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专题2 复数
习题精练 夯实基础 题题到位
1.(2022·全国乙卷(文))设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a,b为实数，则(　　)
A. a＝1，b＝－1 B. a＝1，b＝1 C. a＝－1，b＝1 D. a＝－1，b＝－1
思路分析：根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．
答案：A
解析：∵(1＋2i)a＋b＝2i，∴a＋b＋2ai＝2i，即解得故A项正确．
试题评价：本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
2.(2022·全国乙卷(理))已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a,b为实数，则(　　)
A. a＝1，b＝－2 B. a＝－1，b＝2 C. a＝1，b＝2 D. a＝－1，b＝－2
思路分析：根据复数与共轭复数的定义，利用复数相等列方程求出a,b的值．
答案：A
解析：∵z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，∴(1－2i)＋a(1＋2i)＋b＝0，即(1＋a＋b)＋a(－2＋2 a) i＝0，∴解得故A项正确．
试题评价：本题考查了复数与共轭复数以及复数相等的应用问题，是基础题．
3.(2022·全国甲卷(文))若z＝1＋i，则| iz＋3|＝(　　)
A.4 B.4 C.2 D.2
思路分析：先求出iz＋3＝i＋i2＋3(1－i)＝2－2i，由此求出| iz＋3|．
答案：D
解析：∵z＝1＋i，∴iz＋3＝i＋i2＋3(1－i)＝2－2i，则| iz＋3|＝|2－2i|＝＝2，故选D．
试题评价：本题考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.(2022·全国甲卷(理))若z＝－1＋i，则＝(　　)
A.－1＋i B.－1－i C.－＋i D.－－i
思路分析：由已知先求出z，代入即可求出．
答案：C
解析：∵z＝－1＋i，∴z＝| z |2＝()2＝4，∴＝＝－＋i，故选C．
试题评价：本题考查复数代数形式的乘除运算、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　)
A.－2 B.－1 C. 1 D. 2
思路分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再求出z＋．
答案：D
解析：∵i(1－z)＝1，∴1－z＝＝＝－i，∴z＝1＋i，则＝1－i，∴z＋＝1＋i＋1－i＝2，故选D．
试题评价：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
6.(2022·新高考Ⅱ卷) (2＋2i) (1－2i)＝(　　)
A.－2＋4i B.－2－4i C.6＋2i D.6－2i
思路分析：由已知结合复数的四则运算即可求解．
答案：D
解析：(2＋2i) (1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝6－2i，故选D．
试题评价：本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
7.(2022·北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则| z |＝(　　)
A.1 B.5 C.7 D.25
思路分析：把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
答案：B
解析：∵i·z＝3－4i，∴z＝，∴| z |＝| |＝ ＝＝5，故选B．
试题评价：本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．
8.(2022·浙江卷)已知a,b∈R, a＋3i＝(b＋i)·i(i为虚数单位)，则| z |＝(　　)
A. a＝1，b＝－3 B. a＝－1，b＝3 C. a＝－1，b＝－3 D. a＝1，b＝3
思路分析：利用复数的乘法运算化简，再利用复数相等求解．
答案：B
解析：∵a＋3i＝(b＋i)·i＝－1＋bi，a,b∈R，∴a＝－1，b＝3，故选B．
试题评价：本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的定义，是基础题．
9.(2022·天津卷)已知i是虚数单位，化简的结果为 ．
思路分析：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，进行分母实数化，再化简.
答案：1－5i
解析：＝＝＝1－5i，故填1－5i．
试题评价：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
10.(2022·上海春季高考)若z＝2＋i(其中i为虚数单位)，则＝ .
思路分析：根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．
答案：2－i
解析：∵z＝2＋i，∴＝2－i，故答案为：2－i．
试题评价：本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．
11.(2022·上海秋季高考)若z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则2＝ .
思路分析：直接利用共轭复数的概念得答案．
答案：2－2i
解析：∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴2＝2－2i，故答案为：2－2i．
试题评价：本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．
12.(2021·全国乙卷(文))设iz＝4＋3i，则z＝(　　)
A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4i D.3＋4i
思路分析：直接把已知等式变形求解，或利用复数的代数形式，或者利用等式的性质两边同时乘以i．
答案：C
解析：方法一　(转化为复数除法运算)
∵iz＝4＋3i，∴z＝＝＝＝3－4i.
方法二　(利用复数的代数形式)
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋3i，即－b＋ai＝4＋3i，∴即∴z＝3－4i.
方法三　(巧用同乘技巧)
∵iz＝4＋3i，∴iz·i＝(4＋3i)·i，∴－z＝4i－3，∴z＝3－4i.
试题评价：本题主要考查复数的基本概念，属于基础题．
13.(2021·全国乙卷(理))设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)
A.1－2i B.1＋2i C.1＋i D.1－i
思路分析：设z＝a＋bi，表示出，再利用复数代数形式的运算化简．
答案：C
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，∴2(z＋)＋3(z－)＝4a＋6bi＝4＋6i，∴即∴z＝1＋i.
试题评价：本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数的基本概念，是基础题．
14.(2021·全国甲卷(文、理))已知(1＋i)2 z＝3＋2i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i C.＋i D.－－i
思路分析：由已知可得z＝，再利用复数乘除法运算法则，即可求解．
答案：B
解析：∵(1＋i)2 z＝－2i z＝3＋2i，∴z＝＝＝＝－1＋i.
试题评价：本题考查复数代数形式的除法运算法则，考查复数的基本概念，是基础题．
15.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A.6－2i B.4－2i C.6＋2i D.4＋2i
思路分析：根据z＝2－i，表示出，再利用复数代数形式的运算化简．
答案：C
解析：∵z＝2－i，则＝2＋i，∴z(＋i)＝(2－i) (2＋2i)＝4－4i－2i－2i2＝6＋2i.
试题评价：本题考查复数的乘法运算法则，共轭复数的基本概念，是基础题．
16.(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
思路分析：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，进行分母实数化，再化简，最后根据复数的几何意义得到答案.
答案：A
解析：＝＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限．
试题评价：本题主要考查复数的四则运算以及几何意义，属于基础题．
17.(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于(　　)
A.－1 B.1 C.－3 D.3
思路分析：直接把已知等式变形求解，利用复数的代数形式，或者利用等式的性质两边同时乘以i．
答案：C
解析：方法一　∵(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.
方法二　∵(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3.
试题评价：本题主要考查复数的基本概念，属于基础题．
18.(2020·全国Ⅲ卷(文))若(1＋i)＝1－i，则z等于(　　)
A.1－i B.1＋i C.－i D.i
思路分析：直接把已知等式变形求解，得到共轭复数．
答案：D
解析：∵＝＝＝－i，∴z＝i.
试题评价：本题主要考查共轭复数的基本概念以及复数的四则运算，属于基础题．
19.(2020·全国Ⅲ卷(理)) 复数的虚部是(　　)
A.－ B.－ C. D.
思路分析：利用复数的除法运算求出z即可.
答案：D
解析：∵z＝＝＝＝＋i，∴该复数的虚部为.
试题评价：本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
20.(2020·全国Ⅰ卷(文))若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　)
A.0 B.1 C. D.2
思路分析：先根据i2＝－1将z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
答案：C
解析：∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝＝．
试题评价：本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于基础题．
21.(2020·全国Ⅰ卷(理))若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A.0 B.1 C. D.2
思路分析：由题意首先求得z2－2z的值，然后计算其模即可.
答案：D
解析：方法一　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.
方法二　|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.
试题评价：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
22.(2020·新高考Ⅰ卷)＝(　　)
A.1 B.－1 C.i D.－i
思路分析：根据复数除法法则进行计算.
答案：D
解析：＝＝＝－i.
试题评价：本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
23.(2020·新高考Ⅱ卷) 1＋2i 2＋i ＝(　　)
A.4＋5i B.5i C.－5i D.2＋3i
思路分析：直接计算出答案即可.
答案：B
解析： 1＋2i 2＋i ＝2＋i＋4i＋2i2＝2＋i＋4i－2＝5.
试题评价：本题考查的是复数的计算，较简单，属基础题.
24.(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z等于(　　)
A.1＋2i B.－2＋i C.1－2i D.－2－i
思路分析：先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.
答案：B
解析：由题意知，z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.
试题评价：本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
25.(2020·江苏卷)已知i是虚数单位，则复数z＝ 1＋i 2－i 的实部是 .
思路分析：根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
答案：3
解析：∵复数z＝ 1＋i 2－i ，∴z＝2－i＋2i－i2＝3＋i，∴复数的实部为3.
试题评价：本题考查复数的基本概念，是基础题．
26.(2020·天津卷) i是虚数单位，复数＝ .
思路分析：将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
答案：3－2i
解析：＝＝＝3－2i.
试题评价：本题考查复数的四则运算，属于基础题.
27.(2019·全国Ⅱ卷(理))设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
思路分析：先求出共轭复数再判断结果.
答案：C
解析：＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)位于第三象限．
试题评价：本题考查共轭复数的知识，为基础题目．
28.(2019·全国Ⅰ(理))设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A. (x＋1)2＋y2＝1 B. (x－1)2＋y2＝1 C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
思路分析：采用几何法，根据点(x，y)和点(0，1)之间的距离为1，可得答案．
答案：C
解析：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
试题评价：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题，属于基础题．
29.(2020·全国Ⅱ卷(理))设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
思路分析：方法一：利用复数相等求解；方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解.
答案：2
解析：方法一　设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，∵z1＋z2＝＋i，∴2z1＝(＋a)＋(1＋b)i,2z2＝(－a)＋(1－b)i. ∵|z1|＝|z2|＝2，∴|2z1|＝|2z2|＝4，∴＝4，① ＝4，②
①2＋②2，得a2＋b2＝12.所以|z1－z2|＝＝2.
方法二　设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋.由题意知||＝||＝|＋|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应向量，且||＝||＝||＝2，
可得||＝2||sin 60°＝2.故|z1－z2|＝||＝2.
试题评价：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
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【备考2023】文科数学近三年试题分类汇编 专题2 复数 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
专题2 复数
习题精练 夯实基础 题题到位
1.(2022·全国乙卷(文))设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a,b为实数，则(　　)
A. a＝1，b＝－1 B. a＝1，b＝1 C. a＝－1，b＝1 D. a＝－1，b＝－1
2.(2022·全国乙卷(理))已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a,b为实数，则(　　)
A. a＝1，b＝－2 B. a＝－1，b＝2 C. a＝1，b＝2 D. a＝－1，b＝－2
3.(2022·全国甲卷(文))若z＝1＋i，则| iz＋3|＝(　　)
A.4 B.4 C.2 D.2
4.(2022·全国甲卷(理))若z＝－1＋i，则＝(　　)
A.－1＋i B.－1－i C.－＋i D.－－i
5.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　)
A.－2 B.－1 C. 1 D. 2
6.(2022·新高考Ⅱ卷) (2＋2i) (1－2i)＝(　　)
A.－2＋4i B.－2－4i C.6＋2i D.6－2i
7.(2022·北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则| z |＝(　　)
A.1 B.5 C.7 D.25
8.(2022·浙江卷)已知a,b∈R, a＋3i＝(b＋i)·i(i为虚数单位)，则| z |＝(　　)
A. a＝1，b＝－3 B. a＝－1，b＝3 C. a＝－1，b＝－3 D. a＝1，b＝3
9.(2022·天津卷)已知i是虚数单位，化简的结果为 ．
10.(2022·上海春季高考)若z＝2＋i(其中i为虚数单位)，则＝ .
11.(2022·上海秋季高考)若z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则2＝ .
12.(2021·全国乙卷(文))设iz＝4＋3i，则z＝(　　)
A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4i D.3＋4i
13.(2021·全国乙卷(理))设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)
A.1－2i B.1＋2i C.1＋i D.1－i
14.(2021·全国甲卷(文、理))已知(1＋i)2 z＝3＋2i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i C.＋i D.－－i
15.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A.6－2i B.4－2i C.6＋2i D.4＋2i
16.(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
17.(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于(　　)
A.－1 B.1 C.－3 D.3
18.(2020·全国Ⅲ卷(文))若(1＋i)＝1－i，则z等于(　　)
A.1－i B.1＋i C.－i D.i
19.(2020·全国Ⅲ卷(理)) 复数的虚部是(　　)
A.－ B.－ C. D.
20.(2020·全国Ⅰ卷(文))若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　)
A.0 B.1 C. D.2
21.(2020·全国Ⅰ卷(理))若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A.0 B.1 C. D.2
22.(2020·新高考Ⅰ卷)＝(　　)
A.1 B.－1 C.i D.－i
23.(2020·新高考Ⅱ卷) 1＋2i 2＋i ＝(　　)
A.4＋5i B.5i C.－5i D.2＋3i
24.(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z等于(　　)
A.1＋2i B.－2＋i C.1－2i D.－2－i
25.(2020·江苏卷)已知i是虚数单位，则复数z＝ 1＋i 2－i 的实部是 .
26.(2020·天津卷) i是虚数单位，复数＝ .
27.(2019·全国Ⅱ卷(理))设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
28.(2019·全国Ⅰ(理))设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A. (x＋1)2＋y2＝1 B. (x－1)2＋y2＝1 C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
29.(2020·全国Ⅱ卷(理))设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
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【备考2023】文科数学近三年试题分类汇编 专题2 复数 1/1

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