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第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.2函数的极值与最大（小）值
第一课时 函数的极值
学案
一、学习目标
1. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值；
3. 体会导数与单调性、极值的关系.
2、 基础梳理
1. 函数的极值：
函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.
我们把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2. 函数极值的求法：
按如下方法求函数的极值：
解方程，当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.
三、巩固练习
1.若函数,则的所有极大值点之和与所有极小值点之和的差为( )
A. B. C. D.
2.设函数,则( )
A.的极大值点在内 B.的极大值点在内
C.的极小值点在内 D.的极小值点在内
3.已知函数有两个极值点，且，则下列选项错误的是( )
A. B. C. D.
4.函数的极大值为( )
A. B.6 C. D.7
5.函数( )
A.有极大值5，极小值-27 B.有极大值5，极小值-11
C.有极大值5，无极小值 D.有极小值-27，无极大值
6.若是函数的极值点,则的值为( )
A. B.3 C.或3 D.或2
7.（多选）如图是导函数的图象，则下列说法错误的是( )
A.为函数的单调递增区间
B.为函数的单调递减区间
C.函数在处取得极大值
D.函数在处取得极小值
8.（多选）对于函数，以下选项正确的是( )
A.有2个极大值 B.有2个极小值
C.1是极大值点 D.1是极小值点
答案以及解析
1.答案：A
解析：易得时,时,时,单调递减,时,单调递增,当时,取得极小值,当时,取得极大值.的所有极大值点为的所有极小值点为,.
2.答案：A
解析：依题意,令,解得.当或时,,当时,,故函数在时取得极大值,在时取得极小值.故选项A正确.
3.答案：A
解析：函数的定义域为.由得.令.因为有两个极值点，所以关于x的方程有两个不等正根.由一元二次方程根的分布情况可得，解得，D正确.关于x的方程的两个不等实根就是，则.而，显然 ，B，C正确.构造函数，则.在上，恒成立，故在上单调递增.又，所以，即，A不正确.故选A.
4.答案：A
解析：令，得.
当时，；
当时，；
当时，，
当时，，故选A.
5.答案：C
解析：由题意可得.
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
∴当时，函数取得极大值，极大值为，无极小值.
6.答案：B
解析：,由题意知,解得或.当时,,当或时,单调递增,当时,单调递减,是函数的极值点;当时,在上单调递增,无极值点,舍去.故选B.
7.答案：BC
解析：由题图，可知当或时，，当或时，，所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，所以函数在，处取得极小值，在处取得极大值，故选项BC说法错误.
8.答案：BC
解析：由题得.
则有2个极小值，1是极大值点.
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