资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第三讲 函数的性质及运用
【考纲解读】
理解增函数，减函数，函数单调性，函数单调区间，奇函数，偶函数，函数奇偶性，周期函数的定义；
掌握判断（或证明）函数单调性，函数奇偶性和函数周期性的基本方法；
能够熟练运用函数单调性，函数奇偶性和函数周期性解答相关的数学问题。
【知识精讲】
函数的单调性：
（一）函数单调性的基本概念：
增函数的定义：设D是函数f(x)定义域的子集，任取，∈D，且＜，如f()＞f()都成立，则称函数f(x)是区间D上的增函数；
减函数的定义：设D是函数f(x)定义域的子集，任取，∈D，且＜，如果f()＜f()都成立，则称函数f(x)是区间D上的减函数；
函数的单调性的定义：函数具有增函数（或减函数）的性质，称为函数的单调性；
函数的单调区间的定义：函数增函数（或减函数）的区间，叫做函数的单调区间。
（二）判断（或证明）函数单调性的基本方法：
1、判断（或证明）函数单调性的基本方法：
（1）判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）图像法的基本方法是：①作出函数的图像；②确定判断（或证明）函数单调性的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出函数的单调性；
（3）定义法的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）函数单调性的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据④得出函数的单调性。
2、比较函数值f()，f()的大小的基本方法：
（1）比较函数值f()，f()的大小的基本方法有：①求差法；②求商法；
（2）求差法的函数值f()，f()的大小基本方法是：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③根据②得出函数值f()，f()的大小；
（3）求商法的基本方法是：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③根据②得出函数值f()，f()的大小。
3、判断（或证明）含有参数的函数单调性的基本方法：
判断（或证明）含有参数的函数单调性的基本方法是：①根据参数分类讨论的原则和基本方法对参数进行恰当的分类；②对参数的每一个取值范围运用判断（或证明）函数单调性的基本方法判断（或证明）函数的单调性；③综合得出问题的结果。
4、理解函数单调性应该注意的问题：
（1）讨论函数的单调性必须在函数的定义域内进行，原因是函数的单调区间是函数定义域的子集；
（2）函数的单调性是一个区间概念，即使函数在定义域内的各个区间都是增（或减）函数，也不能说函数在定义域内是增（或减）函数；
（3）函数的单调区间可以是开区间，也可以是闭（或半开半闭）区间；对于闭区间上的连续函数只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调；
（4）函数单调性的变化是求函数值域和最值的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断函数的单调性，是求函数值域和最值的前提，同时函数图像是函数单调性的最直观体现。
（三）函数单调性的运用：
1、函数单调性运用问题的主要类型：
函数单调性的运用问题主要包括：①已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；②运用函数的单调性求函数的值域（或最值）；③已知函数的单调性，求不等式的解集。
2、函数单调性运用问题的处理方法：
（1）求解已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数的单调性得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）求出参数的取值范围；③得出参数的值（或取值范围）；
（2）求解运用函数的单调性求函数值域（或最值）的基本方法是：①判定（或证明）函数在某一区间的单调性；②根据函数的单调性求出函数在该区间上的最大值（或最小值）；③得出函数在给定区间上的值域（或最值）；
（3）求解已知函数的单调性，求不等式的解集的基本方法是：①根据函数的单调性得到关于自变量x的不等式（或不等式组）；②求解（不等式）（或不等式组）求出自变量x的取值范围；③得出不等式的解集。
二、函数的奇偶性：
（一）函数奇偶性的基本概念：
1、奇函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)=- f(x)成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的奇函数。
2、偶函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)= f(x)成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的偶函数。
3、函数的奇偶性的定义：函数y=f(x)具有奇函数（或偶函数）的性质，称为函数y=f(x)的奇偶性。
4、理解函数奇偶性应注意的问题：
（1）函数f(x)可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，也可以既不是奇函数又不是偶函数；但函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称；
（2）函数是奇函数的充分必要条件是函数的图像关于原点成中心对称图形；函数是偶函数充分必要条件是函数的图像关于y轴成轴对称图形；在定义域的公共部分内，两奇函数的积（或商）为偶函数，两偶函数的积（或商）为偶函数，一奇一偶函数的积（或商）为奇函数（注意：两函数求商时，分母不能为零）；
（3）奇（偶）函数有关定义的等价形式：f(-x)= f(x) =1（f(x) 0）。
（二）判断（或证明）函数奇偶性的基本方法：
1、判断（或证明）函数奇偶性的常用方法：
(1) 判断（或证明）函数奇偶性的常用方法有：①定义法；②图像法；
（2）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式应采用定义法；如果已知函数的图像应采用图像法。
2、用定义法判断（或证明）函数奇偶性的基本方法：
（1）用定义法判断（或证明）函数奇偶性的基本方法是：① 求函数的定义域，看是否关于原点对称；②验证f(x)与f(-x)的关系 ；③得出函数的奇偶性；
（2）如果问题涉及的函数是分段函数时，判断（或证明）函数奇偶性的方法是分段验证验证f(x)与f(-x)的关系 （这里要注意的问题是验证f(-x)应该选用那一段的解析式）；
（3）如果问题涉及的函数是抽象函数时，判断（或证明）函数奇偶性的方法是定义法，其中验证f(-x)与f(x)之间的关系时采用数学赋值法，这里赋值的一般规律是注意问题中的已知条件。
3、用图像法判断（或证明）函数奇偶性的基本方法：
（1）用图像法判断（或证明）函数奇偶性的基本方法是：①求函数的定义域，看是否关于原点对称；②作出函数的图像；③根据函数图像得出函数的奇偶性；
（2）如果问题涉及的函数是分段函数时，用图像法判断（或证明）函数奇偶性时，应先根据各段的解析式分别作出各段的函数图像，再依据图像的特征得出函数的奇偶性。
（三）、函数奇偶性的性质：
1、奇函数具有如下性质：
（1）奇函数的定义域关于原点对称；
（2）如果函数f(x)是奇函数且数0在定义域内，则一定有f(0)=0成立；
（3）如果函数f(x)是奇函数，则有f(-x)=- f(x)恒成立；
（4）奇函数的图像关于原点对称；
（5）奇函数在对称的两个区间上的单调性相同；
（6）在公共定义域内有：①奇奇=奇；②奇（或）偶=奇。
2、偶函数具有如下性质：
（1）偶函数的定义域关于原点对称；
（2）如果函数f(x)是偶函数，则有f(-x)= f(x)恒成立；
（3）偶函数的图像关于y轴对称；
（4）偶函数在对称的两个区间上的单调性相反；
（5）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)= f(|x|)；
（6）在公共定义域内有：①偶偶=偶；②奇（或）奇=偶；③偶（或）偶=偶。
三、函数的周期性：
1、周期函数的概念：
（1） 周期函数的定义：设函数f(x)的定义域是M，如果存在一个非零常数T，使得对任意的xM，都有f(x+T)= f(x)成立，则称函数f(x)是以T为周期的周期函数；
这个非零常数T称为周期函数f(x)的 周期。
（2）最小正周期的定义：在周期函数f(x)的所有周期中，如果存在一个最小的正数，则称这个最小的正数为函数f(x)的最小正周期。
2、判断（或证明）函数周期性的基本方法：
（1）判断（或证明）函数的周期性的基本方法是定义法；
（2）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
3、周期函数的性质：
(1)若f(x)是周期函数，则其图像平移一个周期后， 其图像与前一个周期的图像重合；
（2）若函数f(x)的周期为T,则nT（n Z）也是函数f(x)的周期。
（3）对函数f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x+a)=-f(x)，则T=2a（a＞0）；②若f(x+a)= ，则T=2a（a＞0）；③若f(x+a)=- ，则T=2a（a＞0）。
【探导考点】
考点1函数的单调性：热点①判断（或证明）函数的单调性；热点②求函数的单调区间；热点③函数单调性的运用。
考点2函数的奇偶性与周期性：热点①判断（或证明）函数的奇偶性（或周期性）；热点②函数性质的综合运用；热点③运用函数性质求函数值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是（ ）
A （-∞，0〕，（-∞，1〕 B （-∞，0〕，〔1，+∞）
C 〔0，+∞），（-∞，1〕 D 〔0，+∞），〔1，+∞）
【解析】
【知识点】①增函数定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据增函数的性质，运用判断函数单调性的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)，g(x)的递增区间就可得出选项。
【详细解答】 f(x)=｜x｜= x，x 0，g(x)=-+2x，函数f(x)递增区间是〔0，+∞），
-x，x＜0，函数g(x)的递增区间是（-∞，1〕，C正确，选C。
2、如图是函数f(x)（x∈R）的图像，则（ ）
A函数f(x)先增后减 B函数f(x)先减后增
C函数f(x)是R上增函数 D函数f(x)是R上减函数
【解析】
【知识点】①函数单调性定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数的性质，运用判断函数单调性的基本方法，结合问题条件判断出函数f(x)，的单调性就可得出选项。
【详细解答】由函数f(x)（x∈R）的图像可知，函数f(x)是R上的增函数，C正确，选C。
3、函数f(x)=|x|(1-x)在区间A上是增函数，那么区间A是（ ）
A （-∞，0） B ［0，］ C 〔0，+∞） D （，+∞）
【解析】
【知识点】①分段函数定义与性质；②判断（或证明）分段函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用判断分段函数单调性的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)递增区间就可得出选项。
【详细解答】 f(x)=|x|(1-x)= -+x，x 0，作出函数f(x)的图像如图所示，由图知函
-x，x＜0，数f(x)的递增区间是［0，］， B正确，选B。
4、函数f(x)= （-4）的单调递增区间是（ ）
A （0，+∞） B （-∞，0） C （2，+∞） D （-∞，-2）
【解析】
【知识点】①复合函数定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③对数函数定义与性质；④复合函数单调性判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】设g(x)= -4，根据一元二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，运用复合函数单调性的判断法则判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】设g(x)= -4，作出函数g(x)的图像如图所示，由图知函数f(x)的定义域是（-，-2）（2，+），函数g(x)在（-，-2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，0<<1，函数f（g(x)）在（-，-2），（2，+）上单调递减，函数f(x) 在（-，-2）上单调递增，在（2，+）上单调递减，D正确，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是判断（或证明）函数单调性的问题，解答这类问题需要理解增函数，减函数，函数单调性和函数单调区间的定义，掌握增函数，减函数，函数单调性的性质和判断（或证明）函数单调性的基本方法，判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）图像法的基本方法是：①作出函数的图像；②确定判断（或证明）的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出函数在区间上的单调性；
（3）定义法的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据④得出函数在区间上的单调性。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ） （答案：B）
A y=-x+1 B y= C y=-4x+5 D y=
2、函数y= 的单调递减区间是（ ）（答案：C）
A ［0，+∞） B （-∞，0〕 C（-∞，0），（0，+∞） D （-∞，0）（0，+∞）
3、函数f(x)=- +2|x|+3的单调递增区间为 ；（答案：函数f(x)的单调递增区间为（-∞，-1），（0，1）. ）
【典例2】解答下列问题：
1、已知a＞0，设函数f(x)= （x）的最大值为M，最小值为N，那么M+N= ；
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③运用函数单调性求函数值域（或最值）的基本方法。
【解题思路】由f(x)= = =2012- ，根据指数函数和函数单调性的性质，运用判断函数单调性的基本方法，判断函数f(x)在 上的单调性，利用函数的单调性求出函数f(x) 在 上的最大值M，最小值N，从而就可求出M+N的值。
【详细解答】 f(x)= = =2012- ，任取，，且＜，f（）-f(）=2012--2012+=
=＜0，函数f(x)= 在上单调递增；M=f(a)= 2012- ，N=f(-a)= 2012- =2012- ，M+N=2012- +2012- =4024-2=4022。
2、已知函数f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的减函数，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①复合函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③对数函数定义与性质；④判断复合函数单调性的法则和基本方法。
【解题思路】设g(x)=2-ax，根据复合函数，对数函数和函数单调性的性质，运用判断复合函数单调性的法则和基本方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】 a>0，且a1，函数g(x)在（0，1）上单调递减，函数f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的减函数，函数f(g(x))在（0，1）上单调递增，a>1，若函数f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的减函数，则实数a的取值范围是（1，+∞）。
3、设函数f(x)=lg，若当x(-∞,1〕时，f(x)有意义，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①复合函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③对数函数定义与性质；④判断复合函数单调性的法则和基本方法。
【解题思路】设g(x)= ，根据复合函数，对数函数和函数单调性的性质，运用判断复合函数单调性的法则和基本方法，结合问题条件得到>0在(-∞,1〕上恒成立，从而得出>0在(-∞,1〕上恒成立，分离参数a得到a>--在(-∞,1〕上恒成立，令h(x)= --，判断函数h(x) 在(-∞,1〕上的单调性，求出函数h(x)在(-∞,1〕上的最大值就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)=lg在(-∞,1〕上有意义，>0在(-∞,1〕上恒成立，>0在(-∞,1〕上恒成立， a>--在(-∞,1〕上恒成立，
设h(x)= --，函数h(x) 在(-∞,1〕上的单调递增，当x(-∞,1〕时，
= h(1)=- - =- ，a>-，若函数f(x)=lg在(-∞,1〕上有意义，则实数a的取值范围是（-，+∞）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数单调性运用的问题，解答这类问题需要理解增函数，减函数的定义，掌握判断（或证明）函数单调性的基本方法；
（2）函数单调性的运用问题主要包括：①已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围；②运用函数的单调性求函数的值域（或最值）；③运用函数的单调性求解（或证明）不等式；
（3）已知函数单调性，求函数解析式中参数取值范围问题解答的基本方法是：①根据函数的单调性得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出结果；
（4）利用函数的单调性求函数值域（或最值）的基本方法是：①判断函数在定义域上的单调性；②根据函数的单调性求函数在定义域上的最值；③确定函数的值域；④得出结果。
（5）运用函数的单调性，求不等式的解集（或证明不等式）问题的基本方法是：①根据函数的单调性得到关于自变量的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出不等式的解集（或证明的结论）。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如果函数f(x)=a+2x-3在区间（-∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（ ）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0 （答案：C）
已知函数f(x)= （2-a）x+1，x＜1，满足对任意，都有＞0成立， ，x1，那么实数a的取值范围是 ；（答案：实数a的取值范围
是（1，2）。）
3、设二次函数f(x)=a-4x+c的值域为〔0,+ ），则u=的最小值为
； （答案：u=的最小值为。）
【典例3】解答下列问题：
1、下列函数是偶函数的是（ ）
A y=x B y=2-3 C y= D y=，x［0,1］
【解析】
【知识点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件分别对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】C，D两个选项中的定义域分别是（0,+ ），［0,1］关于原点不对称，C，D两个选项中的函数不具有奇偶性，可以排除，选项A，B中的两个函数的定义域都是R，关于原点对称，对选项A， f(-x)=-x=- f(x)，选项A的函数是奇函数，对选项B， f(-x)=2 -3=2-3=f(x)，选项B的函数是偶函数，B正确，选B。
2、判断函数f(x)=+x ，(x＜0) ，的奇偶性；
- +x ，（x＞0），
【解析】
【知识点】①分段函数定义与性质；②函数奇偶性定义与性质；③判断（或证明）分段函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据分段函数和函数奇偶性的性质，运用判断分段函数奇偶性的基本方法就可判断函数f(x)的奇偶性。
【详细解答】从函数的解析式可知，函数的定义域为（- ，0）（0,+ ），显然关于原点对称，①当x＞0时， -x＜0， f(-x)= -x=-x=-（-+x）=- f(x)；②当x<0时， -x>0， f(-x)= --x=--x=-（+x）=- f(x)，函数f(x)是奇函数。
3、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数定义域的定义与求法；②复合函数的定义与性质；③分式的定义与性质；④对数函数的定义与性质；⑤复合函数奇偶性判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】（1）由函数f(x)有意义的条件得到 >0，解这个不等式就可以得到函数f(x)的定义域；（2）由（1）可知函数f(x)的定义域为（-1，1）关于原点对称，只需证明f(-x)=-f(x)就可得到结论；（3）设g(x)= 运用定义法先判断函数g(x)在（-1，1）上的单调性，再根据复合函数单调性的判断法则得出结论（注意底数a的两种可能情况）；（4）根据底数a的两种可能情况分别进行解答，得出结果。
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有 >0，-1=-=-f(x)，函数f(x)是奇函数；（3）设g(x)= ，任取， （-1，1），且<，g（）-g（）=-=
=<0，g（）1时，函数f（g(x)）在（-1，1）上单调递增，函数f(x)在（-1，1）上单调递增；
（4）①当01时， f(x)＞0，>1，01时， f(x)＞0时，x的取值范围是（0，1）。
『思考问题3』
（1）【典例3】是判断（或证明）函数奇偶性的问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数的定义，掌握奇函数，偶函数的性质和判断（或证明）函数奇偶性的基本方法；
(2)判断（或证明）函数奇偶性的基本方法是：①图像法；②定义法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式，一般应该采用定义法；如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）应该采用图像法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性时，在验证f(-x)与f(x)的关系时，需要分段分别进行验证，并注意f(-x)对应的解析式。
〔练习3〕解答下列问题：
1、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）（答案：D）
A y= B y=x+ C y= + D y=x+
x+1， (x＞0)，
2、判断函数f(x)= 1 ， (x=0) ，的奇偶性；（答案：函数f(x)是偶函数。）
-x+1 ，(x＜0），
3、证明函数f(x)= (a＞1)是奇函数；（提示：用定义法进行证明。）
【典例4】解答下列问题：
1、已知偶函数f(x)在区间［0，+∞）上单调递增，则满足f(2x-1)＜f()的x的取值范围是（ ）
A （，） B ［，） C （，） D ［，）
【解析】
【知识点】①偶函数定义与性质；②求解绝对值不等式的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，结合问题条件得到关于x的绝对值不等式，运用求解绝对值不等式的基本方法求出x的取值范围就可求出选项。
【详细解答】偶函数f(x)在区间［0，+∞）上单调递增，且f(2x-1)＜f()，|2x-1|＜，
2、若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a= ；
【解析】
【知识点】①偶函数定义与性质；②求解方程的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，结合问题条件得到关于a的方程，运用求解方程的基本方法就可求出a的值。
【详细解答】 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数， f(-x)=(-x+a)(-x-4)= +（4-a）x-4a= f(x)=(x+a)(x-4)=+（a-4）x-4a，2（a-4）x=0，a=4。
3、设函数y=f(x)是奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)的值为 ；
【解析】
【知识点】①奇函数定义与性质；②求解方程的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质，结合问题条件得到关于f(1)+f(2)的方程，运用求解方程的基本方法就可求出f(1)+f(2)的值。
【详细解答】函数y=f(x)是奇函数， f(-2)+f(-1)=- f(2)-f(1)， f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3， -f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3，2[f(1)+f(2)]=-6，f(1)+f(2)=-3。
4、设函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，则M+m= ；
【解析】
【知识点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】由f(x)= =1+，设g(x)= ，根据奇函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到函数g(x)是奇函数，运用奇函数的性质和求函数最值的基本方法得到函数g(x)的最大值与最小值的和为0，从而求出M+m的值。
【详细解答】 f(x)= =1+，设g(x)= ，对函数g(x)定义域为R关于原点对称，g(-x)= = =- g(x)，函数g(x)是奇函数，+=0，M==1+，m==1+，
M+m=1++1+=2++=2。
5、已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=-4x，那么不等式f(x+2) ＜5的解集是 ；
【解析】
【知识点】①偶函数定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出当x<0时，函数f(x)的解析式，由判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)的单调性，利用函数单调性得到关于x的不等式，求解不等式就可求出不等式f(x+2) ＜5的解集。
【详细解答】设x<0，则-x>0，函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=-4x， f(x)= f(-x)= -4（-x）=+4x， f(x)= -4x，x0，函数f(x)在（-∞，
+4x，x<0，-2），（0，2）上单调递减，在（-2，0），（2，+∞）上单调递增， f(-5)= f(5)=25-45=5， f(x+2) ＜5
|x+2|<5，-7『思考问题4』
（1）【典例4】是函数奇偶性应用的问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数的定义，掌握奇函数，偶函数的性质，注意弄清楚问题与奇函数（或偶函数）的哪一个性质相关；
（2）函数奇偶性的应用问题主要包括：①已知函数的奇偶性，求函数的解析式；②已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）；
（3）解答已知函数的奇偶性，求函数的解析式问题的基本方法是：①运用函数的奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，②利用函数奇偶性中f(-x)与f(x)的关系式求出所求函数的解析式；
（4）解答已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）问题的基本方法是分离系数法，运用f(-x) f(x)=0得到关于参数的恒等式，利用系数的对等性求出参数的值（或取值范围）；
（5）运用函数奇偶性解答问题必须注意性质的条件与结论，只有性质的条件满足时，才能得到相应性质的结论。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=ln(-3x)+1，则f(lg2)+f(lg)=（ ）（答案：B）
A -1 B 0 C 1 D 2
2、设偶函数f(x)的定义域为R，当x ［0，+∞）时，f(x)是增函数，则f(-2),f()，f(-3)的大小关系是（ ）（答案：A）
A f ()＞f(-3)＞f(-2) B f ()＞f(-2)＞f(-3)
C f()＜f (-3)＜f(-2) D f()＜f(-2)＜f (-3)
已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)= +x+1， +x+1，x＞0,
求函数f(x)的解析式； （答案：f(x)= 0，x=0）
4、若函数f(x)= 为奇函数，则a= ；（答案：a=-1。） -+x-1，x<0,
5、已知函数f(x)=a+b+cx-8，且f(d)=10，则f(-d)= ； y （答案：f(-d)=-26.）
6、设奇函数的定义域为［-6,6］，若当x［0,6］时，
f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0
的解集是 ； -6 -3 0 3 6 x
（答案：不等式f(x)＜0的解集是（-3，0）（3，6）。）
【典例5】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，函数g(x)是定义在R 上的奇函数，且g(x)= f(x-
1)，则f(2017)+f(2019)的值为（ ）
A -1 B 1 C 0 D 无法计算
【解析】
【知识点】①周期函数定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法；③奇函数定义与性
质；④偶函数定义与性质。
【解题思路】根据奇函数和偶函数的性质，结合问题条件，得到f(x)=g(x+1)，f(-x)=g(-x
+1)，从而得到g(-x)=g(x+2)，运用判断函数是周期函数的基本方法，得到函数g(x)是以4
为周期的周期函数，由f(2017)= g(2016)，f(2019)= g(2018)，利用周期函数的性质求出
g(2016)+ g(2018)的值，从而求出f(2017)+f(2019)的值就可得出选项。
【详细解答】 g(x)= f(x-1)， g(-x)= f(-x-1)，函数g(x)是定义在R 上的奇函数，
f(x-1)=- f(-x-1)， f(x)= -f(-x-2)， f(-x)=-f(x-2)，函数f(x)是定义在R 上
的偶函数， f(-x-2)=f(x-2)，f(x)=f(-x-4)=f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周
期函数， g(0)=0，f(0-1)= f(-1)= f(1)=0， f(3)= f(-3)=-f(1)=0，f(2017)
= f(504 4+1)= f(1)，f(2019)= f(5044+3)= f(3)， f(2017)+f(2019)= f(1)+
f(3)=0+0=0，C正确，选C。
2、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=- ，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(-105.5)= 。
【解析】
【知识点】①周期函数和偶函数定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法。
【解题思路】根据判断函数是周期函数的基本方法，结合问题条件，得到函数f(x)是以4
为周期的周期函数，运用偶函数和周期函数的性质就可求出f(-105.5)的值。
【详细解答】 f(x+2)=- ， f(x)=- ， f(x+2)=- ，
f(x)= f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函数，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，
当2 x 3时，f(x)=x， f(-105.5)=f(105.5)= f(1.5)=1.5。
3、设函数f(x)在R 上满足：f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)判断函数f(x)是不是周期数；
【解析】
【知识点】①周期函数定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法。
【解题思路】根据问题条件，得出f(x+4)= f(x+14)，从而得到f(x)= f(x+10)，运用周期
函数的性质和判断函数是周期函数的基本方法，就得出断函数f(x)是周期函数。
【详细解答】 f(2-x)=f(2+x)， f(x)= f(4-x)， f(7-x)=f(7+x)， f(x)= f(14-x)，
f(4-x)= f(14-x)，f(4+x)= f(14+x)， f(x)= f(x+10)，函数f(x)是以10为周期的周期函数。
『思考问题5』
（1）【典例5】是函数周期性判断（或证明）的问题，解答这类问题需要理解周期函数的定
义，掌握周期函数判断（或证明）的基本方法；
（2）判断（或证明）函数是周期函数的基本方法是定义法；
（3）用定义法判断（或证明）函数是周期函数的基本方法是：①确定一个常数T；②验证
f(x+T)与f(x)的值是否相等；③得出函数是否是周期函数；
（4）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
〔练习5〕解答下列问题：
1、定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3 x ＜-1时，f(x)= -，当-1x ＜
3时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)= ；（答案：f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)=336。）
2、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(-106.5)= 。（答案：f(-106.5)=2.5）
【典例6】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)= ，则实数
a的取值范围为（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
【解析】
【知识点】①周期函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③求解分式不等式的基本方法。
【解题思路】运用周期函数和偶函数的性质，结合问题条件，得出f(5)= f(23-1)= f(-1)
= f(1)，从而得到关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数， f(5)= f(23-1)= f(-1)
= f(1)， f(1)＜1，f(5)= ，＜1，-12、函数f(x)=lg(a+ )为奇函数，则实数a= ；
【解析】
【知识点】①奇函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③求解方程的基本方法。
【解题思路】根据奇函数和对数函数的性质，结合问题条件，得到关于a的方程，求解方程
就可求出实数a的值。
【详细解答】函数f(x)=lg(a+ )为奇函数， f(-x)=lg(a+ )=- f(x)=-lg(a+ )
=lg ，=，a=-1。
3、设f(x)是以2为周期的函数，且当x ［1,3）时，f(x)=x-2，则f(-1)= ；
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②求函数解析式的基本方法。
【解题思路】运用周期函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件，求出函数
f(x)在区间［-1,1）的解析式就可求出f(-1)的值。
【详细解答】设x ［-1,1），则x+2 ［1,3）， f(x)是以2为周期的函数，且当x ［1,3）时，f(x)=x-2， f(x)= f(x+2)=x+2-2=x， x ［-1,1）时，f(x)=x， f(-1)=-1。
4、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b∈R，若f()=f()，则a+3b的值为 ； ，0x 1，
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②求解方程组的基本方法。
【解题思路】根据周期函数的性质，结合问题条件，得到f()=f()=f(-2+)= f(-)，f(1)=
= f(-2+1)= f(-1)，从而得到含a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可求出a+3b
的值。
【详细解答】 f(x)是定义在R上且周期为2的函数，f()=f()， f(1)= f(-2+1)= f(-1)，
f()=f()=f(-2+)= f(-)，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b
-a+1=， a=2， ，0x 1，∈R，
=-a+1， b=-4，a+3b=2+3（-4）=-10。
『思考问题6』
（1）【典例6】是函数性质综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性的定义，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性解答相关问题；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数性质综合问题的关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0.
〔练习6〕解答下列问题：
1、奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)等于（ ）
A -2 B -1 C 0 D 1 (答案：D)
2、已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)= +3x+2，若当x［1，3］时，n≤f(x)≤m恒成立，则m-n的最小值为 ；（答案：m-n的最小值为）
3、若f(x)=ln(+1)+ax是偶函数，则a= 。（答案：a=-）
【追踪考试】
【典例7】解答下列问题：
1、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法得到关于k的不等式，求解不等式求出实数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 (x)= k-=，①当k0时， (x)<0在（1，+）恒成立，函数f(x)在（1，+）上单调递减，与题意不符；②当k>0时，令 (x)=0解得x=，函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增， 1，k2，综上所述，若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是[2，+），B正确，选B。 -1，02、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列结论：
①函数f(x)在（-6，-5）上单调递增；②函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4个不相等的实数根，则这4个根之和为8；④记函数f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值为，则数列{}的前7项和为。其中所有正确结论的编号是 （成都市2019级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数零点定义与性质；③函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质，结合问题条件作出函数f(x)的图像如图所示，运用函数f(x)对各结论的正确与错误进行判断，就可得出其中所有正确结论的编号。
-1，0【详细解答】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，作出函数f(x)的图像如图所示，对①，函数f(x)在 y
（5，6）上单调递增，函数f(x)在（-6，-5） 1
上单调递增，结论①正确；对②，当x>0时，
函数f(x)的图像与直线y=x只有一个交点， 0 1 2 3 4 5 6 x
函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有3个交点，
②错误；对③，设f(x)=t，方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，解得t=0或t=1，当t=1时，f(x)=1只有一个根=2，方程恰有4个不同的根，有两种可能：（1）t=a=，f(x)= 得到+=2，=4，+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，f(x)= -，得到+=-2，=-4， +++=2-2-4=-4，③错误；对④，当x[1，2]时，= f(2)=1，=1，数列{}是以=1为首项，为公比的等比数列，===，④正确；其中所有正确结论的编号是①④。
3、下列函数中是增函数的为（ ）（2021全国高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
【解析】
【考点】①正比例函数的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③一元二次函数的定义与性质；④幂函数的定义与性质。
【解题思路】根据正比例函数，指数函数，一元二次函数和幂函数的性质结合问题条件分别对各选项的单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，-1<0， f(x)=-x是减函数，即A错误；对B，0< <1， f(x)=
是减函数，即B错误；对C，当x （- ，0）时，函数 f(x)= 是减函数，C错误；对D，>0，函数 f(x)= 是R上的增函数，D正确，选D。
4、若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a= ，b= （2022全国高考乙卷文）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值。
【详细解答】函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数， a+= 0，x=
=-1，a=-，函数f(x)=ln|a+|+b的定义域为（- ，-1）（-1，1）（1，+），
f(0)=ln|-+1|+b=-ln2+b=0，b=ln2，若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a=-，
b=ln2。
5、已知函数f(x)及其到函数（x）的定义域均为R，记g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③轴对称图形定义与性质；④周期函数定义与性质；⑤判断函数周期性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)关于直线x=对称，函数g(x)=（x）关于直线x=2对称，从而得到函数f(x)关于点（2，t）对称，函数g(x)=（x）关于点（，0）对称，运用周期函数的性质和判断函数周期性的基本方法，得到函数f(x)，函数g(x)=（x）均为以2为周期的周期函数，从而得到 f(0) = f(2) =t， f(-1)= f(4) ，可以判断A错误，C正确；g(-)=g()=0，g(-1)= g(1)，可以判断B正确，D错误，就可得出选项。
【详细解答】 f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，函数f(x)关于直线x=对称，函数g(x)=（x）关于直线x=2对称，函数f(x)关于点（2，t）对称，函数g(x)=（x）关于点（，0）对称，函数f(x)，函数g(x)=（x）均为以2为周期的周期函数， f(0) = f(2) =t，f(-1)= f(1) ，f(-1)= f(1) ，f(1)= f(2) ，f(2)= f(4) ，f(-1)= f(4) ，A错误，C正确； g(-)
= g(2-)= g()=0，g(-1)= g(1)=0，g(1)+ g(2)=0， g(-1)+ g(2)=0，B正确，D错误，综上所述，BC正确，选BC。
6、设f(x)的定义域在R上的奇函数，且f(x+1)= f(-x)，若f(-)=，则f()=（ ）（2021全国高考甲卷）
A - B - C D
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解答思路】根据奇函数的性质，运用判断函数周期性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)是以2为周期的周期函数，利用周期函数的性质和求函数值的基本方法求出f()的值就可得出选项。
【详细解答】（理） f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，f(x+1)=- f(-x+1)，f(x+2)= f(-x+2)， f(x+4)=- f(x+2)，函数f(x)是以4为周期的周期函数，当x [1，2]时，f(x)=a +b， f(1)=a+b=0①，f(0)=- f(2)=-（4a+b）=-4a-b，f(3)= -f(1)=0，f(0)+ f(3)=6， f(0)+ f(3)= f(0)=- 4a-b =6②，联立①②解得：a=-2，b=2，当x [1，2]时，f(x)=-2+2， f()=
f(4+)= f()=-f()=-（-2+2）=， f()=，D正确，选D。（文） f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)= f(-x)，f(x)=- f(x+1)， f(x)= f(x+2)， 函数f(x)是以2为周期的周期函数， f(-)=， f()=f(2-) = f(-) =，C正确，选C。
7、已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（ ）（2021全国高考新高考II）
A f(-)=0 B f(-1)=0 C f(2)=0 D f(4)=0
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③周期函数定义与性质；④求函数值的基本方法。
【解答思路】根据奇函数和偶函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，运用奇函数和周期函数的性质得到f(-1)=0就可得出选项。
【详细解答】函数y= f(x+2)为偶函数，函数y=f(2x+1)为奇函数， f(-x+2)= f(x+2)，f(-2x+1)=- f(2x+1)， f(x+3)= f(1-x)，f(1-x)=- f(x+1)，f(x+3)= - f(x+1)， f(x)= f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函数，g(x)= f(2x+1)为R上的奇函数， g(0)= f(0+1)= f(1)=0， f(0+3)=- f(0+1)， f(3)=- f(1)=0， f(3)= f(4-1)= f(-1)， f(-1)= f(3)= - f(1)=0，B正确，选B。
8、已知函数f(x)= 在[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A [2，4] B [-2，+） C [-4，-2] D （-，-4]
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④判断复合函数单调性的法则和基本方法。
【解题思路】根据指数函数，一元二次函数和复合函数的性质，运用判断复合函数单调性法则和基本方法，得到关于实数a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设g(x)= +ax-1，0<<1，函数f(g(x))在[1，2]上单调递减，函数f(x)= 在[1，2]上单调递减，函数g(x) 在[1，2]上单调递增，-1，
a-2，即实数a的取值范围是[-2，+），B正确，选B。
9、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对区间（- ，0]上的任意，，当
时，都有<0，若实数t满足f（2t+1） f（t-3），则t的取值范围是 。（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③判断函数单调性的基本方法；④运用函数单调性求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质，运用判断函数单调性的基本方法，分别得到函数f(x)在区间（- ，0]，[0，+ ）上的单调性，利用运用函数单调性求解不等式的基本方法得到关于t的不等式，求解不等式就可求出实数t的取值范围。
【详细解答】函数f(x) 对区间（- ，0]上的任意，，当时，都有<0，函数f(x)在区间（- ，0]上单调递减，函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数f(x) 在区间[0，+ ）上的单调递增， f（2t+1） f（t-3） |2t+1||t-3|，-4t，若实数t满足f（2t+1） f（t-3），则t的取值范围是[-4，]。
『思考问题7』
（1）【典例7】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试题中函数性质的问题，归结起来函数性质问题主要包括：①函数单调性及运用；②函数奇偶性，周期性及运用；③函数单调性，奇偶性和周期性的综合运用等几种类型；
（2）解答这类问题的基本方法是：①确定问题所属的类型；②运用该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、若定义在R上的奇函数f(x)在（-，0）上单调递减，且f(2)=0，则满足x f(x-1) 0的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）（答案：D）
A [-1,1] [3，+） B [-3,-1] [0，1] C[-1,0] [1，+） D [-1,0] [1，3]
2、设函数f(x)= - ，则f(x)（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：A）
A 是奇函数，且在（0，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（0，+）上单调递减
C 是偶函数，且在（0，+）上单调递增 D 是偶函数，且在（0，+）上单调递减
3、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(
0.3),b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（20
21成都市高三二诊）（答案：b＜c＜a）
4、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)= -x，0 x 1，若对任意的
-1，1x-3，x 2，f(x)> f(x- a)恒成立，则实数a的取值范围是 。（答案：实数a的取值范围是（3，+）。）
5、设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（2021全国高考乙卷）（答案：B）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1
6、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）（答案：a=1。）
7、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。（答案：同时具有性质①②③的函数f(x)= 。）
8、函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17，则f(f())= （2021成都市高三一诊）（答案：f(f())=-1。）
9、关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 （2020全国高考新课标III）（答案：其中所有真命题的序号是②③。）

展开更多......

收起↑