资源简介 第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第4课时 “斜边、直角边”学习目标:1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.重点:会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.难点:探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.自主学习一、知识链接1.我们学过的判定三角形全等的方法有 .2.如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E.(1)若∠A=∠D,AB=DE,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”),根据 (用简写法);(2)若∠A=∠D,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”),根据 (用简写法);(3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”),根据 (用简写法).二、新知预习如图,已知AC=DF,BC=EF,∠B=∠E.(1)△ABC与△DEF全等吗?(2)若∠B=∠E=90°,猜想Rt△ABC是否全等于Rt△DEF.动手画一画.三、我的疑惑____________________________________课堂探究要点探究探究点:直角三角形全等的判定(“斜边、直角边”定理)问题:如果这两个三角形都是直角三角形,即∠B=∠E=90°,且AC=DF,BC=EF,现在能判定△ABC≌△DEF吗?作图探究:任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′,使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来,放到Rt△ABC上,它们能重合吗?知识要点:文字语言:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).判一判:判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“×”,全等的注明理由:(1)一个锐角和这个角的对边分别相等; ( )(2) 一个锐角和这个角的邻边分别相等; ( )(3)一个锐角和斜边分别相等; ( )(4)两直角边分别相等; ( )(5)一条直角边和斜边分别相等. ( )典例精析例1:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC﹦BD,求证:BC﹦AD.【变式1】如图,∠ACB =∠ADB=90°,要证明△ABC≌△BAD,还需一个什么条件?把这些条件都写出来,并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.(1) ( )(2) ( )(3) ( )(4) ( )【变式2】如图,AC、BD相交于点P,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C、D,AD=BC.求证:AC=BD.【变式3】如图,AB⊥AD,CD⊥BC,AB=CD,判断AD和BC的位置关系.例2 如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE,求证:BC=BE.方法总结:证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.例3 如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系?二、课堂小结直角三角形判定 简称 图示 符号语言斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 “斜边、直角边”或“HL” 在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中, ∴Rt△ABC≌Rt△A1B1C1(HL).注意:利用“斜边、直角边”来证明两个三角形全等的前提条件是在直角三角形中. 使用方法:只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等)当堂检测1.判定两个直角三角形全等的方法不正确的有( )A.两条直角边分别相等 B.斜边和一锐角分别相等C.斜边和一条直角边分别相等 D.两个锐角分别相等2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长为( )A.1 B.2 C.3 D.4第2题图 第3题图3.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,则△ADB与△ADC (填“全等”或“不全等”),根据是 (用简写法).4.如图,在△ABC中,已知BD⊥AC,CE⊥AB,BD=CE.求证:△EBC≌△DCB.5.如图,AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证:BF=DE.【变式1】如图,AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证:BD平分EF.【变式2】如图,AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想:BD平分EF吗 能力拓展6.如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10 cm,BC=5 cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等?参考答案自主学习一、知识链接1.SSS、SAS、ASA、AAS2.(1)全等 ASA (2)全等 AAS (3)全等 SAS二、新知预习 (1)不一定全等 (2)全等三、我的疑惑课堂探究要点探究探究点:直角三角形全等的判定(“斜边、直角边”定理)问题 可以作图探究 重合判一判 (1)AAS (2)AAS (3)AAS (4)SAS (5)HL典例精析例1 证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中,∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.【变式1】(1)AD=BC HL (2)BD=AC HL(3)∠DAB=∠CBA AAS (4)∠DBA=∠CAB AAS【变式2】 证明:连接AB.∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.在Rt△ABD和Rt△BAC中,∴Rt△ABD和Rt△BAC(HL),∴AC=BD.【变式3】 解:连接BD.∵AB⊥AD,CD⊥BC,∴∠A=∠C=90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中,∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC.例2 证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC=AE,∴∠D=∠F=90°.在 Rt△ADC和 Rt△AFE中∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF.在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF,即BC=BE.例3 解:在Rt△ABC和Rt△DEF中,∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.当堂检测1.D 2.A 3.全等 HL4.证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BDC=∠BEC=90°.在Rt△EBC和Rt△DCB中,∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).5.证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90 °.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.【变式1】 证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF,∴AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.在△GBF和△GDE中,∴△GBF≌△GDE(AAS).∴FG=EG.∴BD平分EF.【变式2】 解:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90 °.∵AE=CF,∴AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.在△GBF和△GDE中,∴△GBF≌△GDE(AAS).∴FG=EG.∴BD平分EF.能力拓展6.解:(1)当P运动到AP=BC时,∵∠C=∠QAP=90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中,∵AB=PQ,BC=AP,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),∴AP=BC=5 cm.(2)当P运动到与C点重合时,AP=AC.在Rt△ABC与Rt△PQA中,∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL),∴AP=AC=10 cm.综上,当AP=5 cm或10 cm时,△ABC和△APQ全等. 展开更多...... 收起↑ 资源预览