资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台突破3.1 椭圆一、考情分析二、考点梳理知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M|+=2a},=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a>c,则集合P为椭圆;(2)若a=c,则集合P为线段;(3)若a<c,则集合P为空集.知识点二 椭圆的标准方程和几何性质标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)图形性质 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0)顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴 长轴A1A2的长为2a,短轴B1B2的长为2b焦距 =2c离心率 e=, e∈(0,1)a,b,c的关系 c2=a2-b2【知识必备】1.焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|.(1)+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;(2)+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中(1)当P为短轴端点时,θ最大.(2)S=|PF1||PF2|·sin θ=b2tan =c|y0|,当|y0|=b时,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a+c).3.焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin=.4.AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则(1)弦长l=|x1-x2|= |y1-y2|;(2)直线AB的斜率kAB=-.三、题型突破重难点题型突破01 椭圆的定义及其应用例1、(1)、(2022·全国·高二课时练习)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和,且椭圆经过点,则该椭圆的标准方程是( )A. B.C. D.(2).(2021·全国高二专题练习)动圆过定点,且内切于定圆:,动圆圆心的轨迹方程为________.【变式训练1-1】、(2022·甘肃武威·高二期末(理))动点到两定点,的距离和是,则动点的轨迹为( )A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.不能确定【变式训练1-2】.(2021·全国高二课时练习)已知,是圆上一动点,线段的垂直平分线交于点,则动点的轨迹方程为( )A. B.C. D.重难点题型突破02 椭圆方程的简单的几何性质例2.(1)、(2022·全国·高二单元测试)椭圆的短轴长为______.(2)、(2021·湖南·高二期中)(多选题)已知椭圆的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆的标准方程可能为( )A. B.C. D.【变式训练2-1】、(2022·上海静安·二模)已知椭圆的一个焦点坐标为,则__________.【变式训练2-2】、(2022·全国·高二课时练习)若椭圆上点P到右焦点的距离为4,则点P的横坐标为______.重难点题型突破03 求椭圆的标准方程例3、(2022·全国·高二课时练习)求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点;(2)经过点,.【变式训练3-1】、(2021·全国·高二单元测试)求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为F1(0,﹣2),F2(0,2),并且椭圆经过点.(2)椭圆经过和.例4、(2022·全国·高二课时练习)双曲线过点,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为______.【变式训练4-1】、(2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习)与椭圆有相等的焦距,且过圆的圆心的椭圆的标准方程为______.重难点题型突破04 椭圆的综合性质例5、(1)、(2022·全国·高二专题练习)已知椭圆C:1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的最小值为_______.(2)、(2022·北京朝阳·高二期末)古希腊数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点,的距离之比为定值的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知点,,动点满足,记动点的轨迹为曲线,给出下列四个结论:①曲线的方程为;②曲线上存在点,使得到点的距离为;③曲线上存在点,使得到点的距离大于到直线的距离;④曲线上存在点,使得到点与点的距离之和为.其中所有正确结论的序号是___________.【变式训练5-1】、(2021·江苏·高二单元测试)已知A,F分别是椭圆C:的下顶点和左焦点,过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M,N两点,且N点的纵坐标为,若的周长为6,则的面积为( )A. B. C. D.【变式训练5-2】、(2021·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习)(多选题)已知椭圆:,,分别为它的左右焦点,,分别为它的左右顶点,已知定点,点是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有( )A.存在点,使得 B.直线与直线斜率乘积为定值C.有最小值 D.的范围为重难点题型突破05椭圆的范围与最值问题例6、(2022·宁夏吴忠·模拟预测)已知抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.(1)求抛物线E的方程;(2)点A、B为抛物线E上异于原点O的两不同的点,且满足.若直线AB与椭圆恒有公共点,求m的取值范围.【变式训练6-1】、(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知椭圆的离心率为,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程:(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.重难点题型突破06椭圆的定点与定值问题例7.(2022·江西·高三开学考试(理))已知椭圆C:的右焦点为F,过点F作一条直线交C于R,S两点,线段RS长度的最小值为,C的离心率为.(1)求C的标准方程;(2)斜率不为0的直线l与C相交于A,B两点,,且总存在实数,使得,问:l是否过一定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,试说明理由.【变式训练7-1】、(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆的离心率,且过点.(1)求的方程;(2)已知点,直线与交于、两点,若的平分线垂直于轴,证明:过定点.重难点题型突破07 直线与椭圆综合应用例8、(2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习(文))已知椭圆的左 右焦点分别为是上一动点,的最大面积为.(1)求的方程;(2)若直线与交于两点,为上两点,且,求四边形面积的最大值.【变式训练8-1】、(2022·江西赣州·一模(理))在平面直角坐标系中,,,,,点P是平面内的动点.若以为直径的圆O与以为直径的圆T内切.(1)证明:为定值,并求点P的轨迹E的方程;(2)设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点,问在E上是否存在一点Q,使直线、与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,说明理由.四、课堂练习1.(2022·全国·高二课时练习)设为定点,,动点M满足,则动点M的轨迹是( )A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段2.(2022·全国·高二专题练习)一动圆与圆外切,而与圆内切,那么动圆的圆心的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.双曲线的一支3.(2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中)(多选题)若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2:1,则称该椭圆为“倍径椭圆”.则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是( )A. B.C. D.4.(2021·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习)若方程表示椭圆,则实数的取值范围是______________.5.(2022·江苏·高二课时练习)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点为,,且经过点;(2)焦点为,,且经过点;(3)经过点,.6.(2022·全国·高二课时练习)分别根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1),焦点在x轴上;(2),经过点,焦点在y轴上.7.(2020·湖南·新邵县教研室高二期末)已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点,()在椭圆上,点,是椭圆上不同于,的两个动点,且满足:,试问:直线的斜率是否为定值?请说明理由.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台突破3.1 椭圆一、考情分析二、考点梳理知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M|+=2a},=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a>c,则集合P为椭圆;(2)若a=c,则集合P为线段;(3)若a<c,则集合P为空集.知识点二 椭圆的标准方程和几何性质标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)图形性质 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0)顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴 长轴A1A2的长为2a,短轴B1B2的长为2b焦距 =2c离心率 e=, e∈(0,1)a,b,c的关系 c2=a2-b2【知识必备】1.焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|.(1)+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;(2)+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中(1)当P为短轴端点时,θ最大.(2)S=|PF1||PF2|·sin θ=b2tan =c|y0|,当|y0|=b时,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a+c).3.焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin=.4.AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则(1)弦长l=|x1-x2|= |y1-y2|;(2)直线AB的斜率kAB=-.三、题型突破重难点题型突破01 椭圆的定义及其应用例1、(1)、(2022·全国·高二课时练习)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和,且椭圆经过点,则该椭圆的标准方程是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】根据椭圆的焦点可求,根据经过点,可得,进而可求解,即可得椭圆方程.【详解】因为焦点坐标为和,所以.椭圆经过点,且焦点在x轴上,所以,所以,则椭圆的标准方程为.故选:A.(2).(2021·全国高二专题练习)动圆过定点,且内切于定圆:,动圆圆心的轨迹方程为________.【答案】【分析】由点在圆内部可知动圆在圆内部,由两圆内切知圆心距,进而得到,由此确定动圆圆心轨迹为椭圆,由椭圆定义可计算求得轨迹方程.【详解】由圆方程知其圆心为,半径,,即点在圆内部,动圆在圆内部,设圆半径为,则,,即,又,,动圆圆心的轨迹满足以为焦点的椭圆,此时,,,动圆圆心的轨迹方程为:.故答案为:.【点睛】关键点点睛:本题考查动点轨迹方程的求解问题,解题关键是能够根据两圆内切构造等量关系,即圆心距等于大圆半径与小圆半径之差,由此确定动点轨迹为椭圆.【变式训练1-1】、(2022·甘肃武威·高二期末(理))动点到两定点,的距离和是,则动点的轨迹为( )A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.不能确定【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义,即可得答案.【详解】由题意可得,根据椭圆定义可得,P点的轨迹为椭圆,故选:A【变式训练1-2】.(2021·全国高二课时练习)已知,是圆上一动点,线段的垂直平分线交于点,则动点的轨迹方程为( )A. B.C. D.【答案】A【分析】根据垂直平分线的性质得,再由椭圆的定义可得出点的轨迹是以,为焦点的椭圆,由椭圆的方程可求得动点的轨迹方程.【详解】解:由题意,可知圆的标准方程为,圆心为,半径为6.∵线段的垂直平分线交于点,∴,∴,∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆,∴,,,∴其轨迹方程为.故选:A.重难点题型突破02 椭圆方程的简单的几何性质例2.(1)、(2022·全国·高二单元测试)椭圆的短轴长为______.【答案】4【分析】由椭圆的方程可得,则,进而可得椭圆的短轴长.【详解】解:因为椭圆,所以,所以,所以椭圆的短轴长为,故答案为:4.(2)、(2021·湖南·高二期中)(多选题)已知椭圆的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆的标准方程可能为( )A. B.C. D.【答案】AC【分析】利用椭圆长轴,短轴的长结合焦点位置可求椭圆标准方程.【详解】由题意有,,故椭圆的标准方程可能为或.故选:AC.【变式训练2-1】、(2022·上海静安·二模)已知椭圆的一个焦点坐标为,则__________.【答案】【解析】【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可.【详解】由焦点坐标知焦点在轴上,且,解得.故答案为:.【变式训练2-2】、(2022·全国·高二课时练习)若椭圆上点P到右焦点的距离为4,则点P的横坐标为______.【答案】【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标,设,由椭圆方程和距离列方程组求解.【详解】由已知,,右焦点为,设,,则,消去得,,,(舍去),所以点横坐标为.故答案为:.重难点题型突破03 求椭圆的标准方程例3、(2022·全国·高二课时练习)求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点;(2)经过点,.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据椭圆上的点,结合椭圆的定义,求后,即可求得椭圆方程;(2)首先设椭圆的一般方程,代入两点,即可求得椭圆方程.(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的标准方程为.由椭圆的定义知,,即.又c=2,所以.所以椭圆的标准方程为.(2)设椭圆的方程为(,,且).因为点,在椭圆上,所以代入椭圆的方程得,解得,,所以椭圆的标准方程为.【变式训练3-1】、(2021·全国·高二单元测试)求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为F1(0,﹣2),F2(0,2),并且椭圆经过点.(2)椭圆经过和.【答案】(1);(2)【分析】(1)由焦点坐标可求出,再由椭圆第一定义可求,即可求出标准方程;(2)可设椭圆的方程为mx2+ny2=1,采用待定系数法即可求解;【详解】(1)根据题意,两个焦点的坐标分别为F1(0,﹣2),F2(0,2),即c=2,又由椭圆经过点,则2a2,故a,则b2=a2﹣c2=10﹣4=6,故要求椭圆的方程为1;(2)根据题意,设椭圆的方程为mx2+ny2=1,又由椭圆经过和,则有,解可得m=5,n=4;则要求椭圆的方程为5x2+4y2=1,即其标准方程为1.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,待定系数法适用于将已知点带入椭圆方程进行求解;在已知焦点的情况,可以采用椭圆第一定义进行求解,属于基础题例4、(2022·全国·高二课时练习)双曲线过点,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】根据离心率得出的关系,代入点求解即可.【详解】因为双曲线离心率为2,所以,所以,即,点代入双曲线方程得:,解得,,所以双曲线的标准方程为.故答案为:【变式训练4-1】、(2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习)与椭圆有相等的焦距,且过圆的圆心的椭圆的标准方程为______.【答案】或,【解析】【分析】先求出椭圆的焦距,再设出椭圆方程,求出的圆心坐标,列方程组可求得答案【详解】由,得,得,圆的圆心坐标为,当所求椭圆的焦点在轴上时,设椭圆方程为,则解得,所以椭圆方程为,当所求椭圆的焦点在轴上时,设椭圆方程为,则解得,所以椭圆方程为,综上,所求椭圆方程为或,故答案为:或,重难点题型突破04 椭圆的综合性质例5、(1)、(2022·全国·高二专题练习)已知椭圆C:1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的最小值为_______.【答案】【分析】方法一:根据椭圆的定义,结合基本不等式中“1的妙用”求解最小值即可;方法二:设化简,再结合二次不等式的最值求解即可【详解】根据条件可得故则根据椭圆定义可知方法一当即在椭圆上下顶点时,取到等号,的最小值为.方法二 设则令,,又.的最小值为故答案为:1(2)、(2022·北京朝阳·高二期末)古希腊数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点,的距离之比为定值的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知点,,动点满足,记动点的轨迹为曲线,给出下列四个结论:①曲线的方程为;②曲线上存在点,使得到点的距离为;③曲线上存在点,使得到点的距离大于到直线的距离;④曲线上存在点,使得到点与点的距离之和为.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①④【分析】设,根据满足,利用两点间距离公式化简整理,即可判断①是否正确;由①可知,圆上的点到的距离的范围为,进而可判断②是否正确;设,根据题意可知,再根据在曲线上,可得,由此即可判断③是否正确;由椭圆的的定义,可知在椭圆上,再根据椭圆与曲线的位置关系,即可判断④是否正确.【详解】设,因为满足,所以,整理可得:,即,所以①正确;对于②中,由①可知,点在圆的外部,因为到圆心的距离,半径为,所以圆上的点到的距离的范围为,而,所以②不正确;对于③中,假设存在,使得到点的距离大于到直线的距离,又,到直线的距离,所以,化简可得,又,所以,即,故假设不成立,故③不正确;对于④中,假设存在这样的点,使得到点与点的距离之和为,则在以点与点为焦点,实轴长为的椭圆上,即在椭圆上,易知椭圆与曲线有交点,故曲线上存在点,使得到点与点的距离之和为;所以④正确.故答案为:①④.【变式训练5-1】、(2021·江苏·高二单元测试)已知A,F分别是椭圆C:的下顶点和左焦点,过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M,N两点,且N点的纵坐标为,若的周长为6,则的面积为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据已知条件求得,由此求得的面积.【详解】由题意得,,,因为直线AM的倾斜角为,所以直线MN的方程为,把代入椭圆方程解得,所以,因为A在直线MN上,所以,解得.又,,解得,令,则,即,因为M为椭圆的右焦点,所以,由椭圆的定义可知,,因为的周长为6,所以,所以,所以,,所以,,.所以.故答案为:.【变式训练5-2】、(2021·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习)(多选题)已知椭圆:,,分别为它的左右焦点,,分别为它的左右顶点,已知定点,点是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有( )A.存在点,使得 B.直线与直线斜率乘积为定值C.有最小值 D.的范围为【答案】BCD【分析】根据的值确定A选项的求直线.通过计算直线与直线斜率乘积来确定B选项的正确性,结合椭圆的定义以及基本不等式判断C选项的正确性.结合椭圆的定义来判断D选项的正确性.【详解】依题意,,A错误.设,则,,为定值,B选项正确.,,当且仅当时等号成立.C选项正确.Q在椭圆外,设直线、与椭圆相交于如图所示,则,,,,即,所以所以.D选项正确.故选:BCD重难点题型突破05椭圆的范围与最值问题例6、(2022·宁夏吴忠·模拟预测)已知抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.(1)求抛物线E的方程;(2)点A、B为抛物线E上异于原点O的两不同的点,且满足.若直线AB与椭圆恒有公共点,求m的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由焦半径公式可得,求解即可得答案;(2)由题意,直线AB斜率不为0,设,,联立直线与抛物线的方程,由韦达定理及可得,从而可得直线AB恒过定点,进而可得定点在椭圆内部或椭圆上即可求解.(1)解:因为抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4,所以,解得,所以抛物线E的方程为;(2)解:由题意,直线AB斜率不为0,设,,由,可得,所以,因为,即,所以,所以,即,所以,所以直线,所以直线AB恒过定点,因为直线AB与椭圆恒有公共点,所以定点在椭圆内部或椭圆上,即,所以.【变式训练6-1】、(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知椭圆的离心率为,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程:(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.【答案】(1)(2)或【分析】(1)由离心率可得,又因为即可求出,即可得出椭圆C的方程;(2)设直线为,联立直线和椭圆的方程得到关于的一元二次方程,可表示出的坐标,即可表示出直线DM的斜率解得,因为l不过D点,则,再结合即可求出k的取值范围.(1)由题意知,离心率,所以,设,两式相减得,所以;所以直线为,即,所以,椭圆方程为;(2)设直线为,由得,则,,,所以,解得,,因为l不过D点,则,即则,化简得,解得,,所以或.重难点题型突破06椭圆的定点与定值问题例7.(2022·江西·高三开学考试(理))已知椭圆C:的右焦点为F,过点F作一条直线交C于R,S两点,线段RS长度的最小值为,C的离心率为.(1)求C的标准方程;(2)斜率不为0的直线l与C相交于A,B两点,,且总存在实数,使得,问:l是否过一定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,试说明理由.【答案】(1);(2)l恒过定点.【分析】(1)线段RS为通径时最短,再根据的关系即可求解;(2)联立直线AB的方程与椭圆方程,利用根与系数的关系表示出,整理式子即得结果.(1)由线段RS长度的最小值为,得,又,所以,解得所以C的标准方程为.(2)由,可知PF平分,∴.设直线AB的方程为,,,由得,,即,∴,,∴,∴,∴,整理得,∴当时,上式恒为0,即直线l恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题.【变式训练7-1】、(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆的离心率,且过点.(1)求的方程;(2)已知点,直线与交于、两点,若的平分线垂直于轴,证明:过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据已知条件可出关于、、的方程,解出这三个量的值,即可得出椭圆的方程;(2)分析可知直线的斜率存在,设直线的方程为,设点、,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,分析可知,可得出、所满足的等式,化简直线的方程,即可得出直线所过定点的坐标.(1)解:由已知可得,解得,因此,椭圆的方程为.(2)解:由题意可知,直线、的斜率互为相反数.若直线的斜率不存在,直线、关于轴对称,此时的平分线为轴,不合乎题意;当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设点、,联立可得,,可得,由韦达定理可得,,,,所以,,所以,,可得,所以,直线的方程为,此时直线过定点.综上所述,直线过定点.【点睛】方法点睛:求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.重难点题型突破07 直线与椭圆综合应用例8、(2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习(文))已知椭圆的左 右焦点分别为是上一动点,的最大面积为.(1)求的方程;(2)若直线与交于两点,为上两点,且,求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据焦距求出,利用的最大面积求出,从而求出,求出椭圆方程;(2)联立直线与椭圆方程,求出两点的坐标,从而求出,再设出直线的方程,联立椭圆方程,表达出,及四边形的面积,求出的长度的最大值,从而求出四边形的面积最大值.(1)设椭圆的半焦距为.因为,所以,当为上顶点或下顶点时,的面积最大,因为的最大面积为,所以,即,所以,所以,所以椭圆的方程为.(2)设,联立消去得,解得,所以,所以两点的坐标分别为,所以.因为,设四边形的面积为,所以.设直线的方程为.联立消去得,所以,即,,所以,所以当时,,此时.所以四边形面积的最大值为.【点睛】求解圆锥曲线中的四边形或三角形面积问题,通常要设出直线方程,将直线与圆锥曲线联立,求解两根之和,两根之积,再利用弦长公式,点到直线距离公式等求解线段长,表达出面积,结合基本不等式或二次函数等求出最值.【变式训练8-1】、(2022·江西赣州·一模(理))在平面直角坐标系中,,,,,点P是平面内的动点.若以为直径的圆O与以为直径的圆T内切.(1)证明:为定值,并求点P的轨迹E的方程;(2)设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点,问在E上是否存在一点Q,使直线、与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析,(2)存在,【分析】(1)依据两圆相内切的性质去证明为定值,依据椭圆的定义去求点P的轨迹E的方程;(2)依据设而不求的方法去保证、为等腰三角形的两腰,且点Q在E上即可解决.(1)依题意有,连结,由点O和T分别是和的中点知,故有,即又,所以点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆因为,,所以,故点P的轨迹E的方程为(2)假设存在满足条件的点Q,依题意知,设,,,则,由得,,设l的方程为,代入椭圆方程得,.由得,,由韦达定理得,,,又,,所以所以故有,解得,显然满足所以在E上存在一点Q,使直线、与y轴所围成的三角形是以点Q为顶角的等腰三角形,此时点Q的横坐标为【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。四、课堂练习1.(2022·全国·高二课时练习)设为定点,,动点M满足,则动点M的轨迹是( )A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【答案】D【分析】由条件可得,即可得答案.【详解】因为,所以动点M的轨迹是线段,故选:D2.(2022·全国·高二专题练习)一动圆与圆外切,而与圆内切,那么动圆的圆心的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.双曲线的一支【答案】A【分析】依据定义法去求动圆的圆心的轨迹即可解决.【详解】设动圆的半径为r,又圆半径为1,圆半径为8,则,,可得,又则动圆的圆心的轨迹是以为焦点长轴长为9的椭圆.故选:A3.(2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中)(多选题)若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2:1,则称该椭圆为“倍径椭圆”.则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是( )A. B.C. D.【答案】AC【分析】由各选项的椭圆方程求椭圆参数,由椭圆的性质知椭圆上点到焦点距离最大为,最小为,结合“倍径椭圆”的定义即可判断.【详解】A:由椭圆方程有,所以,则,故存在符合题设的P点;B:由椭圆方程有,所以,则,故不存在符合题设的P点;C:由椭圆方程有,所以,则,故存在符合题设的P点;D:由椭圆方程有,所以,则,故不存在符合题设的P点;故选:AC.4.(2021·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习)若方程表示椭圆,则实数的取值范围是______________.【答案】【分析】根据方程表示椭圆,列出相应的不等式组,解得答案.【详解】由方程表示椭圆,可得 ,解得 且 ,故实数的取值范围是: ,故答案为:5.(2022·江苏·高二课时练习)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点为,,且经过点;(2)焦点为,,且经过点;(3)经过点,.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)由已知直接得出,求得后可得椭圆标准方程;(2)根据椭圆定义求得,再由求得后得椭圆标准方程;(3)设椭圆方程为(),代入两点坐标 求解.(1)由题意,,则,椭圆方程为;(2)由已知,,又,所以,椭圆方程为;(3)设椭圆方程为(),则,解得,所以椭圆方程为.6.(2022·全国·高二课时练习)分别根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1),焦点在x轴上;(2),经过点,焦点在y轴上.【答案】(1)(2)【分析】小问1:根据椭圆的标准方程公式可得结果;小问2:设椭圆的标准方程为,将点代入即可求解结果.(1)若,焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为(2)因为,焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为又因为椭圆经过点,则,得所以椭圆的标准方程为7.(2020·湖南·新邵县教研室高二期末)已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点,()在椭圆上,点,是椭圆上不同于,的两个动点,且满足:,试问:直线的斜率是否为定值?请说明理由.【答案】(1)(2)为定值,理由见解析【分析】(1)根据离心率以及即可求解椭圆方程,(2)将转化为直线斜率之和为,联立直线与椭圆方程,利用坐标运算即可求解.(1)因为椭圆的中心的原点,焦点在轴上,所以设椭圆标准方程为,因为椭圆离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,焦点为,所以,所以,解得,所以椭圆的标准方程.(2)由题意,直线与椭圆交点,设,当时直线斜率之和为,设斜率为,则斜率为,的直线方程为,与椭圆联立得,所以,同理,所以,,直线的斜率为.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 突破3.1 椭圆重难点突破原卷版-【新教材优创】突破满分数学之2022-2023学年高二(上)数学辅导讲义(人教A版2019选择性必修1).doc 突破3.1 椭圆重难点突破解析版-【新教材优创】突破满分数学之2022-2023学年高二(上)数学辅导讲义(人教A版2019选择性必修1).doc