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直线与圆的方程中的数学思想方法总结
一、运用数形结合的思想解题
例1设k，a是实数，要使关于x的方程 |2x-1|=k(x-a)+a 对于k的一切值都有解，求实数a的取值范围．
解 在平面直角坐标系中分别画出 l1：y=|2x-1|和l2：y=k(x-a)+a的图象(如图)，其中l2是过点M(a，a)且斜率为k 的直线系，l1是折线y=2x-1(x≥)和y=-2x+1(x<)．由图形的直观性可知要使原方程对于k的一切值都有解的几何意义是直线l2绕点M(a，a)旋转时都与折线l1相交，点M必须位于过C(，0)的两条射线上或射线的上方．
∵ ∴≤a≤1．
例2 已知定点A(1，1)， B(3，3)，动点P在x轴上，若∠APB取得最大值，则点P的坐标是………………( )
A.这样的点P不存在 B．(，O)
C．(，O) D．(，O)
分析 由A、B两点坐标及位置特点，可以看出，动点P在x轴正半轴上的某个位置可能使么∠APB取最大值，此题若设P(x，O)，用到角公式表示出tanAPB，再求使之取得最大值时的P点坐标显然较繁．而利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过AB且与x轴正半轴相切的圆与x轴的切点为P，(如图)则P点即为所求的点，而|OP|2=|OA|·|OB|=·=6 ∴|0P|=，点P(，0)， 故选D．
二、运用分类讨论的思想解题
例3 求与点P(4，3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．
解 (1)若截距a≠O，可设直线方程为： +=1 即x+y-a=0
由已知：=5可得：a=7士3
(2)若截距a=O，由于OP所在的直线方程为 y=x，且|OP|=5
∴所求直线方程为y=-x
综上，所求直线方程为 x-y-7-5=0或x+y-7+5=0或4x+3y=O
对含有参数的数学问题求解时要注意运用分类讨论的数学思想，正确、严密地求解．
例4 讨论直线l：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2-2x=O的位置关系．
分析 先求得圆C的圆心C(1，O)和半径 r=1，再得圆心C到直线l的距离d=，最后按dr三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时m的取值范围．
解 当d=<1，即-8 当d==1，即m=-8或m=2时，直线与圆相切；
当d=>1，即m<-8或m>2时，直线与圆相离．
三、运用参数思想解题
例5 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论a为何值，直线总过第一象限．
(2)为使这直线不过第二象限，求a的范围．
解 (1)将方程整理得为a(3x-y)+(-x+2y-1)=O对任意实数a，恒过直线3x-y=O与x-2y+1=0的交点(，)，
∴直线系恒过第一象限内的定点(，)；
(2)当a=2时，直线为x=不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为：y=x-，不过第二象限的充要条件为 或 a>2，总之，a≥2时直线不过第二象限．
例6 过点P(2，1)作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，| PA|·| PB|的最小值及此时l的方程．
分析 本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法．
解 设直线AB的倾斜角为(<<), 则直线AB的参数方程为
令x=O，则得B点所对应的参数t=-，
令y=O，则得A点所对应的参数t=-
∴|PA|·|PB|=|-|·|-|=
当a=时|PA|·|PB|有最小值4，此时直线l的方程为
即
四、运用待定系数法的思想解题
例7 已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过一定点P(6，-2)，求直线的方程．
解法一 设直线l的方程为+=1． ①
∵直线l过点(6，-2)， ∴-=1． ②
又∵a=b+1．代入②整理得b2-3b+2=O，解之b1=1，b2=2，∴a1=2，a2=3．代入①得所求的直线方程为x+2y-2=O或2x+3y-6=O．
解法二 设所求直线l的斜率为k，又直线l过定点P(6，-2)，于是直线l的方程是y+2=k·(x-6)，即+=1.依题意知+6k+2=1,∴k=-或k=-.∴直线l的方程是y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6)，即x+2y-2=O或2x+3y-6=O．
例8 已知△ABC中，A点坐标为(1，2)， AB边和AC边上的中线方程分别为5x-3y-3=O和7x-3y-5=O，求BC边所在直线方程．
分析 欲求BC边的方程，没有直接的已知条件，可设B(x1，y1)，C(x2，y2)，然后用两点式得方程．
解 设C(x1,y1)，AB中点坐标为(，)则
解得：x1=3，y1=4，∴C(3，4)
说明 此题由代点法，结合解方程组比直接由已知方程求交点要简单得多，同理可求得 B(-1，-4)，由两点式得直线BC方程为2x-y-2=0
五、运用化归的思想解题
例9 求函数y=+的最小值．
分析 此函数的定义域为R，如果从代数的角度考虑，确实比较复杂；如果借助于两点间的距离公式，转化为几何问题，则是非常的容易．
解 y=+=+
令A(O，1)，B(2，2)，P(x，O)，则问题转化为：在x轴上求一点P(x，O)，使得|PA|+|PB|取得最小值．
∵A关于x轴的对称点为A’(O，-1)，
∴(|PA|+|PB|)min=|A’B|===．
六、运用函数、方程、不等式思想解题
例10 两条平行直线分别过点P(-2，-2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d，如果这条直线各自绕点P、Q旋转并互相保持平行．
(1)求d的变化范围．
(2)用d表示这两条直线的斜率．
(3)当d取最大值时，求这两条直线的方程．
解 当过P、Q的两条直线的斜率为O时， d=5；当这两直线斜率不存在，即与x轴垂直时， d=3． 设l1：y+2=k(x+2)；l2：y-3=k(x-1)
(1)由平行线间的距离公式得d=
即(d2-9)k2+30k+d2-25=O ……① 由△=900-4(d2-9)(d2-25)≥O，得O (2)由①得k=(d≠3)
(3)当d=时,k=-
∴l1：y+2=-(x+2)， l2：y-3=-(x-1)
说明 此题的(1)(3)也可利用数形结合的方法来求解．

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