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二项式定理应用常见类型及其解题方法
一、知识点回顾：
1．二项式定理：
，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数.
③项数：共项，是关于与的齐次多项式
④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有项。
②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。
③指数：的指数从逐项减到，按降幂排列。的指数从逐项减到，按升幂排列。各项的次数和等于.
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数，包含符号）。
4．常用的结论：
令
令
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···
②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，
变形式。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令，则，
从而得到：
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
⑤二项式系数的最大项：
如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。
如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。
⑥系数的最大项：
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为，设第项系数最大，应有，从而解出来。
二、基本题型示例：
（一）、二项式定理的逆用问题
例1、
解：与已知的有一些差距，

例2、 的值等于（??? ）．
　　　　　　A．111105? B．111111 ? C．12345? D．99999
　　分析　由已知式子的结构，可构造二项式．
　　　　　原式．故选C．
练：
解：设，则
（二）、利用通项公式求的系数问题
例3、（l）若的展开式中，的系数是的系数的7倍，求；
??（2）已知的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求；
??（3）已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求．
??? 解：（l）依题意，即，
　　　　由可整理，得，解得.
　　　　（2）依题意，
　　　　整理，得
　　　　∵?
　　　　∴? ，解得.
　　　　（3）依题意，整理，得，
　　　　两边取对数，得，解得或.
　　　　∴? ，或.
点评? 的展开式及其通项公式，是，，，四个基本量的统一体，已知与未知是相对的，运用方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．
练：展开式中，的系数等于?? ．
解：
??? 　　　　　　．
　　所求项的系数即为展开式中含项的系数是：
例4、在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？
解：由条件知，即，，解得，由
，由题意，
则含有的项是第项,系数为。
练：求展开式中的系数？
解：，令,则
故的系数为。
（三）、利用通项公式求常数项问题
例5、求二项式的展开式中的常数项？
解：，令，得，所以
练：求二项式的展开式中的常数项？
解：，令，得，所以
练：若的二项展开式中第项为常数项，则
解：，令，得.
（四）、利用通项公式，再讨论而确定有理数项问题
例6、求二项式展开式中的有理项？
解：，令,()得，
所以当时，，，
当时，，。
（五）、奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和的问题
例7、若展开式中偶数项系数和为，求.
解：设展开式中各项系数依次设为
,则有①，,则有②
将①-②得：
有题意得，，。
练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。
解：，，解得
所以中间两个项分别为，，
（六）、最大系数，最大项问题
例8、已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。
练1、在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。
练2、在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于
练3、写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。
练4、若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？
解：由解出,假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有
练5、在的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为
（七）、非二项式结构式问题
例9、求当的展开式中的一次项的系数？
解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为
它的系数为。
解法②：
故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.
练：求式子的常数项？
解：，设第项为常数项，则，得,, .
（八）、乘积式中二项式定理应用问题
例10、
解：
练：
解：
.
练：
解：
例11、（1）在的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则
　　（2） 的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大项是???????? ．
　　分析：（1）由已知，所以．
　　　　　（2）由已知，而，
　　　　　∴
　　　　　展开式中二项式系数最大项是第5项．
（九）、构造法证明等式问题
例12、证明下列各式
(1).
(2).
证：(1)构造二项展开式 .
令得
即.
(2)构造恒等式 .
两边含项的系数相等，即
∵，
∴.
（十）、展开式中奇数项的系数和与偶数项的系数和问题
例13、解：
（十一）、赋值法应用问题
　例14、? （1）已知，
那么=_________.
? 　　　　（2）=___________.
分析　：（1）　令，得，
　　　　　令，得，
　　　　　∴．
　　（2）在二项展开式中，
　　　　　令，则左式，右式
　　　　　∴? .
　　 ? 点评? 这是一组求二项展开式的各项系数和的题目，求解的依据是
与. 这两个等式都是恒等式，因此赋予字母，及以某些特定数值时，等式依然成立．
例15、设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若
,则等于多少？
解：若，有，，
令得，又,即解得，.
练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？
解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.
练：解：

练：
解：
（十二）、整除问题
　例16、 ?除以100的余数是???????? ．
　　分析：转化为二项式的展开式求解．
　　　　　　　　．
　　上式中只有最后两项不能被100整除．8281除以100的余数为81，所以除以100的余数为81．
例17、证明：能被64整除
证：
由于各项均能被64整除
（十三）、近似值问题
例18、的近似值（精确到0.001）是??????? ．
　　分析?
　　
（十四）、不等式证明问题
例19、若实数满足，求证：
证：令,,则.
例20、已知等差数列及等比数列中，，且这两个数列都是递增的正项数列，求证：当时，
证：设 , 则,


利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例18）及“减项放缩法”（例19）较为普遍。
练;证明：
练：
三、知识巩固：
1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是
解：设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是
2、 2、
解：4n
3、的展开式中的有理项是展开式的第 项
解：3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
解：(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35
5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
解：,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是
6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解：=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为
7、若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？
解：由条件得m+n=21，x2的项为，则因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小
8、自然数n为偶数时，求证：

证明：原式=
9、求被9除的余数
解： ,
∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余8
10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
解：
在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为240
11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项
解：设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有


∴展开式中系数最大项为第5项，T5=

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