两定点的距离之和为定长
难点二：如何建立适当的直角坐标系.对此，教学中应明确“适当”的“标准”是所得方程简单，能较好地反映曲线的性质；“适当”的方法是尽可能使曲线关于原点和坐标轴对称.观察椭圆知，它具有对称性，并且过两定点的直线就是它的对称轴，在此基础上建立“适当的直角坐标系”.
难点三：如何化简由椭圆的几何特征直接得到的方程.化简这个方程需要两次两边平方，并且涉及的字母多，对学生的运算能力要求较高.对此，应强化思维的“预测功能”：如果两边直接平方，后续的运算会怎样；如果先移项后两边平方，后续的运算又会怎样.
难点四：如何通过椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质.学生通过方程研究曲线自身的几何性质还是第一次.学生在研究什么、如何研究这两个问题上仍然有困难.对此，应通过直观感知，提出研究问题、猜想初步结论，然后再通过方程验证猜想；应让学生充分感受如何基于方程、基于逻辑推理得出曲线的性质，感受方程的代数特征与曲线的几何特征的内在一致性.
难点五：用什么样的量刻画椭圆的扁平程度.教学中让学生认识与都能刻画椭圆的扁平程度；通过分析a，b，c的几何意义及产生顺序，以及这两个式子哪个更能揭示椭圆的本质，确定选用.
四、教学支持条件分析
在本单元的教学中，应充分发挥信息技术的作用，包括演示用平面截圆锥得到圆锥曲线的过程，演示椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的刻画等.
五、课时教学过程设计
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