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陕师附高2022-2023学年高一上学期期中考试
数学试题
一、选择题
（一）单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与；
③与；④与.
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
6.设函数，，则（ ）
A. B.0 C.1 D.2
7.设已知函数，如下表所示：
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
4 3 2 1 5
则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数若值域为，则实数的
范围是（ ）
A. B. C. D.
（二）多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．全对得4分，
少选得2分，多选、错选不得分）
9.已知非零实数，，满足，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数的图象经过点，则（ ）
A.的图象经过点 B.的图象关于原点对称
C.若，则 D.当时，恒成立
11.以下结论正确的是（ ）
A.函数的最小值是2 B.若且，则
C.函数的最大值为0 D.的最小值是2
12.已知，，则（ ）
A.无最小值 B.最小值
C.无最大值 D.最大值为
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.函数的定义域为_______.
14.不等式对都成立，那么实数的取值范围为_______.
15.为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶
梯：月用电量不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过千瓦时但不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时.若某户居民月份交纳的电费为元，则此户居民月份的用电量为_______千瓦时.
16．若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在
上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．
请写出函数的一个共鸣区间_______.
三、解答题（本大题共5小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设，，，
．
（1）求、的值及、；
（2）求.
18.通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散.
分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出
和讲授概念的时间（单位：分钟），且
（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？
（2）一个数学难题，需要的接受能力为55，教学时间至少要13分钟，教师能否
及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
19.已知，命题：，，命题：，.
（1）若为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
20．如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求
在射线上，在射线上，且对角线过点.已知米，米，设的长为米，且要求的长不少于米.
（1）设矩形花坛的面积为，试求函数的解析式及其定义域；
（2）求当的长度分别是多少时，矩形花坛的
面积最小，并求出此最小值.
21.已知是定义在上的奇函数，当，且时，
.
（1）判断函数的单调性，并给予证明；
（2）若，对，恒成立，
求实数的取值范围.
陕师附高2022-2023学年高一上学期期中考试
数学试题答案
一、选择题
（一）单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B B D C C A
（二）多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．全对得4分，
少选得2分，多选、错选不得分）
题号 9 10 11 12
答案 AC BCD BC AD
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
题号 13 14 15 16
答案 ，或，或.
三、解答题（本大题共5小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设，，，．
（1）求、的值及、；
（2）求.
解：（1）由题意可得，，则，解得，…………2分
所以，，，
则，满足题意.
综上所述，，，，.………………………5分
（2）由（1）可知，………………………7分
，因此，.…………………………………10分
18.通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念
和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散.
分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出
和讲授概念的时间（单位：分钟），且
（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？
（2）一个数学难题，需要的接受能力为55，教学时间至少要13分钟，教师
能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
解：（1）当时，，
故其递增，最大值为；…………………………………………2分
当时，递减，，………………………………4分
因此开讲后10分钟达到最强的接受状态，并维持6分钟. ……………5分
（2）当时，令，得；………………………………7分
当时，令，得.………………………………9分
因此学生达到55的接受能力的时间为，教师不能在学生达
到最佳接受状态的情况下讲完这道难题. ………………………………10分
19.已知，命题：，，命题：，.
（1）若为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
解：（1）由，，对不等式分类讨论：
①当时，即，这与矛盾；…………………………2分
②当时，由对恒成立以及二次函数性质可知，
，…………………………………………4分
又因为为假命题，所以，
故实数的取值范围为.……………………………………5分
（2）若，，即，，
故只须即可，………………………………………7分
①若真假，结合（1）中结论可知，，解得；……9分
②若假真，结合（1）中结论可知，，解得.……11分
综上所述，实数的取值范围为.…………………12分
20.如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求
在射线上，在射线上，且对角线过点.已知米，米，设的长为米，且要求的长不少于米.
（1）设矩形花坛的面积为，试求函数的解析式及其定义域；
（2）求当的长度分别是多少时，矩形花坛的
面积最小，并求出此最小值.
解：（1）设的长为米（），因为是矩形，所以，
所以，，……………………3分
由得.…………………………………………5分
所以，.……………………………………6分
（2）令，则，所以，……9分
当且仅当，即时，等号成立，
此时米，最小面积为平方米.……………………12分
21.已知是定义在上的奇函数，当，且时，.
（1）判断函数的单调性，并给予证明；
（2）若，对，恒成立，求实数 的取值范围.
解：（1）证明：对任意的，由已知，
因为，所以，…………………………2分
又是奇函数，所以，…………………………4分
即，所以是增函数. ……………………………5分
（2）因为是增函数，对，恒成立，
等价于对恒成立，
等价于对恒成立，
等价于对恒成立，……………………………8分
设，……………………………………………………9分
只须………………………………………11分
等价于，或，或.
所以的取值范围是.………………………12分

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