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数学（北师大版）
九年级 下册
3.4 圆周角与圆心角的关系
（第二课时）
第三章 圆
课前导入
学习目标
1）掌握圆周角定理推论。
2）理解圆内接四边形定义及性质。
重点
掌握圆周角定理推论。
难点
1）利用圆周角定理推论进行计算。
2）利用圆内接四边形性质进行计算。
情景引入
在射门游戏中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC ）有关。当球员在B,C,D处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成∠ABC 、 ∠ABC 、 ∠ABC 。
【问题一】通过圆周角定理，你发现∠ABC 、 ∠ABC 、 ∠ABC 大小之间有什么关系？由此可以得出什么结论？
∠ABC = ∠ABC = ∠ABC = ∠AOC
同弧所对的圆周角相等．
探索与思考
在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？
如图，作出两弧所对应的圆心角.
根据圆周角定理可知，
等弧所对的圆周角相等．
BC=CE，∠BDC与∠CAE有什么关系？
⌒
⌒
又由BC=CE可知，∠BOC=∠COE.
⌒
⌒
∴∠BDC=∠CAE
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
.
A
D
B
C
O
E
探索与思考
1.如图，AB为⊙O的直径，它所对的圆周角是多少？
O
C
A
B
2.AB为⊙O的直径，改变C点的位置，它所对的圆周角度数会改变吗？
不变
90°
3.如图，圆周角∠C=90°，连接AB，弦AB经过圆心吗？为什么？
∵∠ACB=90°∴∠AOB=180°∴弦AB过圆心。
O
C
A
B
推论2：直径(或半圆)所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。
课堂基础练
1.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形. 根据下图, 你能判断哪个是半圆形吗 为什么
课堂基础练
2．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【详解】解：∵∠apd是△apc的外角，∴∠apd=∠c+∠a；
∵∠a=30°，∠apd=70°，∴∠c=∠apd-∠a=40°；
∴∠b=∠c=40°；故选c．
3．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
课堂基础练
4．（2019滨州市中考）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）．
A．60° B．50° C．40° D．20°
【详解】解：连接，
∵为的直径，∴．
∵，∴，
∴．故选B．
课堂基础练
5．如图，AD为⊙O的直径，CD为弦，＝，连接OB．
(1)求证：OBCD；
(2)若AB＝15，CD＝7，求⊙O的半径．
(1)解：连接OC，
∵＝，∴∠BOA＝∠AOC，
∵AOC，∴∠AOB＝∠D，∴OB∥CD；
课堂基础练
5．如图，AD为⊙O的直径，CD为弦，＝，连接OB．
(1)求证：OBCD；
(2)若AB＝15，CD＝7，求⊙O的半径．
(2)解：连接AC交OB于M，
∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，
∵OB∥CD，∴∠AMO＝90°，∴AM＝CM，
∵OA＝OC，∴OM＝CD＝，
∵AB＝15，设OA＝OB＝r，
∴AB2﹣BM2＝AM2＝OA2﹣OM2，
即152﹣（r﹣）2＝r2﹣（）2，
∴r＝12.5或r=-9（舍去）
∴⊙O的半径是12.5．
M
探索与思考
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。
O
A
D
C
B
探索与思考
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
情况一
圆心在内接四边形对角线上
情况二
圆心不在内接四边形对角线上
O
探索与思考
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
情况一
圆心在内接四边形对角线上
证明：∵BD是⊙O的直径
∴∠C=90°，∠A=90°
则∠A与∠C互补，而四边形内角和为360°
可知∠ABC与∠ADC互补
O
探索与思考
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
情况二
圆心不在内接四边形对角线上
O
A
D
C
B
连接BO和DO
∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD
又∵ BCD和BAD所对圆心角的和为周角
∴ ∠A+ ∠C= ×360°=180°
即圆内接四边形的对角互补。
⌒
⌒
⌒
⌒
O
A
D
C
B
随堂测试
1．如图，四边形内接于，，为中点，∠BDC=60°，则等于（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵为中点，∴,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，∴ =40°，
故选：A．
随堂测试
2．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（　　）
A．50° B．60° C．80° D．100°
【详解】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故选D．
A
随堂测试
3．（2021德阳市中考）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．
【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，
∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，
∴∠B=540°-430°=110°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA=180°，
∴∠CDA=180°-110°=70°．
故答案为70．
随堂测试
4．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=_______
【详解】∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D+∠B=180°．
又∠D＝∠AOC，∴3∠D=180°，
解得∠D=60°．
∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=60°．
∴∠OAD+∠OCD=360°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=360°-（60°+120°+60°+60°）=60°
谢谢~

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