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第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.1 函数的单调性
学案
一、学习目标
1.理解可导函数的单调性与其导数的关系.
2.能根据导数判断函数的单调性以及求解函数的单调区间.
3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
2、 基础梳理
1.函数的单调性与导数的关系：
一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减.
2. 函数的单调性：
判断函数的单调性的步骤：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数的零点；
第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.
3. 函数的变化快慢与导数的关系：
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
三、巩固练习
1.如果函数在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数是区间I上的“缓增函数”，区间I称为“缓增区间”.若函数是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )
A. B. C. D.
2.已知奇函数是R上的增函数，且，则( )
A. B.
C. D.
3.已知函数,若在上有解,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知函数,则“”是“在上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.和
6.函数的单调减区间为( )
A.和 B. C. D.
7.（多选）已知是R上的可导函数，且对于任意恒成立，则下列不等关系正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.（多选）已知定义在R上的奇函数连续且可导，若（为的导函数），则( )
A. B. C. D.
答案以及解析
1.答案：D
解析：易知函数的图像开口向上，且其对称轴为直线，
所以函数在区间上是增函数.
当时，，
令，则，
由得，
即函数在区间上单调递减，故“缓增区间”I为.
2.答案：B
解析：由奇函数是R上的增函数，可得，且当时， ，当时，.
由，知，即为R上的偶函数.
因为，所以当时，，当时，，
故时，函数单调递增，时，函数单调递减.
因为，
所以.
3.答案：D
解析：在定义域上单调递增.又,由,得.令,则当时,存在的图象在的图象上方的情况.,又实数需满足.故选D.
4.答案：A
解析：由题意得.当时,在上单调递增;当在上单调递增时,.故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.
5.答案：B
解析：的定义域为R，且.当时，，在上单调递增，所以的单调递增区间为.故选B.
6.答案：C
解析：由题意，得，令，即，解得或.又因为，所以函数的单调减区间为.
7.答案：AC
解析：设，所以，因为，所以，所以在R上是减函数，所以，即，故选AC.
8.答案：ACD
解析：是定义在R上的奇函数在中，令得即A正确是定义在R上的奇函数，B错误；在中，令得又C正确；构造函数则当时，在上单调递增，D正确.
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