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二元目标函数取值范围的求法
二元目标函数是指含有两个变量的表达式，通常记为，有关二元目标函数的值域、最值问题是常见题型，要注意其中涉及的数学思想和方法。
一、消元法
例1． 若
分析：，利用条件，可对实施消元，使之转化成为==，这样原二元问题就转化一元表达式的最大值，
∴，当原表达式有最大值。
注： 本题除了将二元问题化为一元问题后，还要注意对变量隐含条件的挖掘。一般说来，题目条件中有所求二元变量的等量关系，且能用其中一个去表示另外一个，通常都可以通过消元将二元问题转化为一元问题处理。
二、换元法
例2．?已知,求的取值范围。
分析：由联想到同角三角关系中的，可采用三角换元去处理，
由得， 的取值范围是。
注：三角换元是常用的一种换元方法，要选择适当的三角函数，使代数问题三角化，充分利用三角函数的图象和性质去处理，但换元时，要注意三角式和代数式的等价性。
常见的换元方法：
①若x2+y2=r2 令x=rcosα y=rsinα
②若 令x=acosα y=bsinα
三、重要不等式法（最值定理）
例3．已知a>0，b>0，a+2b=1，求的最小值。
分析：这是有关二元表达式的最值问题，考虑道题目中的条件，可直接利用基本不等式。
≥当且仅当，即时 ，。
注：利用最值定理求最值时要抓住（1）“一正，二定，三等”（2）连续使用同向不等式时要保证等号条件的一致性。本题最常见的错误解法是：由a+2b≥，a+2b=1得≤1，∴≤，∴≥，∴≥≥2×。其原因是两次运用基本不等式的等号成立条件不一致。在a+2b≥中等号成立的条件是a=2b；在≥中，等号成立的条件是a=b，当时，a=b=0，这与已知条件矛盾。此外本题也可采用消元法，换元法去处理。
四、转化法
例4． 已知
分析：，又可转化成点（1，1）到直线上点的距离，由点到线的距离公式得的最小值为
例5．已知满足，求。
分析：根据的结构特征，可联想道点到线的距离公式，则原题可转化为圆上一点到直线的距离的最小值，由图形可知，该距离的最小值又可转化为圆心到直线的距离与半径的差，即:=
∴二元表达式的最小值为。此外本题也可采用换元法求解。
例6 若实数x、y满足x2+y2－6x－4y+12=0，求的最大值及最小值.
分析： 点（x,y）满足圆的方程，而正好看作是圆上的点与原点连线的斜率从而转化为由动点（x,y）向圆所引的两条切线的斜率.由已知得（x－3）2+(y－2)2=1，圆心（3，2），半径为1
设y=kx,即kx－y=0由直线与圆相切，得，解得
的最大值为，最小值为。
此题也可通过作图用两角和差公式计算。
注：以上三题都是转化法，利用数形结合思想中的 “形”中觅“数”，“数”上构“形”， 由所问的问题的表达式结构特征，转化为几何问题。
五、?线性规划法
例7 已知满足，求z=2x+y的最大值和最小值。
?分析： 先作出可行域，如图所示中△ABC表示的区域，且求得、B（-1，-1）、C（2，-1）。作出直线l0：2x+y=0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过B点时，可使z=2x+y达到最小值，当l0的平 行线l2过C点时，可使z=2x+y达到最大值。zmin=2×（-1）+（-1）=-3，zmin=2×2+（-1）=3。
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注：线性规划作为直线方程的延伸，为我们处理二元线性函数的最值提供了一个新的思路和方法。要注意理解与掌握。
总之，二元目标函数的值域，最值问题的处理应是在题中条件的基础上，分析表达式的结构特征，合理选择适当方法求解，通过有效的针对性训练，掌握常见题型的思维方法，多总结，做到真正理解和掌握。

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