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《平面向量基本定理》知识解读
1.定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这平面内的任意向量a，有且只有一对实数，使.我们把叫作表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.定理的证明
平面向量基本定理包括两个方面的内容，一是存在性，即存在实数，使.
如图，对于向量a和一个基底.首先将a，都平移到同一个起点O，且令，然后过点C分别作与所在直线的平行线，交，所在直线于M，N两点，如图，则有，，所以.
二是唯一性，即对任一向量a，存在唯一实数对，使.
事实上，若存在，且，，则，即.
因为与不共线，所以.
所以.
3.平面向量基本定理的应用
平面向量基本定理是向量运算代数化的基础，要理解其实质，对于基底的选取是任意的，只要是不共线的两个向量都可以作为一组基底，因此常用基底表示向量，用来证明平面几何中的线线平行、重合、相交，线段相等等问题.
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N
a
a
B
e
OeA
M《平面向量基本定理及坐标表示》能力探究
分析计算能力、观察记忆能力 平面向量基本定理的应用一待定系数法
1.用基底表示其他向量,主要是平面向量基本定理的应用,其操作步骤如下:
(1)观察待求向量所在的三角形或平行四边形,利用三角形法则或平行四边形法则先将待求向量表示成两个向量（或多个）相关向量的和或差.
(2)再把向量分别进行分解,直到用基底表示出向量.
(3)将代入第(1)步中的式子,从而完成了用基底表示其他向量.
2.待定系数法是利用平面向量基本定理进行向量分解的唯一性的应用,主要是根据题设条件,结合向量共线定理、向量的加减法及几何意义将同一向量利用相同的基底表示成两种不同的表达形式,即(不共线),再根据平面向量基本定理得出来求解.
典例1 [数学运算、直观想象]如图,在中,,点是上的一点,若,则实数的值为( )
A.1
B.
C.
D.3
解析:根据平面向量基本定理用基底表示向量进行数学运算.根据题意,设,将向量表示成,的一个线性组合,再结合题中向量的等式,建立关于,的方程组,解之即可得到实数的值.
设,则,即
因为,故.
答案:C
简单问题解决能力 共线问题的证明与运用
1.利用平面向量基本定理解决三点共线问题
(1)若三点共线,则与共线,由向量共线的条件知存在实数使,即),所以.
(2)一个重要结论:坐标平面内的三点共线的充要条件是存在三个均不为零的实数,使,且,反之亦成立.
2.利用平面向量共线的坐标表示解决三点共线问题
设要证三点共线只需证,因为
,,所以只需证
.
(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与其共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
典例2 [数学抽象、逻辑推理](2020·豫南九校第三次联考)如图所示,在中,点是的中点,且,与相交于点,设,则( )
A.
B.
C.
D.
解析:本题考查向量共线定理和平面向量基本定理,结合向量的线性表示逐步推理得到答案.
由题意得.
已知三点共线,设存在实数,满足.已知三点共线,设存在实数,满足
所以
由为基底,得解得.
所以.
答案:A
简单问题解决能力 平面向量的坐标运算及其应用
1.通过建立平面直角坐标系,可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一个有序实数对都表示一个向量.因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示,引入向量的坐标表示后可使向量运算代数化,将数和形结合起来,从而将几何问题转化为代数问题来解决.
2.由于平行四边形的两组对边互相平行,也就是说平行四边形一组对边构成的两个向量共线.如果将平行四边形置于平面直角坐标系中,那么就可运用共线向量坐标的条件,从而可解决相关问题.
3.向量的坐标运算主要是利用加减、数乘运算法则进行的.若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐标运算,解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用.
4.充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数求一个向量的坐标,需求出向量的起点与终点的坐标.
典例3 [数学运算]已知为正六边形的两条对角线,点分别在线段上,且使得如果三点共线,则的值为( )
A.
B.3
C.
D.
解析:本题考查向量共线定理,利用向量的坐标表示,建立坐标系得到各点坐标,将三点共线问题转化为再进行向量坐标运算,从而解决问题.
由题意,建立如图所示的直角坐标系,设正六边形的边长为2,则,则.
因为,则,
所以
因为三点共线,所以,即,所以
解得.
答案:C
4
分析计算能力、推测解释能力 利用平面向量共线的坐标表示求交点问题
1.平面图形有交点,一定存在三点共线,从向量的角度上看就有两个向量共线,再由向量共线定理可得出向量坐标的方程(组),从而求出交点坐标.
2.利用向量的坐标运算求线段交点坐标的一般方法
(1)设线段交于点,并以为对角线作四边形.
(2)在四边形中寻找向量间的相等或共线关系.
(3)利用向量的坐标表示这些关系,将问题转化为方程(组)问题.
(4)解这个方程(组),可得到问题的答案.
3.向量共线问题常涉及的两个方面
(1)已知两个向量的坐标或四个点的坐标,判定三点(或两个向量)是否共线.
(2)已知向量共线求参数,解题时要注意方程思想的运用,向量共线、向量相等都可以作为列方程的依据.证明或判断三点共线、两直线平行时要注意联系平面几何的相关知识,由两向量共起点或共终点确定三点共线,由两向量无公共点确定两直线平行.
典例4 [逻辑推理、数学运算]已知直角梯形中,,过点作,垂足为为的中点,用向量的方法证明:
(1);
(2)三点共线.
解析:本题为了让尽可能多的点落在坐标轴上,所以如图建立坐标系,保证尽可能多的线与坐标轴平行,根据向量共线的坐标表示作为解题依据即可解决问题.
证明:如图,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,令则.因为易知四边形为正方形,所以可求得各点坐标分别为,.
(1)因为所以,所以.又与无公共点,所以
(2)如图,连接因为为的中点,所以
所以
所以所以又与有公共点所以三点共线.
分析计算能力、说明论证能力 向量夹角与向量垂直问题
1.求两个向量的夹角一般有两种方法:
(1)直接运用公式求解(为向量与向量的夹角).
(2)坐标法:设为向量与的夹角,则.这两方法需计算出这两个向量的数量积以及这两个向量的模.
2.(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题,首先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.
(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值,首先根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,然后求解参数即可.
典例5 [数学运筫](1)若向量则与的夹角等于( )
A.
B.
C.
D.
(2)设向量,若,则实数的值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:本题考查利用向量的坐标求向量夹角,利用向量垂直充要条件的坐标表示求值并进行具体分析计算.
(1),设所求夹角为,则.因为,,所以.
(2)由,得.又由,得,解得.
答案:(1)C (2)C
综合问题解决能力 平面向量基本定理及坐标表示的综合应用
1.利用向量的坐标运算解决几何问题
(1)向量坐标的线性运算、向量共线的坐标表示为解决平面几何问题提供了新的工具,将几何问题转化成向量问题后,原问题就变成了代数运算的问题,使抽象的问题变得具体.
(2)向量共线在几何中的应用可分为两个方面:
①已知两向量共线,求点或向量的坐标.
②证明或判定三点共线、两直线平行.
2.向量定比分点的坐标表示问题
若点满足,设为坐标原点,如图所示,则,即所以点的坐标为.
3.有关向量坐标的信息题
对于信息题的处理应注意以下两点:
(1)要注意概念的内涵与外延,认真领会题中所给信息.
(2)注意题中的条件与结论,将所得到的信息应用到题目中去,即解决实际问题.
4.与向量坐标运算有关的探究问题
求解此类问题常借助坐标运算并假设“能”,进而求解.有解则存在,无解则不存在.
典例6 [数学运算]已知:
(1)求证:;
(2)若与的长度相等(其中为非零实数),求的值.
解析:本题以三角函数为背景,利用向量坐标解决三角函数综合问题.解决(1)利用向量垂直坐标形式的充要条件证明;(2)利用长度公式,得出的三角函数值.
(1)证法一:因为
所以
又
所以
证法二:因为
所以
所以
所以所以
(2)解:因为
所以
注:同理可求又因为所以所以
因为所以又因为所以
1 / 9《平面向量基本定理及坐标表示》学科素养
师：平面向量基本定理的实质是将已知向量向两个基向量方向上的线性分解,它是正交分解和坐标表示的基础,并且为“数”和“形”搭起了桥梁,在向量知识体系中处于核心地位；但是,如何分解及分解后的系数的取值范围如何确定仍是教学中的难点,也是近几年高考的热点.下面我们针对平面向量基本定理中系数取值范围进行探究.
【多媒体展示】
利用平面向量基本定理解决实数取值范围
例如图,,以为邻边作一平行四边形,将的边所在直线画出,将平面分成9个部分,对于平面上任一向量,由平面向量基本定理可得:存在唯一有序实数对,使得
对点的位置与的取值进行讨论.
师：我们已经知道,当,,三点共线时,,那么当点在平面内任意一个位置,能得出,的什么样范围呢？.
【教师引导后,学生独立思考,分组讨论,按图中的点、线及序号所标记区域进行探究,分小组进行汇报探究结果,师生共同总结结论,教师展示多媒体】
【多媒体展示】
利用平面向量基本定理解决实数取值范围
解:需要分12种情况进行讨论:
(1)若点与重合,则;
(2)若点与点重合,则;
(3)若点与点重合,则;
(4)若点与点重合,则;
(5)若点在直线上,则;
(6)若点在直线上,则;
(7)若点在直线上,则;
(8)若点在直线上,则;
(9)若点在直线上,则;
(10)若点在直线上,则;
(11)若点在①②③区域内,有若点在④⑤⑥)域上,有;若点在⑦⑧⑨域上,有;
(12)若点在③⑥⑨区域上,有;若点在②⑤⑧区域上,有;若点在①④⑦区域内,有.
师：平面向量基本定理实现了坐标化处理几何问题,使得几何问题算法化.向量的坐标法,为几何问题代数化、代数问题直观化提供了强有力的工具,同学们在今后解决几何问题时要注意运用,以便简化解题过程.
【设计意图】
本内容是在以平面向量基本定理为载体研究几何问题,让学生自主探索,自主发现平行四边形的不同区域内影响实数的取值的不同,让学生经历不断完善思维的过程中,体会探究的乐趣,获得认识和研究数学新对象的基本思路和方法,进而提升提出问题、分析问题、解决问题的能力.
1 / 2《平面向量基本定理及坐标表示》知识探究
探究点1 平面向量基本定理
平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使.我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
【要点辨析】
1.对基底的理解
(1)基底的特征
①基底是两个不共线向量;②基底的选择是不唯一的.平面内两个向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底中的向量.
(3)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化,直至可以用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组,利用基底表示向量的唯一性求解.
2.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.
学科素养:熟练利用平面向量基本定理表示向量和求值,体现数学运算、逻辑推理核心素养
典例1 [说明论证能力、分析计算能力]设是不共线的非零向量,且.
(1)求证:可以作为一组基底;
(2)用表示向量;
(3)若,求的值.
思路:将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化,直至可以用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组,利用基底表示向量的唯一性求解.本题利用第二种方法进行说明论证、分析计算解决问题.
解析:(1)证明:假设共线,则且,
即,
得.因为不共线,
所以解得,与假设矛盾,故不共线,则可以作为一组基底.
(2)解:设,则
得,
得解得,所以.
(3)解:由
,得
解得,故
探究点2 利用平面向量基本定理求参数的值或取值范围
1.利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性对某一向量用基底表示两次,然后利用系数相等列方程(组)求解,即对于基底数相等列方程(组)求解,即对于基底,若且,则有
2.充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位,往往可使问题更便于解决.
3.平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题.
【要点辨析】
1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
3.向量的两个作用
(1)载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题.
(2)工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
学科素养:熟练利用平面向量基本定理求值或取值范围,体现逻辑推理核心素养
典例2 [简单问题解决能力]如图(1),,点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是________.
当时,的取值范围是__________.
解析:先思考的含义,事实上,如图(2),由向量加法的平行四边形法则可知,为平行四边形的对角线,且该平行四边形是以的反向延长线上的线段和上的线段为两邻边,所以的取值范围是.
当,即时,延长交的延长线于点,则点应落在线段不包括点)上,其中,所以的取值范围是.
答案:
探究点3 利用平面向量基本定理求解平面几何问题
1.建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
2.通过向量运算,研究几何元素的关系.
3.把运算结果“翻译”成几何关系,这三步曲给出了利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想.在解决平面几何问题时,将平面问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选择向量法还是向量的坐标法是难点.
【要点辨析】
用向量法解几何问题的一般思路:
用向量法解决几何问题时,可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量用基底表示,把几何问题转化为向量问题,通过向量运算,再将向量问题转化为几何问题,即:几何→向量→几何,其中平面向量基本定理是基础.
学科素养:熟练利用平面向量基本定理求解平面几何问題,体现数学运算、直观想象的核心素养
典例3 [综合问题的解决能力]如图,在中,是的中点,点在上,且与相交于点,求与.
解析:设,则
根据和分别共线,推测存在实数使得根据,计算即可.
解:设则和分别共线,存在实数使得.
故
而由平面向量基本定理,得
解得故.
探究点4 平面向量的正交分解及坐标表示
1.正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
2.坐标表示
在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得.我们把叫做向量的(直角)坐标,记作.①
其中,叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,①式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地,.
【要点辨析】
平面向量坐标表示的几个注意点:
(1)是根据平面向量基本定理得出来的,因此的值是唯一确定的.
(2)向量的坐标表示是继向量的几何表示、字母表示后的又一表示方法,向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.
(3)注意书写格式,在向量的坐标表示中含有等号,即不能写成.
(4)几个特殊向量的坐标: .
(5)由向量的坐标定义知,两个向量相等等价于它们的坐标相等,即且,其中.
学科素养:熟练利用平面向量的基本定理求解平面几何问题,体现数学运算、逻辑推理核心素养
典例4 [分析计算能力、推测解译能力]如图,在直角坐标系中,四边形为平行四边形.
(1)求向量的坐标;
(2)求向量的坐标.
解析:本题以几何图形为背景,考查平面向量的正交分解与坐标表示.(1)作轴于,分析条件,可计算的值,从而可求,通过,可求点,根据,可得.(2)由(1)可知的坐标,易求的坐标.
解:(1)作轴于点,
则.
∴,故.
∵,
∴.又,
∴,
即.
.
探究点5 平面向量加、减运算的坐标表示
1.若,则.
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
2.若,则.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标
【要点辨析】
1.点的坐标与向量的坐标相关注意点
(1)点的坐标与向量的坐标的区别与联系:点的坐标反映的是点的位置,而向量的坐标反映的是向量的大小和方向,其仅仅由大小和方向决定,与位置无关,只有起点在原点时,向量的坐标与终点的坐标才相等.
(2)在平面直角坐标系下有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,为加以区分,常说点或向量.
2.由点的坐标求向量的注意点
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.
(2)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.
(3)在求一个向量的坐标时,可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标.
(4)求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
学科素养: 熟练利用平面向量的加、减运算的坐标表示求向量的坐标,体现数学运算核心素养典例5 [分析计等能力](1)在平行四边形中,,为对角线,若,则( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知,若,则( )
A.
B.
C.
D.
答案:(1)D (2)D
解析:(1),
.
(2)由题意得,
∴,
∴
∴
思路:本题考查向量加法、减法的坐标运算,掌握向量的坐标运算的方法是分析计算本题的关键.
探究点6 平面向量数乘运算的坐标表示
,即.这就是说,实数与向量的数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
【要点辨析】
两向量共线的几种不同的表示方法:
已知,且.
(1).这是几何运算,体现了向量与向量的长度及方向之间的关系.
(2).
这是代数运算,用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”,从而減少了未知数的个数,而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征.
(3)当时,即两个向量的相应坐标成比例.
这种形式不易出现搭配错误.
(4)公式没有的限制,便于应用;公式必有的限制,但便于记忆,所以我们可以记比例式,但在解题时改写成乘积的形式.
学科素养:熟练利用平面向量的数乘运算的坐标表示求值,体现逻辑推理、数学运算核心素养
典例6 [分析计算能力、推测解释能力]已知两个向量,当实数取何值时,向量与平行
思路:本题通过利用向量共线的充要条件、向量共线的坐标表示,推测解释、计算结果.
解析:解法一:当与平行时,必存在唯一的实数,使,
即即又因为向量不平行于向量,所以要使成立,则解得所以当时,与平行.
解法二:因为所以要使与平行,则解得
探究点7 平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量
【要点辨析】
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示,为我们提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径,可以优化解题过程.同时,平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
2.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时,向量夹角问题常隐藏了许多陷阱与误区,常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角的范围”而导致出错的情况,稍不注意就会带来失误与错误,需要格外注意.
学科素养:熟练利用平面向量的数量积的坐标运算表示求值，体现数学抽象、数学运算核心素养
典例7 [分析计算能力、概括理解能力]设向量,如果向量与平行,那么与的数量积等于
A.
B.
C.
D.
解析:本题通过两向量的平行,根据平面向量数量积的坐标表示,分析计算向量数量积.
,
由题意与平行,
得,
解得,所以,
所以.
答案:D
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