资源简介

空间向量及其运算
一、教学目标
1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
二、教学重点 空间向量的线性运算及其坐标表示
三、教学难点 空间向量的线性运算及其坐标表示
四、教学过程
1、复习预习 （1）预习空间直角坐标系（2）预习空间向量（3）预习空间向量的线性运算及其坐标表示
2、知识讲解
知识点1：空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为0的向量 0
单位向量 长度(模)为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量
知识点2：共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
推论　如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta ①
其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.
(2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底.
知识点3：空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
知识点4：空间向量的坐标表示及应用
(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)，a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量).
(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝ .设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，
则dAB＝||＝.
例题讲解
考点一：用已知向量表示所求向量（利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量）
例题：
（1）以下命题中，正确的命题个数为 (　　)
①若a，b共线，则a与b所在直线平行；
②若{a，b，c}为空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P、A、B、C四点共面.
A.1 B.2 C.3 D.4
（2）三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.
（3）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.
(1)化简－－＝________；
(2)用，，表示，则＝________.
考点二：用空间向量的方法证明（求解）空间几何体线线（线面）关系（利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.）
例题：
（1）已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；
（2）如图所示，已知空间四边形AB CD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
（3）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为________.
考点三：空间向量的坐标表示及应用
例题：
（1）已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________.
（2）空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是
A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直
（3）已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值.
（4）已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5).
(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标.
五：课程小结
1、利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.
2、解题注意：向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

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