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第一讲 集合及其运算
【考纲解读】
理解集合，子集，并集，交集和补集的定义；
了解全集，空集的定义和属于，包含，相等的意义；
掌握表示集合和集合运算的基本方法，能够熟练地表示集合和进行集合的运算。
【知识精讲】
集合的概念：
1、集合的定义：具有某种特性的所有对象构成的整体，叫做集合，简称集。
2、集合的表示：（1）用一个大写的拉丁字母表示，例如A，B，C，---------；
(2)用集合的所有对象加上大括号表示，例如{1，2，3}，②{x|03、常用的数集及其表示：（1）自然数集N ；（2）正整数集 或；（3）整数集Z；（4）有理数集Q；（5）实数集R。
4、集合的元素：
（1）集合元素的定义：集合中的每一个对象，叫做集合的元素。
（2）元素与集合的关系：
①元素是集合中的的元素，称为元素属于集合，用符号“”’表示，读作“属于” ，例如2与N，3、与Q可以表示为2N，3，Q；
②元素不是集合中的的元素，称为元素不属于集合，用符号“”表示，读作“不属于” ，例如-2与N，2.132412576…….与Q可以表示为-2N，2.13241257--------Q。
(3)元素的特性：
元素具有确定性，互异性和无序性。
5、集合的分类：
（1）空集的定义：没有元素的集合，称为空集；
（2）空集的表示：用符号“”表示空集；
（3）空集与数0的关系：①联系：空集与数0都表示没有；②区别：0是一个数，是一个集合；
（4）有限集合的定义：元素的个数是有限的集合，叫做有限集合；
（5）无限集合的定义：元素个数是无限的集合，叫做无限集合；
（6）集合的分类：集合按元素的多少可以分为有限集合和无限集合。
二、表示集合的基本方法：
1、列举法：
列举法的定义：把集合中的元素全部列举出来的表示方法，叫做列举法；
2、描述法：
（1）描述法的定义：把集合中的元素的共有特征描述出来的表示方法，叫做描述法；
3、韦恩氏图法：
（1）韦恩氏图法的定义：把集合中的元素全部放在一个封闭的曲线内的表示方法，叫做韦恩氏图法；
三、集合与集合的关系：
1、子集：
（1）子集的定义：设A，B是两个非空集合，如果对任意的xA,都有x B,那么称集合A是集合B的子集 ；也可以说成集合A包含于集合B,或集合B包含集合A；
（2）子集的表示：用符号“”表示子集，读作“包含于”，例如AB；
规定：空集是任何集合的子集，即对任意的集合A，都有A；
（3）子集的性质：子集有如下性质：① 空集是任何集合的子集；②任何集合是它自身的子集；③子集具有传递性，即若AB，BC，则AC；④含有n个元素的集合它的子集个数为个。
2、真子集：
（1）真子集的定义：设A，B是两个非空集合，如果对任意的xA,都有x B，且存在B,但A，那么称集合A是集合B的真子集；也可以说成集合A真包含于集合B，或集合B真包含集合A；
（2）真子集的表示：用符号“”表示真子集，读作“真包含于”，例如AB；
(3)真子集的性质：真子集具有如下性质：①空集是任何非空集合的真子集；②子集具有传递性，即若AB，BC，则AC；③含有n个元素的集合它的真子集个数为（-1）个；
(4)真子集与子集的关系：①真子集一定是子集；②子集不一定是真子集。
3、 集合与集合相等：
（1） 两个集合相等的定义：如果集合A，B满足：AB,且BA,则称集合A与集合B相等；
2、两个集合相等的表示：用符号“=”表示集合与集合的相等关系，集合A=集合B。
四、集合的运算：
（一）并集：
1、并集的定义：由集合A和集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集；
2、并集的表示：用符号“∪”表示，读作“并”，例如集合A与集合B的并集可以表示成A∪B,也可以表示成B∪A；
3、并集的图示：
①A∪B ②A∪B ③A∪B=B
4、并集的性质：并集具有如下性质：①任何集合与空集的并集等于它自身；②任何集合与它本身的并集等于它自身；③并集具有交换性，即A∪B=B∪A；④若AB,则A∪B=B。
（二）交集：
1、交集的定义：由集合A和集合B的公共元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集；
2、交集的表示：用符号“”表示，读作“交”，例如集合A与集合B的交集可以表示成AB,
也可以表示成BA；
3、交集的图示：
A∩B= A∩B=C A∩B=A
4、交集的性质：交集具有如下性质：①任何集合与空集的交集等于空集；②任何集合与本身的交集等于它自身；③交集具有交换性，即 A∩B=BA；④若AB,则AB=A。
（三）补集：
1、全集的定义：包含研究问题的所有对象的集合，叫做全集；
2、全集的表示：用符号“U”表示；
3、补集的定义：由属于集合全集，但不属于集合A的元素构成的集合，称为集合A在全集U下的补集；
4、补集的表示：用符号“”表示，读作“补”，例如集合A在全集U下的补集表示为A；
5、补集的图示：
A
补集的性质：补集具有如下性质：①任何集合与它补集的并集等于全集；②任何集合与它补集的交集等于空集；③两个集合的并集的补集等于这两个集合补集的交集，即（A∪B）=（A）（B）；④ 两个集合的交集的补集等于这两个集合补集的并集，即（AB）=（A）∪（B）。
【探导考点】
考点1集合定义及表示:热点①，集合元素定义，元素与集合的关系及表示；热点②，表示集合的基本方法；
考点2集合与集合之间的关系：热点①，集合与集合之间的包含关系；热点②，集合与集合之间的相等关系；
考点3集合的运算：热点①，并集定义和运算的基本方法；热点②，交集定义和运算的基本方法；热点③，全集，补集定义和补集的运算的基本方法。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知集合A=｛a+2，(a+1)，+3a+3｝，若1A，则由实数a构成的集合B的元素个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、给出下列各项式：①R；② Q；③|-3|；④|-|N。其中正确的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、已知集合A={x|xZ，且Z }，则集合A中的元素个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
4、用列举法表示集合{x|-2x+1=0}为（ ）
A {1，1} B {1} C {x=1} D {-2x+1=0}
5、由大于-3且小于11的偶数组成的集合是（ ）
A {x|-3＜x＜11，xQ} B {x|-3＜x＜11}
C {x|-3＜x＜11，x=2k，kN} D {x|-3＜x＜11，x=2k，kZ}
6、已知集合A={x|N ，xN }，则用列举法表示为 。
7、若集合A={xR |a-3x+2=0}中只有一个元素，则a= 。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与集合定义及表示相关的问题，解答这类问题需要理解集合元素，列举法和描述法的定义，元素与集合的关系及表示，掌握集合元素特性和列举法与描述法的基本方法；
（2）元素与集合的关系是：①元素属于集合；②元素不属于集合；注意符号“”或“”的理解与运用；
（3）确定一个集合元素的基本方法是：①明确这个集合中的元素代表什么和元素的限制条件（定性）；②含有字母的集合，求出字母的值后，注意集合元素的互异性（定量）；
（4）列举法和描述法是表示集合常用的两种基本方法，对于具体问题应该明确它涉及到哪一种或哪几种集合表示法，再结合相关集合的表示法解答问题；
（5）面对描述法表示的集合时，一定要注意弄清楚集合的元素是什么，它表示的是怎样的一个集合；例如集合｛（x,y）|y=2x+1｝表示的是直线y=2x+1上的点集，集合｛x|y=2x+1｝表示的是函数y=2x+1的定义域，集合｛y|y=2x+1｝表示的是函数y=2x+1的值域。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设A=｛a｝，则下列各式正确的是（ ）
A 0A B aA C aA D a=A
2、已知A={x|x=3k-1，kZ}，则下列表示正确的是（ ）
A -1A B -11A C 3-1A D -34A
3、下列集合中，表示同一集合的是（ ）
A A={(3，2)}，B={(2，3)} B A={3，2}，B={2，3}
C A={(x，y)|x+y=1}，B={y|x+y=1} D A={1，2}，B={(1，2)}
4、下列命题中：（1）方程+|3y+3|=0的解集是｛,-1｝;(2)方程+x-6=0的解集是｛（-3,2）｝；（3）集合M=｛y|y=+1,x∈R｝与集合P=｛（x,y）|y=+1，x∈R｝表示同一集合；（4）方程组 x-y+3=0 的解集是｛（x,y）|x=1或y=2｝其中正确的命题的个数是
2x+y=0 （ ）
A 0个 B 2个 C 3个 D 4个
5、（1）设xR，集合A中含有三个元素3，x，-2x，求元素x应满足的条件；
（2）若-2A，求实数x的值。
【典例2】解答下列问题：
1、设集合P是大于1且小于6的所有质数组成的集合，则集合P的子集的个数是（ ）
A 8个 B 7个 C 6个 D 4个
2、已知集合M=｛（x,y）|3x+4y-12＜0,x,y｝,则集合M的真子集的个数是（ ）
A 8个 B 7个 C 6个 D 4个
3、已知集合A=｛x|1≤x＜5｝，集合C=｛x|-a＜x≤a+3｝,若C A，则a的取值范围为( )
A - ＜a≤-1 B a≤- C a≤-1 D a＞-
4、集合M={x|x=3k-2，kZ}，P={y|y=3n+1，,nZ }，S={z|z=6m+1，,mZ }之间的关系是（ ）
A SPM B S=PM C SP=M D P=M S
5、下列集合为空集的是（ ）
A {x|+3=3} B {（x,y）|y=-，x，yR} C {x|-0} D {x|-x+1=0，xR}
6、下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A。其中正确的有（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
7、已知{x|-x+a=0}，则实数a的取值范围是 。
8、已知集合M={（x，y）|x+y＜0,xy＞0},P={（x，y）|x＜0，y＜0}，则M，P的关系是 ；
设集合A={x，y}，B={0，}，若A=B，则实数x= ,y= 。
『思考问题2』
（1）【典例2】是集合与集合的关系问题，解答这类问题需要理解子集，真子集，集合相等的定义，掌握子集，真子集和集合相等的性质；
（2）集合与集合的关系包括：①包含关系，包含关系中又涉及到子集和真子集两种情况，注意子集与真子集之间的关系；②相等关系，两个集合相等的充分必要条件是它们的元素完全一样，解答相关问题时要特别注意这个充分必要条件，同时还要注意集合元素的互异性和无序性；
（3）注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能性，尤其是问题中涉及到AB时，一定要注意分A=和A两种情况来考虑；
（4）对含有参变量的集合问题，应该对参变量的可能取值进行分类讨论，同时还应注意参数分类的原则和基本方法，作到分类合理，不重复不遗漏；
（5）空集是指没有元素的集合，它虽然没有元素，但它是一个集合，它的子集只有一个就是它本身，由此可以得出以空集为真子集的集合一定不是空集。
〔练习2〕解答下列问题：
1、设集合P是大于1且小于8的所有奇数组成的集合，则集合P的子集的个数是（）
A 8个 B 7个 C 6个 D 4个
2、已知集合M=｛（x,y）|3x+4y-12＜0,x,y｝,则集合M的真子集的个数是（ ）
A 8个 B 7个 C 6个 D 4个
3、集合A={1，3，x}，B={1，}，且BA，则满足条件的实数x的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
4、已知集合A={x|-x-2＜0},B={x|-1＜x＜1},则（ ）
A AB B BA C A=B D A∩B=
5、下列集合为空集的是（ ）
A {x|+1=1} B {（x,y）|y=，x，yR} C {x|-|x|0} D {x|-x+2=0，xR}）
6、已知{x|-ax+1=0}，则实数a的取值范围是 。
【典例3】解答下列问题：
1、已知集合A={1，3，}，B={1，m}, A∪B=A,则m=（ ）
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
2、已知集合P={x|≤1},M={a}，P∪M=P，则实数a的取值范围是（ ）
A （- ，-1］ B ［1，+ ） C ［-1,1］ D （- ，-1］∪［1，+ ）
3、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0，1，3，5，8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则（A）∩（B）=（ ）
A ｛5,8｝ B ｛7，9｝ C ｛0，1，3｝ D ｛2，4,6｝
4、设集合U={1，2，3，4}，M={x∈U|-5x+p=0}，若M={2，3}，则实数p的值为（ ）
A -4 B 4 C -6 D 6
5、若集合A=｛x|2x+1＞0｝,B=｛x||x-1|＜2｝,则A∩B= ；
6、已知集合A=｛x∈R||x+2|＜3｝,B=｛x∈R|(x-m)(x-2)＜0｝,且A∩B=(-1,n),则m=
,n= 。
『思考问题3』
（1）【典例3】是集合运算的问题，解答这类问题需要理解并集，交集，全集和补集的定义，掌握并集，交集，补集的性质和运算的基本方法；
（2）在进行集合运算时，若问题中的集合是用描述法表示的，应该先把集合化简为列举法表示的集合，再进行运算会使问题更简捷；
（3）在集合运算过程中，应注意数轴，韦恩氏图，图像的运用，这样可使问题更直观，形象，便于理解和掌握。
〔练习1〕按要求解答下列各题：
满足{1，2}∪A={1，2，3}的所有集合A的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2、已知集合A={1，2，}，B={1，m}, A∪B=A,则m=（ ）
A 0或 B 0或2 C 1或 D 1或2
3、设集合A={1，2，4，8}，B={x|x是2的倍数}，则A∩B=（ ）
A {2，4} B {1，2，4} C {2，4，8} D {1，2，8}
4、已知集合M={y|y=},N={y|+=2},则M∩N=（ ）
A {（1，1），,（-1，1）} B {1} C {y|0≤y≤1} D { y|0≤y≤}
5、设全集U=｛1，2，3，4，5｝，M=｛1，4｝，N={1，3，5}，则N∩（M）=（）
A ｛1,3｝ B ｛1，5｝ C ｛3，5｝ D ｛4,5｝
6、设集合U={1，2，3，4}，M={x∈U|-5x+p=0}，若M={1，4}，则实数p的值为（ ）
A -4 B 4 C -6 D 6
【追踪考试】
【典例1】解答下列问题：
1、集合M={2，4，6，8，10}，N={x|-1A {2，4} B {2，4，6} C {2,4，6，8} D {2,4，6，8，10}
2、已知集合A={1，2，3，5，7，11 },B={x|3A 2 B 3 C 4 D 5
3、已知集合A={-1，0，m}，B={1，2}，若AB={-1，0，1，2}，则实数m的值为（ ）（成都市2020高三一诊 ）
A -1或0 B 0或1 C -1或2 D 1或2
4、已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛2，4，6，8｝，则A∩B中元素的个数为（ ）（2017全国高考新课标III卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
5、已知集合A=｛1，2｝，B=｛a，+3｝，若A∩B=｛1｝，则实数a的值为 （2017全国高考江苏卷）
6、设集合A=｛x|1≤x≤5｝，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）（2016全国高考四川卷）
A 6 B 5 C 4 D 3
7、设集合A=｛1,2,3｝，B=｛4,5｝，M=｛x|x=a+b,a A,b B｝,则M中元素的个数为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
8、（理）已知集合M=｛1,2，zi｝,i为虚数单位，N=｛3,4｝,M∩N=｛4｝，则复数z=（）
A -2i B 2i C -4i D 4i
（文）若集合A=｛xR|a+ax+1=0｝中只有一个元素，则a=（ ）
A 4 B 2 C 0 D 0或4
9、设常数aR，集合A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝,B=｛x |x≥a-1｝,若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A （-∞，2) B （-∞，2〕 C （2，+∞） D 〔2,+∞）
10、已知集合A=｛1,3，｝，B=｛1，m｝，A∪B=A，则m=（ ）
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
11、（理）已知集合A=｛xR||x+2|＜3｝,B=｛xR|(x-m)(x-2)＜0｝,且A∩B=(-1,n),则m= ,n= ；
（文）集合A=｛xR||x-2|≤5｝中的最小整数为 ；
『思考问题1』
（1）【典例1】是与集合概念相关的问题，解答这类问题需要理解集合和集合元素的定义，掌握表示集合的基本方法和元素与集合之间的关系及其表示，注意集合元素的性质；
（2）集合中的每一个个体，称为集合的元素；元素与集合的关系有两种：①元素是集合中的元素称为元素属于集合，用符号“”表示；②元素不是集合中的元素称为元素不属于集合，用符号“”表示；
（3）确定集合中的元素或集合中元素的个数，都必须求出集合，在求复合某些条件的集合时，应该注意集合元素的性质；
（4）集合元素的性质有：①确定性，即一个集合的元素是确定的；②互异性，即一个集合中元素与元素之间不能完全相同；③无序性，即一个集合中元素与元素之间没有先后顺序。
（5）对含有参数的集合问题，应该对参数的可能取值进行分类讨论，注意参数分类标准的确定，作到分类合理，不重复不遗漏。
（6）解决集合问题中参数问题的基本方法是：①确定集合元素的属性，它表示的是一个怎样的集合（定性），②结合问题的条件进行分析，实施解答（定量）；
（7）注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能性，尤其问题中涉及到A∩B=时，一定要分A或B=和A或B两种情况来考虑。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知集合A=｛1,2,3｝，B=｛2，4，5｝，则集合A∪B中元素的个数为 。
2、已知互异的复数a，b满足ab0，集合｛a，b｝ = ｛，｝，则a+b= 。
3、若集合｛a，b，c，d｝=｛1，2,3,4｝ ，且下列四个关系：①a=1 ；②b1；③c=2；
④d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组｛a，b，c，d｝的个数是 。
4、含有三个元素的集合可以表示为｛a,,1｝,也可以表示为｛,a+b,0｝.
求：的值。
5、设集合P=｛0，2,5｝，Q=｛1,2,6｝定义集合P+Q=｛a+b|aP,bQ｝,则集合P+Q中元素的个数是（）
A 9 B 8 C 7 D 6
已知集合P=｛x|≤1｝, M=｛a｝,若 P∪M=P, 则实数a的取值范围是（ ）
A (-∞,-1〕 B 〔1，+∞〕 C 〔-1，1〕 D （-∞，-1〕∪〔1，+∞）
【典例2】解答下列问题：
1、已知集合A={0，z}，B={0，2，4}，若A B，则实数z的值为（ ）（成都市2020高三三诊 ）
A 0或2 B 0或4 C 2或4 D 0或2或4
2、已知集合A=｛x| -3x-4<0｝，B=｛-4，1，3，5｝，则A∩B=（ ）
A｛-4，1｝ B｛1，5｝ C｛3，5｝ D｛1，3｝
3、已知集合A=｛x|-2x ＞0｝,B=｛x|-＜x＜｝,则（）
A A∩B= B A∪B=R C A B D B A
4、已知集合A=｛x|x是平行四边形｝，B=｛x|x是矩形｝，C=｛x|x是正方形｝，D=｛x|x是菱形｝，则（ ）
A AB B CB C DC D AD
5、已知集合A=｛x| -x-2＜0｝,B=｛x|-1＜x＜1｝,则（）
A A B B B A C A=B D A∩B=
6、已知集合M=｛0，1,2,3,4｝， N=｛1,3,5｝,P= M∩N,则P的子集共有（）
A 2个 B 4个 C 6个 D 8个
7、设集合M=｛1,2｝, N=｛｝,则 “a=1”是“N M”的（）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
8、设集合A=｛(x,y)| =1｝, B=｛(x,y)|y=3｝,则 A∩B的子集的个数是（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
9、已知全集U=R，则正确表示集合M=｛-1,0,1｝和 N=｛x|+x=0｝关系的韦恩氏图是（ ）
A B C D
10、满足M ｛｝,且M∩｛｝=｛｝的集合M的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
『思考问题2』
（1）【典例2】是集合与集合之间的关系问题，解答这类问题需要理解子集，真子集和集合相等的定义，掌握子集，真子集和集合相等的性质。
（2）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，则称集合A是集合B的子集，
子集用符合“”表示，读作包含于，或符号“”表示，读作包含；
（2）子集的性质有：①空集是任何集合的子集；②任何集合是它自身的子集；③子集具有传递性；④含有n个元素的集合有个子集；
（3）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，且存在B，但A，则称集合A是集合B的真子集，真子集用符合“”表示，读作真包含于，或符号“”表示，读真包含；
（4）真子集的性质有：①空集是任何非空集合的真子集；②真子集具有传递性；③ 含有n个元素的集合的真子集个数为（-1）个；
（5）设A、B是两个集合，如果AB，且BA，则称集合A与集合B相等，表示为A=B。
〔练习2〕解答下列问题：
已知集合A=｛1，a｝,B=｛1，2，3｝,则“a=3”是“A B”的（）
A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
2、集合｛-1，0,1｝共有 个子集。
3、若集合A=｛1,2,3｝,B=｛1,3,4｝,则A∩B的子集个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 16
4、已知集合A=｛x|-3x+2=0,xR｝，B=｛x|0＜x＜5,xN｝，则满足条件ACB的集合C的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【典例3】解答下列问题：
1、设集合A={x|-1A { 0，1} B {x|-12、设集合A={-2，-1，0，1，2，3}， B={x|0x<}，则AB=（ ）（2022全国高考甲卷）
A {0，1,2} B {-2，-1，0} C {0,1} D {1,2}
3、若集合M={x|<4}，N={x|3x1}，则MN=（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A｛x|0≤x<2} B｛x|≤x<2｝ C｛x|3≤x<16｝ D ｛x|≤x<16｝
4、已知集合A={-1，1，2，4}，B={x||x-1|≤1}，则AB=（） （2022全国高考新高考II卷）
A {-1，2} B {1，2} C {1，4} D{-1，4}
5、设全集U={x|x<9}，集合A={3，4，5，6}，则A =（ ）（成都市2019级高三零诊）
A { 1，2，3，8} B {1，2，7，8 } C {0，1，2，7 } D {0，1，2，7，8 }
6、设集合A={x|-x>0}，B={x| 1 }，则A B=（ ）（成都市2019级高三一诊）
A （- ，1） B （- 1，1） C （1，+） D [1，+）
7、设集合A={x|x<3}, 若集合B满足AB={1，2，3},则满足条件的集合B的个数为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 1 B 2 C 3 D 4
8、设集合A={x||x|<2},B={x|+3x<0}，则AB=（ ）（成都市2019级高三三珍）
A （-2，3） B （-2，0） C （0，2） D （2，3）
9、设集合M=｛1，3，5，7，9｝，N=｛x|2x>7｝，则M∩N=（ ）（2021全国高考甲卷）
A ｛7，9｝ B ｛5，7，9｝ C ｛3，5，7，9｝ D ｛1，3，5，7，9｝
10、已知全集U=｛1，2，3，4，5｝，M=｛1，2｝,N=｛3，4｝,则（M∪N）=（ ）（2021全国高考乙卷）
A ｛5｝ B ｛1，2｝ C ｛3，4｝ D ｛1，2，3，4｝
11、设集合A={x|-2A ｛2｝ B ｛2，3｝ C ｛3，4｝ D ｛2，3，4｝
12、设全集U={1，2，3，4，5，6 }，集合A={1，3，6}，B={2，3，4}，则A（B）=（ ）（2021全国高考新高考II卷）
A ｛3｝ B ｛1，6｝ C ｛5，6｝ D ｛1，3｝
13、设集合A={x|0A {x|014、设集合A={x|-3x-4＜0}，B={x||x-1|＜3，x N}，则A B=（ ）（成都市2021高三一诊 ）
A {1，2，3} B {0，1，2，3} C {x|-1＜x＜4} D {x|-2＜x＜4}
15、设集合A={x|lgx<1}, B={x|x>3},则AB=（ ）（成都市2021高三二诊 ）
A (0，+ ) B (3，10) C (-，+ ) D (3，+ )
16、设全集U=R，集合A={x|x>3},B={x|x<4}，则（A）B=（ ）（成都市2021高三三诊 ）
A {x|x<3} B {x|x3} C {x|x<4} D {x|x4}
17、设集合A={x|1x3}，B={x|2A {x|218、已知集合A={x|-3x-4<0}，B={-4，1，3，5},则AB=（ ）（2020全国高考新课标I卷）
A {-4，1} B {1，5} C {3，5} D {1，3}
19、已知集合A={x||x|＜3，xZ},B={x||x|>1，xZ },则A B=（ ）（2020全国高考新课标II卷）
A B {-3，-2，2，3} C {-2，0，2} D {-2，2}
20、已知集合A={1，2，3，4}，B={x|-x-6<0}，则AB=（ ）（成都市2020高三零诊 ）
A {2} B {1，2} C {2，3} D {1，2，3}
21、设全集U=R，集合M={x|x＜1},N={x|x>2},则（M）∩N=（ ）（成都市2020高三二诊 ）
A ｛x|x＞2} B ｛x|x1｝ C ｛x|1『思考问题3』
【典例3】是集合运算的问题，集合的运算主要包括：①集合的并集；②集合的交集；③集合的补集；
设A，B是两个集合，由集合A，B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，用符号∪表示，读作并；
并集有如下性质：①任何集合与空集的并集等于这个集合本身；②任何集合与它自身的并集等于这个集合本身；③两个集合的并集具有交换性；④若A B，则A∪B=B；
设A，B是两个集合，由A，B的公共元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，用符号表示，读作交；
交集有如下性质：①任何集合与空集的交集等于空集；②任何集合与自身的交集等于它本身；③两个集合的交集具有交换性；④若A B，则A∩B=A；
研究对象的所有元素构成的集合，称为全集，一般用符号U表示；
设U为全集，A为集合，由属于集合U但不属于集合A的所有元素构成的集合，称为集合A在全集U下的补集，用符号A表示，读作集合A在全集U下的补集；
补集有如下性质：①任何集合与补集的并集等于全集；②任何集合与补集的交集等于空集；③两个集合并集的补集等于这两个集合补集的交集；④两个集合交集的补集等于这两个集合补集的并集；
（9）在进行集合运算时，如果集合是用描述法表示的应该先把集合进行化简，再进行运算；（10）如果集合涉及到不等式的解集，在进行集合的运算时应该借助于数学工具数轴来进行；（11）如果集合涉及到函数，在进行集合的运算时应该借助于函数的图像来进行，这样可以使问题更直观更简便。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知集合A=｛x| x＞-2｝，B=｛x| x 1｝，则A∪B=（ ）
A ｛x|x＞-2} B｛x|-2＜x≤1｝ C｛x|x≤-2｝ D｛x|x1｝
设集合P={-2，-1,0,1,2}，Q={x|2+x-＞0},则P∩Q=（ ）
A ｛-1，0｝ B ｛0，1｝ C ｛-1，0，1｝ D ｛0，1，2｝
设集合U=｛1，2，3，4，5，6｝，A=｛1，2，3｝,则A=（ ）
A ｛1，2，3｝ B ｛4，5，6｝ C ｛1，2｝ D ｛5，6｝
设全集U=R，集合A={x|-1＜x＜3},B={x|x≤-2或x1},则A∩（B）=（ ）
A ｛x|-1＜x＜1} B｛x|-2＜x＜3｝ C｛x|-2≤x＜3｝ D｛x|x≤x-2或x＞-1｝
设全集U={xZ |(x+1)(x-3)≤0}，集合A={0，1，2}，则A=（ ）
A ｛-1，3｝ B ｛-1，0｝ C ｛0，3｝ D ｛-1，0，3｝
已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|1}，则AB=（ ）
A {-1，0，1} B {0，1} C {-1，1} D {0，1，2}
已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，则B（A）=（ ）
A {1，6} B {1，7} C {6，7} D {1，6，7}
集合A={x|x>-1}，B={x|x＜2}，则AB=（ ）
A (-1，+) B (-，2) C (-1，2) D
已知集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|x>1}，则AB=（ ）
A (-1，1) B (1，2) C (-1，+) D (1，+)
10、已知集合A={-1，2，3，4}，B={-1，0，2}，则AB=
11、已知集合A=｛0，2｝,B=｛-2，-1，0，1，2｝，则A∩B=（ ）
A ｛0，2｝ B ｛1，2｝ C ｛0｝ D ｛-2，-1，0，1，2｝
已知集合A=｛1，3，5，7｝,B=｛2，3，4，5｝，则A∩B=（ ）
A ｛3｝ B ｛5｝ C ｛3，5｝ D ｛2，3，4，5，7｝
13、已知集合A=｛x|x-10｝,B=｛0，1，2｝，则A∩B=（ ）
A ｛0｝ B ｛1｝ C ｛1，2｝ D ｛0，1，2｝
14、已知集合A=｛x|x＜2｝,B=｛-2，0，1，2｝，则A∩B=（ ）
A ｛0，1｝ B ｛-2，0，1｝ C ｛-2，0，1，2｝ D ｛-1，0，1，2｝
15、已知集合A=｛0，1，2，8｝,B=｛-1，1，6，8｝，则A∩B=
16、设集合P=｛x|0＜x＜2｝，Q=｛x|-1＜x＜1｝，则P∩Q=（ ）
A ｛x|x＜1｝ B ｛x|0＜x＜1｝ C ｛x|-1＜x＜1｝ D ｛0｝
17、设集合P=｛x||x-1|＜1｝，Q=｛x|-1＜x＜2｝，则P∩Q=（ ）
A (-1，） B （-1，2) C （1，2） D （0，2）
18、设全集U=R，集合A=｛x|x≤-2｝,B=｛x|x-1｝，则（A∪B）=（ ）
A (-2，-1) B ［-2，-1］ C （-，-2］∪［-1，+) D （-2，1)
19、设集合A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|x1｝，若A∩B=（ ）
A (-1，1］ B ［1，3) C ［-1，3］ D （-1，+)
【典例4】解答下列问题：
1、若对任意xA，A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ；
2、设A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是A的一个“酷元”。给定S=｛x∈N|y=lg(36-)｝,设MS，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（ ）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
3、在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,
K=0,1,2,3,4给出如下四个结论：（1）2011〔1〕；（2）-3〔3〕；（3）Z=〔0〕∪〔1〕∪〔2〕∪〔3〕∪〔4〕；（4）“整数a，b属于同一“类“的充要条件是a-b〔0〕”其中正确结论的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
4、已知集合A=｛（x，y）|+≤1，x，yZ｝，B=｛(x,y)||x|≤2,|y|≤2，x，yZ｝，
定义集合A B=｛（+，+）|（，）A，（， ）B｝，则AB中元素的个数为（ ）
A 77 B 49 C 45 D 30
『思考问题4』
（1）【典例4】是集合新概念的问题，它属于信息迁移类问题，是化归思想的具体运用，也是近几年的高考热点问题；它的结构特点是通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情景下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向，常见的类型有：①定义新概念；②定义新公式；③定义新运算；④定义新法则；
（2）解答这类问题的基本思路是：①理解问题中新概念，新公式，新运算，新法则；②利用学过的数学知识进行逻辑推理；③对选项进行筛选，验证，得出结论。
〔练习4〕按要求解答下列各题：
1、设集合P=｛0，2,5｝，Q=｛1,2,6｝定义集合P+Q=｛a+b|a∈P,b∈Q｝,则集合P+Q中元素的个数是（）
A 9 B 8 C 7 D 6
2、设集合P=｛1,2,3｝,Q=｛0,2,4｝,定义集合P×Q=｛a.b|aP,bQ｝,则集合P×Q中的元素的个数是（ ）
A 9 B 8 C 7 D 6
第一讲 集合及其运算
【考纲解读】
理解集合，子集，并集，交集和补集的定义；
了解全集，空集的定义和属于，包含，相等的意义；
掌握表示集合和集合运算的基本方法，能够熟练地表示集合和进行集合的运算。
【知识精讲】
集合的概念：
1、集合的定义：具有某种特性的所有对象构成的整体，叫做集合，简称集。
2、集合的表示：（1）用一个大写的拉丁字母表示，例如A，B，C，---------；
(2)用集合的所有对象加上大括号表示，例如{1，2，3}，②{x|03、常用的数集及其表示：（1）自然数集N ；（2）正整数集 或；（3）整数集Z；（4）有理数集Q；（5）实数集R。
4、集合的元素：
（1）集合元素的定义：集合中的每一个对象，叫做集合的元素。
（2）元素与集合的关系：
①元素是集合中的的元素，称为元素属于集合，用符号“”’表示，读作“属于” ，例如2与N，3、与Q可以表示为2N，3，Q；
②元素不是集合中的的元素，称为元素不属于集合，用符号“”表示，读作“不属于” ，例如-2与N，2.132412576…….与Q可以表示为-2N，2.13241257--------Q。
(3)元素的特性：
元素具有确定性，互异性和无序性。
5、集合的分类：
（1）空集的定义：没有元素的集合，称为空集；
（2）空集的表示：用符号“”表示空集；
（3）空集与数0的关系：①联系：空集与数0都表示没有；②区别：0是一个数，是一个集合；
（4）有限集合的定义：元素的个数是有限的集合，叫做有限集合；
（5）无限集合的定义：元素个数是无限的集合，叫做无限集合；
（6）集合的分类：集合按元素的多少可以分为有限集合和无限集合。
二、表示集合的基本方法：
1、列举法：
列举法的定义：把集合中的元素全部列举出来的表示方法，叫做列举法；
2、描述法：
（1）描述法的定义：把集合中的元素的共有特征描述出来的表示方法，叫做描述法；
3、韦恩氏图法：
（1）韦恩氏图法的定义：把集合中的元素全部放在一个封闭的曲线内的表示方法，叫做韦恩氏图法；
三、集合与集合的关系：
1、子集：
（1）子集的定义：设A，B是两个非空集合，如果对任意的xA,都有x B,那么称集合A是集合B的子集 ；也可以说成集合A包含于集合B,或集合B包含集合A；
（2）子集的表示：用符号“”表示子集，读作“包含于”，例如AB；
规定：空集是任何集合的子集，即对任意的集合A，都有A；
（3）子集的性质：子集有如下性质：① 空集是任何集合的子集；②任何集合是它自身的子集；③子集具有传递性，即若AB，BC，则AC；④含有n个元素的集合它的子集个数为个。
2、真子集：
（1）真子集的定义：设A，B是两个非空集合，如果对任意的xA,都有x B，且存在B,但A，那么称集合A是集合B的真子集；也可以说成集合A真包含于集合B，或集合B真包含集合A；
（2）真子集的表示：用符号“”表示真子集，读作“真包含于”，例如AB；
(3)真子集的性质：真子集具有如下性质：①空集是任何非空集合的真子集；②子集具有传递性，即若AB，BC，则AC；③含有n个元素的集合它的真子集个数为（-1）个；
(4)真子集与子集的关系：①真子集一定是子集；②子集不一定是真子集。
3、 集合与集合相等：
（1） 两个集合相等的定义：如果集合A，B满足：AB,且BA,则称集合A与集合B相等；
2、两个集合相等的表示：用符号“=”表示集合与集合的相等关系，集合A=集合B。
四、集合的运算：
（一）并集：
1、并集的定义：由集合A和集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集；
2、并集的表示：用符号“∪”表示，读作“并”，例如集合A与集合B的并集可以表示成A∪B,也可以表示成B∪A；
3、并集的图示：
①A∪B ②A∪B ③A∪B=B
4、并集的性质：并集具有如下性质：①任何集合与空集的并集等于它自身；②任何集合与它本身的并集等于它自身；③并集具有交换性，即A∪B=B∪A；④若AB,则A∪B=B。
（二）交集：
1、交集的定义：由集合A和集合B的公共元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集；
2、交集的表示：用符号“”表示，读作“交”，例如集合A与集合B的交集可以表示成AB,
也可以表示成BA；
3、交集的图示：
A∩B= A∩B=C A∩B=A
4、交集的性质：交集具有如下性质：①任何集合与空集的交集等于空集；②任何集合与本身的交集等于它自身；③交集具有交换性，即 A∩B=BA；④若AB,则AB=A。
（三）补集：
1、全集的定义：包含研究问题的所有对象的集合，叫做全集；
2、全集的表示：用符号“U”表示；
3、补集的定义：由属于集合全集，但不属于集合A的元素构成的集合，称为集合A在全集U下的补集；
4、补集的表示：用符号“”表示，读作“补”，例如集合A在全集U下的补集表示为A；
5、补集的图示：
A
补集的性质：补集具有如下性质：①任何集合与它补集的并集等于全集；②任何集合与它补集的交集等于空集；③两个集合的并集的补集等于这两个集合补集的交集，即（A∪B）=（A）（B）；④ 两个集合的交集的补集等于这两个集合补集的并集，即（AB）=（A）∪（B）。
【探导考点】
考点1集合定义及表示:热点①，集合元素定义，元素与集合的关系及表示；热点②，表示集合的基本方法；
考点2集合与集合之间的关系：热点①，集合与集合之间的包含关系；热点②，集合与集合之间的相等关系；
考点3集合的运算：热点①，并集定义和运算的基本方法；热点②，交集定义和运算的基本方法；热点③，全集，补集定义和补集的运算的基本方法。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知集合A=｛a+2，(a+1)，+3a+3｝，若1A，则由实数a构成的集合B的元素个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【知识点】①集合的定义与性质；②集合元素的定义与性质；③元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据1A，得到 a+2=1或=1或+3a+3=1，分别求解这三个方程求出 a=-1或a=0或a=-2，运用集合元素的特征分别验证a=-1或a=0或a=-2是否符合题意，从而得出实数a可能的取值，确定由实数a构成的集合B的元素个数就可得出选项。
【详细解答】1A，a+2=1或=1或+3a+3=1，a=-1或a=0或a=-2，①
当a=-2时，a+2=-2+2=0, ==1，+3a+3=+3（-2）+3=4-6+3=1a=-2不符合；②当a=-1时，a+2=-1+2=1, = =0，+3a+3=+3（-1）+3=1-3+3=1a=-1不符合；③当a=0时，a+2=0+2=2, = =1，+3a+3=+30
+3=0+0+3=3a=0符合；集合B中只有一个元素0，B正确，选B。
2、给出下列各项式：①R；② Q；③|-3|；④|-|N。其中正确的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①元素的定义与性质；②元素与集合的关系及表示；③无理数的定义与性质；④绝对值的定义与性质；⑤实数的定义与性质；⑥自然数的定义与性质。
【解题思路】根据实数，无理数，自然数，正整数，绝对值的性质对各项式子是正确，还是错误加以判断就可得出选项。
【详细解答】是实数，是无理数，|-3|=3是正整数，|-|=是无理数， ①正确，②正确，③错误，④错误，B正确，选B。
3、已知集合A={x|xZ，且Z }，则集合A中的元素个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【知识点】①元素的定义与性质；②元素与集合的关系及表示；③数整除性的定义与性质。
【解题思路】根据xZ，且Z 得到2-x= 1或3，从而求出符合问题条件x的可能取值，确定出集合A中的元素个数就可得出选项。
【详细解答】 xZ，且Z ，2-x= 1或3，由2-x=1x=1，由2-x=-1x=3，
由2-x=3x=-1，由2-x=-3x=5， A={x|xZ，且Z }={-1，1，3，5}；C正确，选C。
4、用列举法表示集合{x|-2x+1=0}为（ ）
A {1，1} B {1} C {x=1} D {-2x+1=0}
【解析】
【知识点】①列举法表示集合的基本方法；②求解一元二次方程的基本方法；③集合元素的定义与性质。
【解题思路】根据集合{x|-2x+1=0}可知集合的元素是一元二次方程-2x+1=0的实数根，求解方程求出方程的实数解，运用列举法表示集合的基本方法表示出集合就可得出选项。
【详细解答】集合{x|-2x+1=0}，可知集合的元素是一元二次方程-2x+1=0的实数根，由一元二次方程-2x+1=0解得：x=1，用列举法表示集合{x|-2x+1=0}为：{1} ，B正确， 选B。
5、由大于-3且小于11的偶数组成的集合是（ ）
A {x|-3＜x＜11，xQ} B {x|-3＜x＜11}
C {x|-3＜x＜11，x=2k，kN} D {x|-3＜x＜11，x=2k，kZ}
【解析】
【知识点】①描述法表示集合的基本方法；②偶数的定义与性质。
【解题思路】根据偶数的性质确定大于-3且小于11的偶数的共同特征，运用描述法表示集合的基本方法表示出由大于-3且小于11的偶数组成的集合就可得出选项。
【详细解答】大于-3且小于11的偶数的共同特征是：①比-3大，比11小，②是偶数， 用描述法表示该集合为：{x|-3＜x＜11，x=2k，k∈Z} ， D正确， 选D。
6、已知集合A={x|N ，xN }，则用列举法表示为 。
【解析】
【知识点】①列举法表示集合的基本方法；②自然数的定义与性质。
【解题思路】根据自然数的性质，结合问题条件求出满足问题条件的x的所有可能的取值，运用列举法表示集合的基本方法就可得到所求集合A。
【详细解答】集合A={x|N ，xN }，5-x=1或2或3或4或6或12，x=4
7、若集合A={xR |a-3x+2=0}中只有一个元素，则a= 。
【解析】
【知识点】①元素的定义与性质；②元素与集合的关系及表示；③参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据集合A={xR |a-3x+2=0}中只有一个元素，得到方程a-3x+2=0只有一个（或两个相同）根，运用参数分类讨论的原则和基本方法，对参数a可能的取值分别求出参数a的值就可求出参数a的值。
【详细解答】集合A={xR |a-3x+2=0}中只有一个元素， 方程a-3x+2=0只有一个（或两个相同）根，①当a=0时，a-3x+2=0 -3x+2=0，x= ，符合题意；②当a0时，a-3x+2=0 有两个相等的实数根， = -8a=0，a= ，综上所述，若集合A={xR |a-3x+2=0}中只有一个元素，则a=0或a= 。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与集合定义及表示相关的问题，解答这类问题需要理解集合元素，列举法和描述法的定义，元素与集合的关系及表示，掌握集合元素特性和列举法与描述法的基本方法；
（2）元素与集合的关系是：①元素属于集合；②元素不属于集合；注意符号“”或“”的理解与运用；
（3）确定一个集合元素的基本方法是：①明确这个集合中的元素代表什么和元素的限制条件（定性）；②含有字母的集合，求出字母的值后，注意集合元素的互异性（定量）；
（4）列举法和描述法是表示集合常用的两种基本方法，对于具体问题应该明确它涉及到哪一种或哪几种集合表示法，再结合相关集合的表示法解答问题；
（5）面对描述法表示的集合时，一定要注意弄清楚集合的元素是什么，它表示的是怎样的一个集合；例如集合｛（x,y）|y=2x+1｝表示的是直线y=2x+1上的点集，集合｛x|y=2x+1｝表示的是函数y=2x+1的定义域，集合｛y|y=2x+1｝表示的是函数y=2x+1的值域。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设A=｛a｝，则下列各式正确的是（ ）（答案：C）
A 0A B aA C aA D a=A
2、已知A={x|x=3k-1，kZ}，则下列表示正确的是（ ）（答案：B）
A -1A B -11A C 3-1A D -34A
3、下列集合中，表示同一集合的是（ ）（答案：B）
A A={(3，2)}，B={(2，3)} B A={3，2}，B={2，3}
C A={(x，y)|x+y=1}，B={y|x+y=1} D A={1，2}，B={(1，2)}
4、下列命题中：（1）方程+|3y+3|=0的解集是｛,-1｝;(2)方程+x-6=0的解集是｛（-3,2）｝；（3）集合M=｛y|y=+1,x∈R｝与集合P=｛（x,y）|y=+1，x∈R｝表示同一集合；（4）方程组 x-y+3=0 的解集是｛（x,y）|x=1或y=2｝其中正确的命题的个数是
2x+y=0 （ ）（答案：A）
A 0个 B 2个 C 3个 D 4个
5、（1）设xR，集合A中含有三个元素3，x，-2x，求元素x应满足的条件；
（2）若-2A，求实数x的值。（答案：（1）x0且x3；（2）x=-2。）
【典例2】解答下列问题：
1、设集合P是大于1且小于6的所有质数组成的集合，则集合P的子集的个数是（ ）
A 8个 B 7个 C 6个 D 4个
【解析】
【知识点】①质数定义与性质；②子集定义与性质。
【解题思路】根据质数和子集的性质，结合问题条件确定出集合P的元素，出而求出集合P子集的个数就可得出选项。
【详细解答】集合P是大于1且小于6的所有质数组成的集合， P={2，3，5}，
集合P的子集个数为8个，A正确，选A。
2、已知集合M=｛（x,y）|3x+4y-12＜0,x,y｝,则集合M的真子集的个数是（ ）
A 8个 B 7个 C 6个 D 4个
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②真子集的定义与性质。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和真子集的性质，结合问题条件确定出集合M的元素，出而求出集合M真子集的个数就可得出选项。
【详细解答】集合M=｛（x,y）|3x+4y-12＜0,x,y｝, 集合M的元素是平面直角坐标系内的点，点的坐标由3x+4y-12＜0,x,y确定，M={（1，1），（1，2），（2，1）}，集合A的真子集个数为7，B正确，选B。
3、已知集合A=｛x|1≤x＜5｝，集合C=｛x|-a＜x≤a+3｝,若C A，则a的取值范围为( )
A - ＜a≤-1 B a≤- C a≤-1 D a＞-
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质；③求解不等式组的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和子集的性质，结合问题条件得到关于a的不等式组，运用求解不等式组的基本方法，求解不等式组求出a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】集合A=｛x|1≤x＜5｝，集合C=｛x|-a＜x≤a+3｝,若C A，1≤-a①，a+3<5②，-a4、集合M={x|x=3k-2，kZ}，P={y|y=3n+1，,nZ }，S={z|z=6m+1，,mZ }之间的关系是（ ）
A SPM B S=PM C SP=M D P=M S
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和子集的性质，结合问题条件确定出结合S，P，M的关系就可得出选项。
【详细解答】集合M={x|x=3k-2，k+1，kZ}，，P={y|y=3n+1，,nZ }，S={z|z=6m+1，,m∈Z } SP=M ，C正确，选C。
5、下列集合为空集的是（ ）
A {x|+3=3} B {（x,y）|y=-，x，yR} C {x|-0} D {x|-x+1=0，xR}
【解析】
【知识点】①空集的定义与性质；②集合表示的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和空集的性质，结合问题条件对各选项是否是空集进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，{x|+3=3}={0}，A错误；对B，B {（x,y）|y=-，x，yR} 表示抛物线y=-上的点，不可能是空集，B错误；对C，{x|-0}={0}，
C错误，对D，{x|-x+1=0，xR}=，D正确， 选D。
6、下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A。其中正确的有（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
【解析】
【知识点】①空集定义与性质；②子集定义与性质；③真子集定义与性质。
【解题思路】根据空集，子集和真子集性质，结合问题条件对各说法的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集，①错误，②错误，③错误，④正确；B正确，选B。
7、已知{x|-x+a=0}，则实数a的取值范围是 。
【解析】
【知识点】①真子集定义与性质；②空集定义与性质；③集合表示的基本方法。
【解题思路】根据空集和真子集的性质，运用集合表示的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】{x|-x+a=0}，{x|-x+a=0}， =-4a0，
a，若知{x|-x+a=0}，则实数a的取值范围是（-，]。
8、已知集合M={（x，y）|x+y＜0,xy＞0},P={（x，y）|x＜0，y＜0}，则M，P的关系是 ；
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集定义与性质。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和子集的性质，结合问题条件就可确定出集合M，P的关系。
【详细解答】 M={（x，y）|x+y＜0,xy＞0}={（x，y）|x＜0，y＜0}，P={（x，y）|x＜0，y＜0}集合 P=M 。
『思考问题2』
（1）【典例2】是集合与集合的关系问题，解答这类问题需要理解子集，真子集，集合相等的定义，掌握子集，真子集和集合相等的性质；
（2）集合与集合的关系包括：①包含关系，包含关系中又涉及到子集和真子集两种情况，注意子集与真子集之间的关系；②相等关系，两个集合相等的充分必要条件是它们的元素完全一样，解答相关问题时要特别注意这个充分必要条件，同时还要注意集合元素的互异性和无序性；
（3）注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能性，尤其是问题中涉及到AB时，一定要注意分A=和A两种情况来考虑；
（4）对含有参变量的集合问题，应该对参变量的可能取值进行分类讨论，同时还应注意参数分类的原则和基本方法，作到分类合理，不重复不遗漏；
（5）空集是指没有元素的集合，它虽然没有元素，但它是一个集合，它的子集只有一个就是它本身，由此可以得出以空集为真子集的集合一定不是空集。
〔练习2〕解答下列问题：
1、设集合P是大于1且小于8的所有奇数组成的集合，则集合P的子集的个数是（）
A 8个 B 7个 C 6个 D 4个 （答案：A）
2、已知集合M=｛（x,y）|3x+4y-12＜0,x,y｝,则集合M的真子集的个数是（ ）
A 8个 B 7个 C 6个 D 4个 （答案：B）
3、集合A={1，3，x}，B={1，}，且BA，则满足条件的实数x的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4 （答案：C）
4、已知集合A={x|-x-2＜0},B={x|-1＜x＜1},则（ ）（答案：B）
A AB B BA C A=B D A∩B=
5、下列集合为空集的是（ ）（答案：D）
A {x|+1=1} B {（x,y）|y=，x，yR} C {x|-|x|0} D {x|-x+2=0，xR}）
6、已知{x|-ax+1=0}，则实数a的取值范围是 。（答案：实数a的取值范围是（-，-2][2，+））
【典例3】解答下列问题：
1、已知集合A={1，3，}，B={1，m}, A∪B=A,则m=（ ）
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
【解析】
【知识点】①并集定义与性质；②集合表示的基本方法；③并集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和并集的性质，运用并集运算的基本方法，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可得出选项。
【详细解答】集合A={1，3，}，B={1，m}, A∪B=A，m=3或m=，当m=时，m=0或m=1，由m1得m=0，m=3或m=0，B正确，选B。
2、已知集合P={x|≤1},M={a}，P∪M=P，则实数a的取值范围是（ ）
A （- ，-1］ B ［1，+ ） C ［-1,1］ D （- ，-1］∪［1，+ ）
【解析】
【知识点】①并集定义与性质；②集合表示的基本方法；③并集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和并集的性质，运用并集运算的基本方法，结合问题条件求出a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】集合P={x|≤1}=｛x|-1≤x≤1｝,M={a}，P∪M=P，aP，-1≤a≤1，C正确，选C。
3、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0，1，3，5，8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则（A）∩（B）=（ ）
A ｛5,8｝ B ｛7，9｝ C ｛0，1，3｝ D ｛2，4,6｝
【解析】
【知识点】①全集定义与性质；②补集定义与性质；③集合表示的基本方法；④补集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，全集和补集的性质，运用补集运算的基本方法，结合问题条件求出（A）∩（B）就可得出选项。
【详细解答】集合U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，A=｛0，1，3，5，8｝，B=｛2,4,5,6,8｝，A=｛2，4，7，9｝，B=｛0，1，3，7，9｝，（A）∩（B）={7，9}，
B正确，选B。
4、设集合U={1，2，3，4}，M={x∈U|-5x+p=0}，若M={2，3}，则实数p的值为（ ）
A -4 B 4 C -6 D 6
【解析】
【知识点】①全集的定义与性质；②补集的定义与性质；③集合表示的基本方法；④一元二次方程根与系数的关系定理；⑤补集运算的基本方法，
【解题思路】根据集合表示的基本方法，全集和补集的性质，运用补集运算的基本方法和一元二次方程根与系数的关系，结合问题条件求出p的值就可得出选项。
【详细解答】集合U={1，2，3，4}，M={x∈U|-5x+p=0}，M={2，3},M =｛1，4｝, 实数p=14=4，B正确，选B。
5、若集合A=｛x|2x+1＞0｝,B=｛x||x-1|＜2｝,则A∩B= ；
【解析】
【知识点】①交集的定义与性质；②集合表示的基本方法；③交集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用交集运算的基本方法，结合问题条件就可求出AB。
【详细解答】集合A=｛x|2x+1＞0｝=｛x|x＞-｝,B=｛x||x-1|＜2｝=｛x|-1＜x＜3｝, AB={x| -＜x＜3}。
6、已知集合A=｛x∈R||x+2|＜3｝,B=｛x∈R|(x-m)(x-2)＜0｝,且A∩B=(-1,n),则m=
,n= 。
【解析】
【知识点】①交集的定义与性质；②集合表示的基本方法；③交集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用交集运算的基本方法，结合问题条件就可求出m，n的值。
【详细解答】集合A=｛x∈R||x+2|＜3｝=｛x|-5＜x＜1｝, ,B=｛x∈R|(x-m)(x-2)＜0｝
=｛x|m＜x＜2｝（m<2）或｛x|2＜x＜m｝(m>2)，A∩B=(-1,n), m=-1，n=1。
『思考问题3』
（1）【典例3】是集合运算的问题，解答这类问题需要理解并集，交集，全集和补集的定义，掌握并集，交集，补集的性质和运算的基本方法；
（2）在进行集合运算时，若问题中的集合是用描述法表示的，应该先把集合化简为列举法表示的集合，再进行运算会使问题更简捷；
（3）在集合运算过程中，应注意数轴，韦恩氏图，图像的运用，这样可使问题更直观，形象，便于理解和掌握。
〔练习3〕解答下列问题：
1、满足{1，2}∪A={1，2，3}的所有集合A的个数是（ ）（答案：D）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2、已知集合A={1，2，}，B={1，m}, A∪B=A,则m=（ ）（答案：B）
A 0或 B 0或2 C 1或 D 1或2
3、设集合A={1，2，4，8}，B={x|x是2的倍数}，则A∩B=（ ）（答案：C）
A {2，4} B {1，2，4} C {2，4，8} D {1，2，8}
4、已知集合M={y|y=},N={y|+=2},则M∩N=（ ）（答案：A）
A {（1，1），,（-1，1）} B {1} C {y|0≤y≤1} D { y|0≤y≤}
5、设全集U=｛1，2，3，4，5｝，M=｛1，4｝，N={1，3，5}，则N∩（M）=（）
A ｛1,3｝ B ｛1，5｝ C ｛3，5｝ D ｛4,5｝ （答案：C）
6、设集合U={1，2，3，4}，M={x∈U|-5x+p=0}，若M={1，4}，则实数p的值为（ ）
A -4 B 4 C -6 D 6 （答案：D）
【追踪考试】
【典例1】解答下列问题：
1、集合M={2，4，6，8，10}，N={x|-1A {2，4} B {2，4，6} C {2,4，6，8} D {2,4，6，8，10}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用求两个已知集合交集的基本方法，结合问题条件求出MN就可得出选项。
【详细解答】 M={2，4,6，8，10}， N={x|-12、已知集合A={1，2，3，5，7，11 },B={x|3A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②交集定义与性质；③求两个已知集合交集运算的基本方法；④集合元素定义与性质。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法求出AB，从而确定出A B中元素的个数就可得出选项。
【详细解答】集合A={1，2，3，5，7，11 },B={x|33、已知集合A={-1，0，m}，B={1，2}，若AB={-1，0，1，2}，则实数m的值为（ ）（成都市2020高三一诊 ）
A -1或0 B 0或1 C -1或2 D 1或2
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②并集的定义与性质；③求两个已知集合并集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合的表示法，运用求两个已知集合并集运算的基本方法，结合问题条件求出m的值就可得出结果。
【详细解答】AB={-1，0，1，2}，m=1或2，D正确，选D。
4、已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛2，4，6，8｝，则A∩B中元素的个数为（ ）（2017全国高考新课标III卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③求两个已知集合集合运算的基本方法；④集合元素定义与性质。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法方法，求出A∩B，利用元素的性质确定出A∩B中元素的个数就可得出选项。
【详细解答】集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛2，4，6，8｝，A∩B={2，4}，即A∩B中元素的个数为2个，B正确，选B。
5、已知集合A=｛1，2｝，B=｛a，+3｝，若A∩B=｛1｝，则实数a的值为 （2017全国高考江苏卷）
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③集合运算的基本方法；④方程定义与性质；⑤求解方程的基本解法。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法得到1B，从而得到关于a的方程，利用求解方程的基本方法就可求出a的值。
【详细解答】集合A=｛1，2｝，B=｛a，+3｝，且 A∩B=｛1｝，1B， +3 3，
a=1。
5、设集合A=｛x|1≤x≤5｝，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）（2016全国高考四川卷）
A 6 B 5 C 4 D 3
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③集合运算的基本方法；④集合元素定义与性质。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法，求出A∩Z，利用元素的性质确定出A∩Z中元素的个数就可得出选项。
【详细解答】 A=｛x|1≤x≤5｝，Z为整数集，A∩Z={1，2，3，4，5}，即A∩Z中元素的个数为5个，B正确，选B。
6、设集合A=｛1,2,3｝，B=｛4,5｝，M=｛x|x=a+b,a A,b B｝,则M中元素的个数为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②集合元素定义与性质。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和集合元素的性质，求出集合M，确定出集合M中元素的个数就可得出选项。
【详细解答】1+4=5，1+5=6，2+4=6，2+5=7，3+4=7，3+5=8， M=｛x|x=a+b,a A,b B｝={5，6，7，8}，B正确，选B。
7、若集合A=｛xR|a+ax+1=0｝中只有一个元素，则a=（ ）
A 4 B 2 C 0 D 0或4
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②元素定义与性质；③参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和方程的性质，运用求解方程的基本方法和参数分类讨论的原则与基本方法，分情况分别求出a的值就可得出选项。
【详细解答】集合A=｛xR|a+ax+1=0｝中只有一个元素，方程a+ax+1=0只有一个根，①当a=0时，a+ax+1=0 1=0，显然等式不成立，此时无解；②当a0时，方程a+ax+1=0只有一个根，=-4a=0， a=0或a=4， a0， a=4，综上所述，当集合A=｛xR|a+ax+1=0｝中只有一个元素时，a=4，A正确，选A。
8、设常数aR，集合A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝,B=｛x |x≥a-1｝,若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A （-∞，2) B （-∞，2〕 C （2，+∞） D 〔2,+∞）
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②并集定义与性质；③集合运算的基本方法；④不等式定义与性质；⑤求解不等式的基本方法；⑥参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和并集的性质，运用集合运算的基本方法方法，结合问题条件，得到关于参数a的不等式，利用参数分类原则与基本方法和求解不等式的基本方法分别求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】①当a>1时，如图， A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝
=｛x|x 1或x≥a｝, B=｛x |x≥a-1｝, A∪B=R， 0 a-1 1 a
a-11，1≥0｝= R, B=｛x |x≥a-1｝, A∪B=R显然成立；③当a<1 a-1 a 0 1
时，如图 A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝= A=｛x|x a或x≥1｝, B=｛x |x≥a-1｝, A∪B=R显然成立，综上所述，当A∪B=R时，实数a的取值范围是 a2，B正确，选B。
9、已知集合A=｛1,3，｝，B=｛1，m｝，A∪B=A，则m=（ ）
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②并集定义与性质；③集合运算的基本方法；④集合与集合的关系。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和并集的性质，运用集合运算的基本方法和集合与集合之间的关系，得到集合B是集合A的子集，从而得到m=3或m=，求解方程求出m的值就可得出选项。
【详细解答】 A=｛1,3，｝，B=｛1，m｝，A∪B=A，BA，mA， m=3或m=，即 m=3或m=0，B正确，选B。
10、集合A=｛xR||x-2|≤5｝中的最小整数为 ；
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②求解绝对值不等式的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和求解绝对值不等式的基本方法，结合问题条件求出集合A，就可得出集合A中的最小整数。
【详细解答】 A=｛xR||x-2|≤5｝=｛xR|-3≤x≤7｝，集合A中的最小整数是-3。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与集合元素和元素与集合关系相关的问题，解答这类问题需要理解集合元素的定义，掌握元素与集合之间的关系及其表示，注意集合中元素的性质；
（2）集合中的每一个个体，称为集合的元素；元素与集合的关系有两种：①元素是集合中的元素称为元素属于集合，用符号“”表示；②元素不是集合中的元素称为元素不属于集合，用符号“”表示；
（3）确定集合中的元素或集合中元素的个数时，应该先求出符合条件的集合，在求符合某些条件的集合时，需要特别注意集合元素的互异性；
（4）集合元素的性质有：①确定性，即一个集合的元素是确定的；②互异性，即一个集合中元素与元素之间不能完全相同；③无序性，即一个集合中元素与元素之间没有先后顺序。
（5）对含有参数的集合问题，应该对参数的可能取值进行分类讨论，需要注意参数分类的原则和基本方法，作到分类合理，不重复不遗漏。
（6）解决集合问题中参数问题的基本方法是：①确定集合元素的属性，它表示的是一个怎样的集合（定性），②结合问题的条件进行分析，实施解答（定量）；
（7）注意空集的特殊性，在解答具体问题时，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能性，尤其问题中涉及到A∩B=时，一定要分A或B=和A或B两种情况来考虑。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知集合A=｛1,2,3｝，B=｛2，4，5｝，则集合A∪B中元素的个数为 。（答案：集合A∪B中元素的个数为5个。）
2、已知互异的复数a，b满足ab0，集合｛a，b｝ = ｛，｝，则a+b= 。（答案：a+b=1。）
3、若集合｛a，b，c，d｝=｛1，2,3,4｝ ，且下列四个关系：①a=1 ；②b1；③c=2；
④d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组｛a，b，c，d｝的个数是 。（答案：符合条件的有序数组｛a，b，c，d｝的个数是6个。）
4、含有三个元素的集合可以表示为｛a,,1｝,也可以表示为｛,a+b,0｝.
求：的值。（答案：的值-1.）
5、设集合P=｛0，2,5｝，Q=｛1,2,6｝定义集合P+Q=｛a+b|aP,bQ｝,则集合P+Q中元素的个数是（）（答案：B）
A 9 B 8 C 7 D 6
6、已知集合P=｛x|≤1｝, M=｛a｝,若 P∪M=P, 则实数a的取值范围是（ ）（答案：C）
A (-∞,-1〕 B 〔1，+∞〕 C 〔-1，1〕 （-∞，-1〕∪〔1，+∞）
【典例2】解答下列问题：
1、已知集合A={0，z}，B={0，2，4}，若A B，则实数z的值为（ ）（成都市2020高三三诊 ）
A 0或2 B 0或4 C 2或4 D 0或2或4
【解析】
【考点】①集合元素的定义与性质；②子集的定义与性质；③集合表示的基本方法。
【解题思路】根据集合元素和子集的性质确定实数z可能的取值就可得出选项。
【详细解答】集合A={0，z}，B={0，2，4}，A B，实数z可能是2或4，C正确，
选C。
2、已知集合A=｛x| -3x-4<0｝，B=｛-4，1，3，5｝，则A∩B=（ ）
A ｛-4，1｝ B ｛1，5｝ C ｛3，5｝ D ｛1，3｝
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③求两个已知集合集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法求出A∩B就可得出选项。
【详细解答】 A=｛x| -3x-4<0｝=｛x|-1＜x＜4｝，B=｛-4，1，3，5｝， A∩B=｛1，3｝，D正确，选D。
3、已知集合A=｛x|-2x ＞0｝,B=｛x|-＜x＜｝,则（）
A A∩B= B A∪B=R C A B D B A
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②集合与集合的关系；③并集定义性质；④交集定义与性质；⑤集合运算的基本方法；⑥求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据集合的表示方法，交集和并集的性质，运用集合运算和求解不等式的基本方法，求出A∩B，A∪B，利用集合与集合的关系就可得出选项。
【详细解答】如图， A=｛x|-2x ＞0｝=｛x|x<0 - 0 1 2
或x ＞2｝，B=｛x|-＜x＜｝, A∪B=R，B正确，选B。
4、已知集合A=｛x|x是平行四边形｝，B=｛x|x是矩形｝，C=｛x|x是正方形｝，D=｛x|x是菱形｝，则（ ）
A AB B CB C DC D AD
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②集合与集合的关系；③平行四边形，菱形，矩形和正方形之间的关系。
【解题思路】根据集合的表示方法和平行四边形，菱形，矩形和正方形之间的关系，得到集合A，B，C，D之间的关系就可得出选项。
【详细解答】正方形是特殊的矩形，矩形是特殊的平行四边形，菱形是特殊的平行四边形，但不一定是矩形， CB ，B正确，选B。
5、已知集合A=｛x| -x-2＜0｝,B=｛x|-1＜x＜1｝,则（）
A A B B B A C A=B D A∩B=
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②集合与集合的关系；③求解不等式的基本方法；④交集定义与性质；⑤集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合的表示方法和求解不等式的基本方法，化简集合A，运用集合与集合的关系和集合运算的基本方法就可得出选项。
【详细解答】 A=｛x| -x-2＜0｝=｛x|-1＜x＜2｝,
B=｛x|-1＜x＜1｝ B A ，B正确，选B。 -1 0 1 2
6、已知集合M=｛0，1,2,3,4｝， N=｛1,3,5｝,P= M∩N,则P的子集共有（）
A 2个 B 4个 C 6个 D 8个
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②子集定义与性质；③交集定义与性质；④集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法求出集合P，利用子集的性质确定出集合P子集的个数就可得出选项。
【详细解答】集合M=｛0，1,2,3,4｝， N=｛1,3,5｝, P= M∩N={1，3},即集合P的子集有4个，B正确，选B。
7、设集合M=｛1,2｝, N=｛｝,则 “a=1”是“N M”的（）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②子集定义与性质；③充分条件，必要条件，充分必要条件定义与性质；④判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，子集和充分条件，必要条件，充分必要条件的性质，运用判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法对“a=1”是“N M”的条件进行判断就可得出选项。
【详细解答】当a=1时，N=｛｝={1}， N M，“a=1”是“N M”的充分条件，当 N M时，=1或=2，a=1或a=， “a=1”不是“N M”的必要条件，即“a=1”是“N M”的充分不必要条件，A正确，选A。
8、设集合A=｛(x,y)| =1｝, B=｛(x,y)|y=3｝,则 A∩B的子集的个数是（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③集合运算的基本方法；④子集定义与性质。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法方法，求出A∩B，利用子集的性质确定出集合A∩B的子集个数可得出选项。 y
【详细解答】如图， A=｛(x,y)| =1｝, y=3
B=｛(x,y)|y=3｝, A∩B={（，3），（- ， x
3）}，即集合 A∩B的子集个数为4个，A正确，选A。
9、已知全集U=R，则正确表示集合M=｛-1,0,1｝和 N=｛x|+x=0｝关系的韦恩氏图是（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②子集定义与性质；③韦恩氏图及运用。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，化简集合N，运用子集性质和韦恩氏图就可得出选项。
【详细解答】 N=｛x|+x=0｝={-1，0}，NM，MR，B正确，选B。
10、满足M ｛｝,且M∩｛｝=｛｝的集合M的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②子集定义与性质；③交集定义与性质；④集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法，得到集合M所有可能的集合就可得出选项。
【详细解答】 M ｛｝，M∩｛｝=｛｝，M=｛｝，或M={，}，即满足条件的集合M有2个，B正确，选B。
『思考问题2』
（1）【典例2】是集合与集合之间的关系问题，解答这类问题需要理解子集，真子集和集合相等的定义，掌握子集，真子集和集合相等的性质。
（2）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，则称集合A是集合B的子集，
子集用符合“”表示，读作包含于，或符号“”表示，读作包含；
（2）子集的性质有：①空集是任何集合的子集；②任何集合是它自身的子集；③子集具有传递性；④含有n个元素的集合有个子集；
（3）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，且存在B，但A，则称集合A是集合B的真子集，真子集用符合“”表示，读作真包含于，或符号“”表示，读真包含；
（4）真子集的性质有：①空集是任何非空集合的真子集；②真子集具有传递性；③ 含有n个元素的集合的真子集个数为（-1）个；
（5）设A、B是两个集合，如果AB，且BA，则称集合A与集合B相等，表示为A=B。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知集合A=｛1，a｝,B=｛1，2，3｝,则“a=3”是“A B”的（）（答案：A）
A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
2、集合｛-1，0,1｝共有 个子集（答案：集合｛-1，0,1｝共有8个子集。）
3、若集合A=｛1,2,3｝,B=｛1,3,4｝,则A∩B的子集个数为（ ）（答案：C）
A 2 B 3 C 4 D 16
4、已知集合A=｛x|-3x+2=0,xR｝，B=｛x|0＜x＜5,xN｝，则满足条件ACB的集合C的个数为（ ）（答案：D）
A 1 B 2 C 3 D 4
【典例3】解答下列问题：
1、设集合A={x|-1A { 0，1} B {x|-1【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③求交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用求交集的基本方法，结合问题条件通过运算求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-12、设集合A={-2，-1，0，1，2，3}， B={x|0x<}，则AB=（ ）（2022全国高考甲卷）
A {0，1,2} B {-2，-1，0} C {0,1} D {1,2}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用求两个已知集合交集的基本方法，结合问题条件求出AB就可得出选项。
【详细解答】 A={-2，-1,0，1，2}， B={x|0x<}， AB = {0，1，2}， A正确，选A。
3、若集合M={x|<4}，N={x|3x1}，则MN=（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A ｛x|0≤x<2} B ｛x|≤x<2｝ C ｛x|3≤x<16｝ D ｛x|≤x<16｝
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②交集定义与性质；③求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用求两个已知集合交集的基本方法求出M∩N就可得出选项。
【详细解答】集合M={x|<4}=｛x|0≤x<16}，N={x|3x1}={x|x}， MN
=｛x|≤x<16｝，D正确，选D。
4、已知集合A={-1，1，2，4}，B={x||x-1|≤1}，则AB=（） （2022全国高考新高考II卷）
A {-1，2} B {1，2} C {1，4} D {-1，4}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②交集定义与性质；③求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用求两个已知集合交集的基本方法求出A∩B就可得出选项。
【详细解答】集合A={-1，1，2，4}，B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}， AB={1，2},B正确，选B。
5、设全集U={x|x<9}，集合A={3，4，5，6}，则A =（ ）（成都市2019级高三零诊）
A { 1，2，3，8} B {1，2，7，8 } C {0，1，2，7 } D {0，1，2，7，8 }
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②全集定义与性质；③补集定义与性质；④求补集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，全集和补集的性质，运用求补集的基本方法，结合问题条件通过运算求出A就可得出选项。
【详细解答】集合 U={x|x<9}={1，2，3，4，5，6，7，8} ，集合A={3，4，5，6 }， A ={1， 2，7，8}，B正确，选B。
6、设集合A={x|-x>0}，B={x| 1 }，则A B=（ ）（成都市2019级高三一诊）
A （- ，1） B （- 1，1） C （1，+） D [1，+）
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②表示集合的基本方法；③求解一元二次不等式的基本方法；④指数函数定义与性质；⑤交集定义与性质；⑥求两个集合交集的基本方法。
【解题思路】根据表示集合的基本方法，指数函数的性质和求解一元二次不等式的基本方法将集合A，B化简，运用交集的性质和求两个集合交集的基本方法求出A B就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-x>0}={x|x＜0或x>1}，B={x| 1 }={x|x 0}，A B={x|x>1}，C正确，选C。
7、设集合A={x|x<3}, 若集合B满足AB={1，2，3},则满足条件的集合B的个数为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②并集定义与性质；③并集运算的基本方法；④子集定义与性质。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和并集的性质，运用并集运算的基本方法和子集的性质求出AB={1，2，3}时，可能的集合B就可得出选项。
【详细解答】 A={x|x<3}= {1，2 }, AB={1，2，3},集合B可能为{3}, {1，3},{2，3},{1，2，3}共4个, D正确，选D。
8、设集合A={x||x|<2},B={x|+3x<0}，则AB=（ ）（成都市2019级高三三珍）
A （-2，3） B （-2，0） C （0，2） D （2，3）
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②求解绝对值不等式的基本方法；③求解一元二次不等式的基本方法；④并集定义与性质；⑤求两个已知集合并集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示，求解绝对值不等式和一元二次不等式的基本方法，将集合A，B化简，运用并集的性质和求两个已知集合并集的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x||x|<2}={x|-29、设集合M=｛1，3，5，7，9｝，N=｛x|2x>7｝，则M∩N=（ ）（2021全国高考甲卷）
A ｛7，9｝ B ｛5，7，9｝ C ｛3，5，7，9｝ D ｛1，3，5，7，9｝
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②交集定义与性质；③交集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用交集运算的基本方法求出A∩B就可得出选项。
【详细解答】集合M=｛1，3，5，7，9｝，N=｛x|2x>7｝=｛x|x>｝，则M∩N=｛5，7，9｝，B正确，选B。
10、已知全集U=｛1，2，3，4，5｝，M=｛1，2｝,N=｛3，4｝,则（M∪N）=（ ）（2021全国高考乙卷）
A ｛5｝ B ｛1，2｝ C ｛3，4｝ D ｛1，2，3，4｝
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②全集定义与性质；③并集定义与性质；④补集定义与性质；⑤集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，全集，并集和补集的性质，运用集合运算的基本方法求出（M∪N）就可得出选项。
【详细解答】全集U=｛1，2，3，4，5｝，M=｛1，2｝,N=｛3，4｝, （M∪N）=｛5｝，A正确，选A。
11、设集合A={x|-2A ｛2｝ B ｛2，3｝ C ｛3，4｝ D ｛2，3，4｝
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②交集定义与性质；③交集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用交集运算的基本方法求出A∩B就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-212、设全集U={1，2，3，4，5，6 }，集合A={1，3，6}，B={2，3，4}，则A（B）=（ ）（2021全国高考新高考II卷）
A ｛3｝ B ｛1，6｝ C ｛5，6｝ D ｛1，3｝
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②交集定义与性质；③全集定义与性质；④补集定义与性质；⑤集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，交集，全集和补集的性质，运用集合运算的基本方法求出A（B）就可得出选项。
【详细解答】全集U={1，2，3，4，5，6 }，集合A={1，3，6}，B={2，3，4}， A（B）
=｛1，6｝，B正确，选B。
13、设集合A={x|0A {x|0【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②集合交集的定义与性质；③求两个集合交集的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，集合交集的性质和求两个集合交集的基本方法，结合问题条件通过运算求出AB就可得出选项。
【详细解答】 A={x|014、设集合A={x|-3x-4＜0}，B={x||x-1|＜3，x N}，则A B=（ ）（成都市2021高三一诊 ）
A {1，2，3} B {0，1，2，3} C {x|-1＜x＜4} D {x|-2＜x＜4}
【解析】
【考点】①集合的定义与性质；②表示集合的基本方法；③求解一元二次不等式的基本方法；④求解绝对值不等式的基本方法；⑤交集的定义与性质。
【解题思路】根据表示集合的基本方法，求解一元二次不等式和绝对值不等式的基本方法将集合A，B化简，运用交集的性质求出A B就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-3x-4＜0}={x|-1＜x＜4}，B={x||x-1|＜3，x N}= {0，1，2，3}，A B={0，1，2，3}，B正确，选B。
15、设集合A={x|lgx<1}, B={x|x>3},则AB=（ ）（成都市2021高三二诊 ）
A (0，+ ) B (3，10) C (-，+ ) D (3，+ )
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②对数的定义与性质；③并集的定义与性质；④并集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和对数的性质化简集合A，运用并集的性质和运算的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】 A={x|lgx<1}= {x|03}, AB={x|x>0},A正确，
选A。
16、设全集U=R，集合A={x|x>3},B={x|x<4}，则（A）B=（ ）（成都市2021高三三诊 ）
A {x|x<3} B {x|x3} C {x|x<4} D {x|x4}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②补集的定义与性质；③求已知集合在全集下补集的基本方法；④并集的定义与性质；⑤求两个已知集合并集的基本方法。
【解题思路】根据补集的性质和求已知集合在全集下补集的基本方法，结合问题条件求出结合A的补集，运用并集的性质和求两个已知集合并集的基本方法求出（A）B就可得出选项。
【详细解答】全集U=R，集合A={x|x>3}, A={x|x3}， B={x|x<4}，（A）B= {x|x<4}，C正确，选C。
17、设集合A={x|1x3}，B={x|2A {x|2【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②并集定义与性质；③集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和并集的性质，运用集合运算的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|1x3}，B={x|2C。
18、已知集合A={x|-3x-4<0}，B={-4，1，3，5},则AB=（ ）（2020全国高考新课标I卷）
A {-4，1} B {1，5} C {3，5} D {1，3}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②交集定义与性质；③集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-3x-4<0}={x|-119、已知集合A={x||x|＜3，xZ},B={x||x|>1，xZ },则A B=（ ）（2020全国高考新课标II卷）
A B {-3，-2，2，3} C {-2，0，2} D {-2，2}
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②交集定义与性质；③集合运算的基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x||x|<3，xZ }={-2，-1，0，1，2 }，
B={x||x|>1，xZ }={x|x<-1或x>1，xZ },AB= {-2，2} ，D正确，选D。
20、已知集合A={1，2，3，4}，B={x|-x-6<0}，则AB=（ ）（成都市2020高三零诊 ）
A {2} B {1，2} C {2，3} D {1，2，3}
【解析】
【考点】①集合的表示法；②一元二次不等式的定义与解法；③集合交集的定义与运算方法。
【解题思路】运用一元二次不等式的解法，结合问题条件化简集合B，利用几何交集运算的基本方法通过运算求出

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