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6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积
1..理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；
2.会求平面向量的数量积、投影向量；
3.熟记平面向量数量积的性质；
4.能运用数量积的性质解决问题；
1..教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量；
2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。
1．向量的夹角的定义：
已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则
叫做向量的 。
显然，当时， ；当时， 。
2.向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做a与b的 (或 )，记作 ，即 ．
规定零向量与任一向量的数量积为 ．
投影向量的定义：
如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影 (project).,叫做向量在向量上的 。
如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则 就是向量在向 量上的 。
4.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b ．
(2)当a与b同向时，a·b＝ ；
当a与b反向时，a·b＝ ．
(3)a·a＝ 或|a|＝＝ .
(4)|a·b|≤ .
探索新知
思考1： 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？
1.向量的夹角的定义：
已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则
叫做向量的 。
显然，当时， ；当时， 。
如果的夹角是，我们就说垂直，记作。
思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
2.数量积的定义：
已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即。
规定：零向量与任一向量的数量积为 。
说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；
运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]。
思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
结论：数量积符号由的符号所决定。
例1.已知的夹角，求。
投影向量的定义：
如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影 (project).,叫做向量在向量上的 。
如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则 就是向量在向 量上的 。
探究1：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与之间有怎样的关系？
探究2：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？
牛刀小试：
已知在当时，试判断的形状。
1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝(　　)
A．20　 B．－20 C．20 D．－20
2．设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是(　　)
A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1
C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1
3．在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
4.已知为单位向量，且的夹角为，求向量在 上的投影向量。
这节课你的收获是什么？
参考答案：
思考1.
思考2.标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。
思考3.功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
思考4.当0°≤θ ＜ 90°时，为正；
当90°＜θ ≤180°时，为负；
当θ =90°时，为零。
例1.
探究1.。
综上可得，对于任意的，都有。
探究2.设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，
则：（1），
（3）当向量共线同向时，；
当向量共线反向时，。特别地，
或。
（4）
牛刀小试：当为钝角三角形；当为直角三角形。
达标检测
1.【解析】　·＝||||cos 120°＝5×8×＝－20.
【答案】　B
2.【解析】　e1·e2＝|e1||e2|cos＝±1.
【答案】　C
3.【解析】　在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．
【答案】　C
4.【解析】向量在上的投影向量为。
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