资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台突破3.2 双曲线一、考情分析二、考点梳理考点一 双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P={M=2a},=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0.(1)当a<c时,点P的轨迹是双曲线;(2)当a=c时,点P的轨迹是两条射线;(3)当a>c时,点P不存在.考点二 双曲线的标准方程和几何性质标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)图形性质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)渐近线 y=±xy=±x离心率 e= ,e∈(1,+∞)a,b,c的关系 c2=a2+b2实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长三、题型突破重难点题型突破一 双曲线的定义及其轨迹方程的求法例1.(1)、(2020·全国高二单元测试)如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.(2)、(2022·全国·高二课时练习)若动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹为( )A.双曲线的一支 B.圆C.抛物线 D.双曲线【变式训练1-1】、(2022·全国·高二课时练习)已知定圆,点A是圆M所在平面内一定点,点P是圆M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线;⑥一个点.其中所有可能的结果有______个.【变式训练1-2】、(2019·深圳市宝安中学(集团)高二期中)已知点,动圆C与直线相切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则点P的轨迹方程为( )A. B.C. D.重难点题型突破二 双曲线的简单几何性质例2.(1)、(2021·全国高二单元测试)焦距为10,且的双曲线的标准方程为( )A. B.C. D.或(2)、(2020·全国高二单元测试)焦点为,且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是( )A. B.C. D.(3)、(2022·上海·华师大二附中高三开学考试)双曲线的虚轴长为___________.(4)、(2022·江西·高三开学考试(文))双曲线的实轴长为4,则其渐近线方程为( )A. B.C. D.【变式训练2-1】、(2022·全国·高二课时练习)与双曲线有公共焦点,且过点的双曲线方程为______.【变式训练2-2】、(2021·全国高二课时练习)以椭圆长轴的端点为焦点,且经过点(3,)的双曲线的标准方程为________.【变式训练2-3】.(2021·全国高二课时练习)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(2,2)的双曲线的标准方程为________.【变式训练2-4】、(2019·陕西·安康市教学研究室三模(文))已知双曲线:的离心率为2,则的渐近线方程为( )A. B. C. D.重难点题型突破三 求双曲线的标准方程例3.(2022·全国·高二课时练习)(1)若双曲线过点,离心率,则其标准方程为_____.(2)若双曲线过点,渐近线方程是,则其标准方程为_____.(3)若双曲线与双曲线有共同的渐近线,且经过点,则其标准方程为_____.【变式训练3-1】.(2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末(文))求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点坐标为,且经过点;(2)焦点在坐标轴上,经过点.重难点题型突破四 双曲线的综合性质例4.(1)、(2022·全国·高二课时练习)人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质.如图,从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的方程为,则当入射光线和反射光线互相垂直时(其中为入射点),的大小为( )A. B. C. D..(2).(2022·全国·高三专题练习)(多选题)已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,M为OA的中点,P为双曲线C右支上一点且,且,则( )A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为C.PM平分 D.【变式训练4-1】.(2020·全国高二课时练习)已知双曲线:的一条渐近线方程是,过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于,两点,则截得的弦长________.【变式训练4-2】、(2022·全国·高三专题练习)(多选题)双曲线具有如下光学性质:如图,是双曲线的左、右焦点,从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点.若双曲线C的方程为,下列结论正确的是( )A.若,则B.当n过时,光由所经过的路程为13C.射线n所在直线的斜率为k,则D.若,直线PT与C相切,则重难点题型突破五 直线与双曲线的位置关系例5.(2022·辽宁朝阳·高二期末)在平面直角坐标系中,为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2,动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线交曲线于两点,若,求直线的方程.例6.(2021·江苏省天一中学高二期末)已知双曲线的实半轴长为1,且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为(1)求双曲线的方程;(2)设直线过双曲线的右焦点,与双曲线相交于两点,问在轴上是否存在定点,使得的平分线与轴或轴垂直?若存在,求出定点的坐标;否则,说明理由.重难点题型突破五 定点与定值问题例7.(2022·湖南永州·一模)点在双曲线上,离心率.(1)求双曲线的方程;(2)是双曲线上的两个动点(异于点),分别表示直线的斜率,满足,求证:直线恒过一个定点,并求出该定点的坐标.例8.(2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,且三角形的面积为.(1)求m的值;(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为,F为C的右焦点,若,F,N三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点.重难点题型突破六 范围与最值问题例9.(2022·全国·高二课时练习)已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,点在双曲线的右支上,,的最小值,,且满足.(1)求双曲线的离心率;(2)若,过点的直线交双曲线于,两点,线段的垂直平分线交轴于点(异于坐标原点),求的最小值.例10.(2022·全国·高三专题练习)设双曲线,F是右焦点,O是坐标原点.(1)若过和F的直线与C的一条渐近线垂直,求C离心率e的值;(2)若直线l过F且交双曲线右支于A,B两点,已知的最大值为,求当取得最大时直线l的方程.四、课堂训练1.(2022·全国·高二课时练习)若方程表示双曲线,则实数m满足( )A.m≠1且m≠-3 B.m>1C.或 D.-3<m<12.(2020·湖南·新邵县教研室高二期末)双曲线的右焦点坐标为,则该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.3.(2022·湖南益阳·模拟预测)(多选题)已知双曲线经过点,则( )A.的实轴长为 B.的焦距为C.的离心率为 D.的渐近线方程是4.(2022·河北邯郸·高三开学考试)(多选题)已知双曲线的左 右焦点分别为,离心率为为上一点,则( )A.双曲线的实轴长为2B.双曲线的一条渐近线方程为C.D.双曲线的焦距为45.(2022·全国·高三专题练习)与双曲线有相同的焦点,且短半轴长为的椭圆方程是________.6.(2022·全国·高二课时练习)如图,圆,点,动圆P过点F,且与圆E内切于点M,则动圆P的圆心P的轨迹方程为______.7.(2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试(文))求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1),经过点;(2)焦点轴上,且过点,.8.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知双曲线的离心率为,右焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)若分别是的左 右顶点,过的直线与交于两点(不同于).记直线的斜率分别为,请问是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台突破3.2 双曲线一、考情分析二、考点梳理考点一 双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P={M=2a},=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0.(1)当a<c时,点P的轨迹是双曲线;(2)当a=c时,点P的轨迹是两条射线;(3)当a>c时,点P不存在.考点二 双曲线的标准方程和几何性质标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)图形性质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)渐近线 y=±xy=±x离心率 e= ,e∈(1,+∞)a,b,c的关系 c2=a2+b2实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长三、题型突破重难点题型突破一 双曲线的定义及其轨迹方程的求法例1.(1)、(2020·全国高二单元测试)如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.【答案】.【分析】由题意可得|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|,利用双曲线的定义即可求解.【详解】圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1.圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.故动圆圆心M的轨迹方程为.(2)、(2022·全国·高二课时练习)若动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹为( )A.双曲线的一支 B.圆C.抛物线 D.双曲线【答案】A【分析】由圆与圆的位置关系以及双曲线的定义求解即可【详解】设动圆的圆心为M,半径为r,圆与圆的圆心分别为和圆,易得圆和圆的半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得,.∴,又,∴动点M的轨迹是双曲线的一支.故选:A【变式训练1-1】、(2022·全国·高二课时练习)已知定圆,点A是圆M所在平面内一定点,点P是圆M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线;⑥一个点.其中所有可能的结果有______个.【答案】4【分析】根据给定条件,按点A在圆外、圆内、圆心、圆上并结合圆锥曲线的定义及圆的性质进行分析,判断作答.【详解】当点A在圆M外时,连接QA,因点Q在线段PA的中垂线上,如图,则,有,因此点Q的轨迹是以点M,A为两焦点,实轴长为4的双曲线;当点A在圆M内(除圆心M外)时,连接QA,因点Q在线段PA的中垂线上,如图,则,有,因此点Q的轨迹是以点M,A为两焦点,长轴长为4的椭圆;当点A与圆心M重合时,有PM与PA重合,则线段PA的中垂线与PM交点Q是线段PM中点,即,因此点Q的轨迹是以点M为圆心,2为半径的圆;当点A在圆M上时,圆M上点P与A不重合,弦PA的中垂线过圆心M,即线段PA的中垂线与PM交点Q是点M,因此点Q的轨迹是点M,所以所有可能的结果有4个.故答案为:4【变式训练1-2】、(2019·深圳市宝安中学(集团)高二期中)已知点,动圆C与直线相切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则点P的轨迹方程为( )A. B.C. D.【答案】A【分析】由给定条件分析探求出点P所满足的关系,再结合圆锥曲线的定义即可作答.【详解】设直线PM,PN与圆C相切的切点分别为点Q,T,如图,由切线长定理知,MB=MQ,PQ=PT,NB=NT,于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|,则点P的轨迹是以M,N为左右焦点,实轴长2a=2的双曲线右支,虚半轴长b有,所以点P的轨迹方程为.故选:A重难点题型突破二 双曲线的简单几何性质例2.(1)、(2021·全国高二单元测试)焦距为10,且的双曲线的标准方程为( )A. B.C. D.或【答案】D【分析】根据双曲线的性质即可求解.【详解】由题意知2c=10,c=5,又,c2=b2+a2,∴a2=9,b2=16,∴所求双曲线的标准方程为或.故选:D.(2)、(2020·全国高二单元测试)焦点为,且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】由题意求解出渐近线方程为,根据焦点坐标判断出所求双曲线的焦点在轴,所以得,再根据以及,求解出.【详解】双曲线中,,所以渐近线方程为,所以所求双曲线的方程中,,,所以,则双曲线方程为.故选:B.(3)、(2022·上海·华师大二附中高三开学考试)双曲线的虚轴长为___________.【答案】【分析】由双曲线方程直接求解即可.【详解】双曲线的虚轴长为故答案为:(4)、(2022·江西·高三开学考试(文))双曲线的实轴长为4,则其渐近线方程为( )A. B.C. D.【答案】D【分析】求出双曲线的标准方程即得解.【详解】解:由题意知,,所以双曲线的标准方程为,双曲线的渐近线方程为,即.故选:D.【变式训练2-1】、(2022·全国·高二课时练习)与双曲线有公共焦点,且过点的双曲线方程为______.【答案】【分析】设双曲线方程为,将点代入,解得,即可求解.【详解】解:设双曲线方程为,将点代入,即,解得或(舍去),故所求双曲线方程为.故答案为:【变式训练2-2】、(2021·全国高二课时练习)以椭圆长轴的端点为焦点,且经过点(3,)的双曲线的标准方程为________.【答案】-=1【分析】由已知得双曲线的焦点在x轴上,且c=2,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),代入已知点,解之可得答案.【详解】由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=8,-=1,解得a2=3,b2=5.故所求双曲线的标准方程为-=1.故答案: -=1.【变式训练2-3】.(2021·全国高二课时练习)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(2,2)的双曲线的标准方程为________.【答案】【分析】设出双曲线的标准方程,代入点求出即可求解.【详解】设双曲线方程为,将点(4,-2)和 代入方程得解得a2=8,b2=4,所以双曲线的标准方程为.故答案为:【变式训练2-4】、(2019·陕西·安康市教学研究室三模(文))已知双曲线:的离心率为2,则的渐近线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据双曲线离心率表达式,代入数据解出值即可.【详解】由已知可得,∴,渐近线方程为.故选:D.重难点题型突破三 求双曲线的标准方程例3.(2022·全国·高二课时练习)(1)若双曲线过点,离心率,则其标准方程为_____.(2)若双曲线过点,渐近线方程是,则其标准方程为_____.(3)若双曲线与双曲线有共同的渐近线,且经过点,则其标准方程为_____.【答案】 【分析】(1)讨论双曲线的焦点在轴还是在轴上,设出双曲线的方程,即可列出等式解出答案.(2)由渐近线即可设出双曲线的方程,将点坐标代入即可解出答案.(3)由共渐近线,直接设出双曲线的方程,将点点坐标代入即可解出答案.【详解】(1)由,设,则,.设所求双曲线的方程为①或②,把代入①,得,与矛盾,舍去;把代入②,得.∴所求双曲线的标准方程为.(2)由渐近线方程,可设所求双曲线的方程为①,将点的坐标代入①式,得,∴所求双曲线的标准方程为.(3)设所求双曲线的方程为,点在双曲线上,∴,即,∴双曲线的标准方程为.故答案为:;;.【点睛】与双曲线有共同渐近线的双曲线系方程可设为或【变式训练3-1】.(2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末(文))求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点坐标为,且经过点;(2)焦点在坐标轴上,经过点.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.(2)设出双曲线的方程,利用待定系数法求解作答.(1)因双曲线的焦点坐标为,且经过点,令双曲线实半轴长为a,则有,解得,双曲线半焦距,虚半轴长b有,所以所求双曲线的标准方程为.(2)依题意,设双曲线的方程为:,于是得,解得:,所以所求双曲线的标准方程为.重难点题型突破四 双曲线的综合性质例4.(1)、(2022·全国·高二课时练习)人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质.如图,从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的方程为,则当入射光线和反射光线互相垂直时(其中为入射点),的大小为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】设,则,勾股定理求m,应用和角余弦公式求的大小.【详解】由得:,,.设,则.所以,解得(舍去),所以,,,所以.故选:D.(2).(2022·全国·高三专题练习)(多选题)已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,M为OA的中点,P为双曲线C右支上一点且,且,则( )A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为C.PM平分 D.【答案】ACD【分析】在直角三角形中,利用列出关于a、b、c的齐次式求出离心率,从而判断A;根据离心率求出渐近线方程,从而判断B;根据是否相等即可判断PM是否平分,从而判断C;根据、的比例关系,利用平面向量的线性运算即可表示用表示,从而判断D.【详解】由可知,由得,,即,即,即,∴,故A正确;由,∴双曲线渐近线为,故B错误;由,﹒则,,∴;∵,,∴,∴,∴根据角平分线的性质可知PM平分,故C正确;,,,故D正确;故选:ACD.【点睛】本题主要考察与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质,考察构造关于a、b、c的齐次式求离心率的方法,考察利用角平分线的性质,考察了向量的线性运算,解题时需数形结合,合理运用图形的几何关系.【变式训练4-1】.(2020·全国高二课时练习)已知双曲线:的一条渐近线方程是,过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于,两点,则截得的弦长________.【答案】10【分析】由条件可知:且,从而求出的值,从而求出双曲线方程,则可设直线的方程,联立直线与双曲线,利用弦长公式即可求出弦长的值.【详解】∵双曲线:的一条渐近线方程是,∴,即,∵左焦点,∴∴,∴,,∴双曲线方程为,直线的方程为,设,由,消可得,∴,,∴.故答案为:10.【点睛】结论点睛:(1)双曲线方程为时,渐近线方程为;(2)双曲线方程为时,渐近线方程为;(3)弦长公式为.【变式训练4-2】、(2022·全国·高三专题练习)(多选题)双曲线具有如下光学性质:如图,是双曲线的左、右焦点,从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点.若双曲线C的方程为,下列结论正确的是( )A.若,则B.当n过时,光由所经过的路程为13C.射线n所在直线的斜率为k,则D.若,直线PT与C相切,则【答案】CD【分析】对于A:判断出,由定义和勾股定理联立方程组即可求得;对于B:利用双曲线的定义直接求得;对于C:先求出双曲线的渐近线方程,由P在双曲线右支上,即可得到n所在直线的斜率的范围;对于D:设直线PT的方程为.利用相切解得,进而求出.即可求出.【详解】对于A:若,则.因为P在双曲线右支上,所以.由勾股定理得:二者联立解得:.故A错误;对于B:光由所经过的路程为.故B错误;对于C:双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示:当与同向共线时,的方向为,此时k=0,最小.因为P在双曲线右支上,所以n所在直线的斜率为.即.故C正确.对于D:设直线PT的方程为.,消去y可得:.其中,即,解得代入,有,解得:x=9.由P在双曲线右支上,即,解得:(舍去),所以.所以.故D正确故选:CD重难点题型突破五 直线与双曲线的位置关系例5.(2022·辽宁朝阳·高二期末)在平面直角坐标系中,为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2,动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线交曲线于两点,若,求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】(1)设点,然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程,(2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,可求出的坐标,从而可得与不垂直,不合题意,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,将直线方程代入曲线的方程消去,整理后利用根与系数的关系,再由,得,化简计算可求出直线的斜率,从而可得直线方程(1)设点,由题意得,式子左右同时平方,并化简得,.所以曲线的方程为.(2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时直线与曲线的交点坐标为.所以与不垂直,即,不符合题意.当直线的斜率存在时,设直线的方程为,联立,得由和,得.,因为,所以.所以,解得所以直线的方程为,即或.例6.(2021·江苏省天一中学高二期末)已知双曲线的实半轴长为1,且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为(1)求双曲线的方程;(2)设直线过双曲线的右焦点,与双曲线相交于两点,问在轴上是否存在定点,使得的平分线与轴或轴垂直?若存在,求出定点的坐标;否则,说明理由.【答案】(1);(2)存在点使得的平分线与轴或轴垂直.【分析】(1)由已知得,渐近线为,利用点到直线的距离公式列方程即可求得,进而可得双曲线的方程;(2)假设存在满足题意,可得,设设,,直线与双曲线方程联立,消去可得关于的二次方程,得出、代入即可求解.【详解】(1)由题意可得:,所以双曲线所以渐近线方程为,设,则,即,因为在双曲线上,所以,即,所以,解得:,所以双曲线的方程为:(2)假设存在,使得的平分线与轴或轴垂直,则可得,,设,,直线,由可得:,所以,,所以,即恒成立,整理可得:,所以即,所以,所以,解得,所以存在点使得的平分线与轴或轴垂直.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中求是否存在满足条件的定点的问题,通常需要联立方程,得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件(比如斜率关系,向量关系,距离关系,面积等)直接计算,即可求出结果,运算量较大.重难点题型突破五 定点与定值问题例7.(2022·湖南永州·一模)点在双曲线上,离心率.(1)求双曲线的方程;(2)是双曲线上的两个动点(异于点),分别表示直线的斜率,满足,求证:直线恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【答案】(1)(2)证明见解析,定点【分析】(1)根据题意列出方程组,求得a,b,可得答案;(2)分类讨论直线AB的斜率是否存在的情况,斜率存在,设出直线方程并联立双曲线方程,得到根与系数的关系,表示出,结合根与系数的关系化简,可得参数之间的关系式,结合直线方程,求得答案.(1)由题意点在双曲线上,离心率可得; ,解出,,所以,双曲线的方程是(2)①当直线的斜率不存在时,则可设,代入,得,则,即,解得或,当时,,其中一个与点重合,不合题意;当时,直线的方程为,它与双曲线不相交,故直线的斜率存在;②当直线的斜率存在时,设直线的方程代入,整理得,,设,则,由,所以所以,,即,整理得,即,所以或,若,则,直线化为,过定点;若,则,直线化为,它过点,舍去综上,直线恒过定点另解:设直线的方程为①,双曲线的方程可化为,即②,由①②可得,整理可得,两边同时除以,整理得③,,则是方程③的两个不同的根,所以,即④,由①④可得 ,解得,故直线恒过定点.【点睛】本题考查了双曲线方程的求法,以及直线和双曲线相交时直线过定点的问题,综合性较强,计算量大,解答时要明确解题思路,注意分类讨论,解答的关键是利用联立方程得到根与系数的关系,并利用该关系式化简得到参数之间的关系,从而解决直线过定点问题.例8.(2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,且三角形的面积为.(1)求m的值;(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为,F为C的右焦点,若,F,N三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点.【答案】(1)1;(2)证明见解析.【分析】(1)求出双曲线C的渐近线方程,再利用给定条件列式计算作答.(2)设出直线l与x轴的交点坐标及直线l的方程,与双曲线C的方程联立,借助韦达定理及向量共线求解作答.(1)双曲线的渐近线方程为,则不妨令点,,而点O到直线AB的距离为m,因此,解得,所以.(2)由(1)知,双曲线C的方程为,右焦点,因直线l与x轴不垂直且斜率不为0,设直线l与x轴交于点,直线l的方程为,设,则,由消去y并整理得,显然有且,化简得且,则,,而,F,N三点共线,即,则,因此,又,有,整理得,于是得,化简得,即直线:,过定点,所以直线l经过x轴上的一个定点.【点睛】思路点睛:与圆锥曲线相交的直线过定点问题,设出直线的斜截式方程,与圆锥曲线方程联立,借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.重难点题型突破六 范围与最值问题例9.(2022·全国·高二课时练习)已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,点在双曲线的右支上,,的最小值,,且满足.(1)求双曲线的离心率;(2)若,过点的直线交双曲线于,两点,线段的垂直平分线交轴于点(异于坐标原点),求的最小值.【答案】(1)2(2).【分析】(1)由双曲线的性质知,,利用化简可得双曲线的离心率;(2)当时,双曲线的方程为,设出直线的方程,与双曲线方程联立,消去并写出韦达定理,表示出弦长,并由线段的垂直平分线的方程得出点的坐标,进而把表示成关于的式子,利用基本不等式求出最小值.(1)由题意知,.由双曲线的性质知,,∴,∴,故双曲线的离心率.(2)当时,,.∴双曲线的方程为,.由题知直线的斜率存在,设为,则,直线的方程为.联立消去并整理,得.设,,则,,∴.又∵,线段的中点的坐标为,∴线段的垂直平分线的方程为.令,得,∴点的坐标为,∴,∴,当且仅当,即时等号成立,∴的最小值为.例10.(2022·全国·高三专题练习)设双曲线,F是右焦点,O是坐标原点.(1)若过和F的直线与C的一条渐近线垂直,求C离心率e的值;(2)若直线l过F且交双曲线右支于A,B两点,已知的最大值为,求当取得最大时直线l的方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用垂直时斜率乘积为-1即可.(2)联立直线与双曲线,计算出的正切值,利用基本不等式计算出的最大值即可.(1)由题意可知,的渐近线方程为,直线的斜率为,则 ,即 ,即 ,解得 ,故 ,所以C离心率e的值为;(2)设直线l的方程为 ,联立,可得.不妨设A在第一象限,且A(,),B(,),则,.所以,化简可得,.由题意,,所以.另外,显然,.所以,.所以,.此时,.即直线l的方程为: .【点睛】直线与圆锥曲线相关问题,一般需要联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理,设而不求,进行整体代换.四、课堂训练1.(2022·全国·高二课时练习)若方程表示双曲线,则实数m满足( )A.m≠1且m≠-3 B.m>1C.或 D.-3<m<1【答案】C【分析】方程表示双曲线等价于,即可列出不等式,即可解出答案.【详解】因为方程表示双曲线,而恒成立,所以,解得或,故选:C.2.(2020·湖南·新邵县教研室高二期末)双曲线的右焦点坐标为,则该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】首先将双曲线方程化为标准式,再根据求出,即可得到双曲线方程,从而求出渐近线方程;【详解】解:双曲线,即的右焦点坐标为,所以,解得,所以双曲线方程为,则双曲线的渐近线为;故选:C3.(2022·湖南益阳·模拟预测)(多选题)已知双曲线经过点,则( )A.的实轴长为 B.的焦距为C.的离心率为 D.的渐近线方程是【答案】BC【分析】根据双曲线经过点,可得双曲线标准方程,根据双曲线的简单几何性质即可逐一判断.【详解】由题意得,得即双曲线方程为.所以,双曲线的实轴长是,焦距是,离心率为,渐近线方程是故BC正确,AD错误,故选:BC4.(2022·河北邯郸·高三开学考试)(多选题)已知双曲线的左 右焦点分别为,离心率为为上一点,则( )A.双曲线的实轴长为2B.双曲线的一条渐近线方程为C.D.双曲线的焦距为4【答案】ABD【分析】根据双曲线的定义与方程,结合双曲线的性质运算求解.【详解】由双曲线方程知:,离心率为,解得,故,实半轴长为1,实轴长为,A正确;因为可求得双曲线渐近线方程为,故一条渐近线方程为,B正确;由于可能在的不同分支上,则有,C错误;焦距为正确.故选:ABD.5.(2022·全国·高三专题练习)与双曲线有相同的焦点,且短半轴长为的椭圆方程是________.【答案】【分析】先求出双曲线的焦点,可得椭圆有焦点,再由,结合,求出,从而可求得椭圆方程.【详解】双曲线的焦点在轴上,且焦点为,所以椭圆的焦点在轴上,且,依题意,椭圆短半轴,则,所以椭圆的方程为.故答案为:6.(2022·全国·高二课时练习)如图,圆,点,动圆P过点F,且与圆E内切于点M,则动圆P的圆心P的轨迹方程为______.【答案】【分析】利用动圆与圆内切于点,,可得的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,即可求动圆的圆心的轨迹方程.【详解】解:圆的方程为,圆心为,半径.设动圆圆心为,动圆与圆内切于点,,的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,其中,得,而,,故所求轨迹方程为.故答案为:7.(2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试(文))求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1),经过点;(2)焦点轴上,且过点,.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据双曲线焦点在x轴和y轴上进行讨论即可求解;(2)可设双曲线方程为,代入两个点的坐标即可求解.(1)当双曲线焦点在x轴上时,设双曲线方程为,将代入,得.又点在双曲线上,有,由此得,不合题意,舍去.当双曲线焦点在y轴上时,设双曲线方程为0),∵a=4,故,把点坐标代入,得,解得.故所求双曲线方程为.(2)设双曲线方程为,将已知点坐标代入,得,解得.∴所求方程为.8.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知双曲线的离心率为,右焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)若分别是的左 右顶点,过的直线与交于两点(不同于).记直线的斜率分别为,请问是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)(2)是定值,定值为【分析】(1)根据点到线的距离公式,结合椭圆基本量的关系求解可得,进而求得双曲线的方程即可;(2)设直线的方程为,点,点,联立直线与双曲线的方程,结合韦达定理化简即可.(1)设的半焦距为,由题意可知,又,双曲线的一条渐近线方程为,则,故,所以,所以双曲线的方程为.(2)由(1)可知.设直线的方程为,点,点,则.由得,所以.,所以.又,所以综上,为定值,且.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 突破3.2 双曲线重难点突破原卷版-【新教材优创】突破满分数学之2022-2023学年高二(上)数学辅导讲义(人教A版2019选择性必修1).doc 突破3.2 双曲线重难点突破解析版-【新教材优创】突破满分数学之2022-2023学年高二(上)数学辅导讲义(人教A版2019选择性必修1).doc