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递推式求数列通项公式常见类型及解法
对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。
一、型
例1. 在数列{an}中，已知，求通项公式。
解：已知递推式化为，即，
所以。
将以上个式子相加，得
，
所以。
二、型
例2. 求数列的通项公式。
解：当，
即
当，所以。
三、型
例3. 在数列中，，求。
解法1：设，对比，得。于是，得，以3为公比的等比数列。
所以有。
解法2：又已知递推式，得
上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。
所以，所以。
四、型
例4. 设数列，求通项公式。
解：设，则，，
所以，
即。
设这时，所以。
由于{bn}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。
由此得：。
说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。
五、型
例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示an的通项公式。
解：将已知递推式两边乘以，得，又设，于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。
说明：对于递推式，可两边除以，得，引入辅助数列，然后可归结为类型三。
六、型
例6. 已知数列，求。
解：在两边减去。
所以为首项，以。
所以
令上式，再把这个等式累加，得
。所以 。
说明：可以变形为，就是
，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。
等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。
转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。
构建新数列巧解递推数列题
1 求通项
求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。
例1、数列中，，。求。
分析 本题的难点是已知递推关系式中的较难处理，可构建新数列，令，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。
解：构建新数列，使
则 ， ，即
化简得
，即
数列 是以2为首项，为公比的等比数列。
即

2 证明不等式
这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。
例2、设， ，求证：。
分析 利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列，使，化简递推关系式。
证明：易知，构建新数列，使，
则
，又 ， ，从而
因此，新数列是以为首项，为公比的等比数列。
考虑到当时，有 。所以，
注：对型如 ，，都可采用三角代换。
3 证明是整数
这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。
例3、设数列满足，
求证： 。
分析 直接令，转化为证明
证明：构建新数列，令
则 ，
代入 整理得
从而
于是

由已知，，，由上式可知，，，依次类推， ，即。
例4、设r为正整数，定义数列如下： ， 求证：。
分析 把条件变形为比较与 前的系数及与 的足码，考虑到另一项为，等式两边同乘以，容易想到构新数列，使。
证明：由已知得
构建新数列，
则，




又
|
| ，从而 。
4 解决整除问题
一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明。
例5、设数列满足，，对一切，有
，求所有被11整除的的一切n值。
分析 变形递推关系式为，就容易想到怎样构建新数列了。
解：由已知
构建新数列
则，


从而，，，当时，由于被11整除，因而也被11整除。
所以，所求n值为，8，及的一切自然数。
5 证明是完全平方数
这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项，问题也就迎刃而解了。
例6、设数列和满足，，且

求证：是完全平方数。
分析 先用代入法消去和，得，如果等式中没有常数项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令，易求得。
证明：由①式得， 代入②得
化为
构建新数列，，且，
由特征方程 得两根
，
所以
当，1时，有
解得：
则

则
因为 为正偶数，所以，是完全平方数。
从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。

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