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直线
3.3.2 抛物线的简单性质
（第1课时）
问题导入
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问题1：类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 ① 的哪些几何性质？如何研究这些性质？
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范围
因为，由方程①可知，对于抛物线上的点，，，当时，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
新知探索
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对称性
以代，方程①不变，所以抛物线关于轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程①中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点.
离心率
抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示.由抛物线的定义可知，.
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辨析1.判断正误.
(1)抛物线有一条对称轴为轴.( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( )
(4)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线.( )
答案：√，√，√，×.
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辨析2.抛物线的焦点到直线的距离是（ ）.
A. B. C. D.
答案：D.
辨析3.设点为抛物线上一点，点，且，则点的横坐标为（ ）.
A. B. C.或 D.或
答案：B.
例析
例3.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程.
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解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，
所以可设它的标准方程为.
因为点在抛物线上，所以，解得.
因此，所求抛物线的标准方程是.
新知探索
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有两条，抛物线的标准方程是(同例3)或
问题2：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程.
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解：因为抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点，
所以可设它的标准方程为.
因为点在抛物线上，所以，解得.
因此，所求抛物线的标准方程是.
例析
例4.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.
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在图中，设，.由抛物线的定义可知，等于点到准线的距离.由，，得，于是.同理，，于是得.由此可见，只要求出点得横坐标之和，就可以求出.
例析
例4.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.
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因为直线的斜率为，且过焦点，所以直线的方程为 ① .
将①代入方程，得，化简，得.
所以，.
所以，线段的长是.
解：由题意可知，，，焦点的坐标为，准线方程
为.如图，设，，,两点到准线的距离
分别为，.由抛物线的定义，可知，
，于是.
练习
题型一：根据几何性质求抛物线的标准方程
例1.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且于圆相交的公共弦长为，求抛物线的方程.
解：设所求抛物线的方程为或，抛物线与圆的交点，()，则，即.
由对称性，知，代入上式，得，
把代入，得，
所以点在抛物线上，点在抛物线上，
可得.于是所求抛物线的方程为或.
练习
方法技巧：
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向；
设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程；
寻关系：根据条件列出关于的方程；
得方程：解方程，将代入所设方程为所求.
【提醒】求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程.
练习
变1.边长1为的等边三角形，为坐标原点，轴，以为顶点且过的抛物线方程是（ ）.
A. B. C. D.
答案：C.
设抛物线方程为.又(取点在轴上方)，则有，解得，所以抛物线方程为.故选C.
练习
题型二：抛物线的焦点弦问题
例2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求线段的长.
解：由抛物线的方程得
所以根据抛物线的定义可得
练习
方法技巧：
1.抛物线的焦半径：
定义：抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段.
公式：为抛物线上一点，为焦点.
①若抛物线，则；
②若抛物线，则；
③若抛物线，则；
④若抛物线，则.
练习
方法技巧：
2.抛物线的通径：
通径：线段
长度：
性质：经过焦点；垂直于对称轴.
练习
变2.过抛物线的焦点作倾斜角为直线交抛物线于，两点， 如果，求线段的长.
解：因为抛物线的焦点是，
所以直线的方程为，
与抛物线方程联立消去得，
所以，从而.
练习
题型三：抛物线几何性质的应用
例3.已知是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程.
解：由题知，抛物线的焦点.
∵抛物线关于轴对称，，∴为等腰三角形.
∴两点关于轴对称.
设，则.∵的垂心恰为抛物线的焦点，
∴，则，即.
又∵，∴.
∴直线的方程为.
练习
方法技巧：
过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线焦点的弦的端点为,，
则，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出即可.
练习
变3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长.
解：如图所示，设正三角形的顶点在抛物线上，且坐标分别为，,则，.
∵，，，∴，由此可得，
即线段关于轴对称.由此得，
又，所以，即，
整理得.
∴，与联立，解得.
∴.
课堂小结
抛物线的简单几何性质：
标准 方程
的几何意义：焦点到准线的距离 图 象
范围
对称轴 轴 轴 顶点 (0,0) 离心率
作业
(1)整理本节课的知识点；
(2)课本P136练习第1、2、3、4；
(3)课本P138习题3.3第5、6、7、8.

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