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第二讲 函数的概念
【考纲解读】
理解函数，函数定义域，函数解析式，函数值域和函数最值的定义；
了解映射的定义；
掌握表示函数和求函数解析式，函数定义域，函数值域与最值的基本方法；
能够熟练地运用函数概念解决相关的数学问题。
【知识精讲】
函数的定义：
映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与它对应，则称这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B；
原像：在映射f：A→B中，集合A中的元素，称为映射的原像；
像：在映射f：A→B中，集合B中与原像对应的元素，称为映射的像；
一一映射：设A，B是两个非空集合，f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的像，且集合B中的每一个元素都有原像，那么称映射f：A→B是集合A到集合B的一一映射。
函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对任意的xA，在集合B中都有唯一确定的数y与它对应，则称这个映射f：A→B为函数，记作：y=f(x)，其中xA，yB；
（1）式子y=f(x)的意义：函数y等于在对应法则f下自变量x的对应值；
（2）函数的定义域：在映射f：A→B中，所有原像x（也称为自变量）组成的数集，称为函数y=f(x)的定义域；
（3）函数的值域：在映射f：A→B中，所有像y（也称为函数值）组成的数集，称为函数y=f(x)的值域（注意：函数的值域是数集B的子集）；
（4）函数的三要素：在函数y=f(x)中，定义域，对应法则和值域称为函数的三要素（注意：这三个要素中，核心是对应法则）；
（5）表示函数的基本方法：①解析法：把函数y用一个关于x的等式表示出来，这个式子称为函数的解析式，这种表示函数的方法称为解析法；②列表法：把函数y与自变量x之间的对应关系用表格表示出来的方法，称为列表法；③图像法：把函数y与自变量x之间的关系用图像表示出来的方法，称为图像法；
（6）判断两个函数是否相等的基本方法：如果两个函数的三要素一致，那么这两个函数相等，
对于一个函数来说，若定义域和对应法则确定了，则这个函数的值域也就确定了，因此在实际判断两个函数是否相等时，只需看两个函数的定义域和对应法则是不是一致就可以了。
函数与映射的关系：
相同点：①有两个非空的集合A，B；②有一个确定的对应法则f；③对集合A中的任意一个原像，通过对应法则f在集合B中都有唯一的像与它对应；
不同点：函数的两个非空的集合A，B只能是数集，映射的两个非空的集合A，B可以是数集，也可以是其他集合；
函数与映射的关系：函数一定是映射，但映射不一定是函数。
二、数集的区间表示：
1、有限区间：
（1）有限区间的定义：数轴上两点之间的区间，称为有限区间；
（2）有限区间的类型及其表示方法：设a，b是两个实数，且a＜b。
数 集 不等式表示 区间表示 数轴表示
｛x|a≤x≤b｝ a≤x≤b [a，b]
a 0 b
｛x|a＜x＜b｝ a＜x＜b (a，b)
a 0 b
｛x|a≤x＜b｝ a≤x＜b [a，b)
a 0 b
｛x|a＜x≤b｝ a＜x≤b (a，b]
a 0 b
2、无限区间：
（1）无限区间的定义：数轴上有一个端点（或没有端点）的区间，称为无限区间；
（2）无限区间的类型及其表示方法：设a，b是两个实数，且a＜b。
数 集 不等式表示 区间表示 数轴表示
｛x|a≤x｝ a≤x [a，+∞）
a 0
｛x|a＜x｝ a＜x (a，+∞） a 0
｛x|x≤b｝ x≤b (-∞，b] 0 b
｛x|x＜b｝ x＜b (-∞，b) 0 b
R -∞＜x＜+∞ (-∞，+∞) 0
三、函数的解析式：
函数解析式的定义：用运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子，称为函数的解析式，也称为解析表达式。
函数解析式的意义：函数解析式是函数三要素中的核心部分对应法则的具体反应；
函数解析式的形式：函数解析式可以是一个式子，也可以是多个式子（分段函数的解析式）；
求函数解析式的基本方法：
定义法：已知函数f(g(x))关于x的解析式，求函数f(x)的解析式，基本方法是拼凑法或换元法；
待定系数法：已知函数的类型，求函数f(x)的解析式，基本方法是：①设出该类型函数的一般式；②根据问题条件得到关于系数的方程（或方程组）；③求解方程（或方程组）求出系数的值；④把求出的系数值代入假设式得出函数f(x)的解析式；
函数方程法：已知函数关于自变量x和函数y的混合式子（或一个等式中涉及的两个函数），求函数f(x)的解析式，基本方法是把求函数f(x)视为未知数建立方程（或方程组），求解方程（或方程组）求出函数f(x)的解析式；
参数法：已知函数自变量x和函数y关于某个参数的等式，求函数f(x)的解析式，基本方法是消去参数求出函数f(x)的解析式；
实际应用问题：已知某个实际应用问题，求函数f(x)的解析式，基本方法是：①判断问题属于应用问题的哪种类型；②确定该类型应用问题涉及的基本量及基本量之间的关系；③引入合适的变量求出函数f(x)的解析式。
四、函数的定义域：
函数定义域的定义：所有自变量x组成的数集，称为函数y=f(x)的定义域。
求函数定义域的基本方法：
已知函数f(x)的解析式，求函数的定义域：基本方法是：①根据函数解析式有意义的条件得到关于自变量x的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）求出自变量x的取值范围；③得出函数f(x)的定义域；（函数f(x)解析式有意义的原则：①分式的分母不能为零；②偶次根式的被开方式为非负数；③对数的真数大于零；④对数（或指数）的底数大于零且不等于1；⑤零指数的底数不等于零；）
（2）已知函数f(x)的定义域，求函数f(g(x))的定义域：基本方法是：①把函数f(x)的定义域作为中间函数g(x)的值域得到关于自变量x的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(g(x))的定义域；
（3）已知函数f(g(x))的定义域，求函数f(x)的定义域：基本方法是：①由函数f(g(x))的定义域求出中间函数g(x)的值域；②把中间函数g(x)视为整体未知数x；③根据中间函数g(x)的值域得到自变量x的取值范围；④求出函数f(x)的定义域；
（4）实际应用问题定义域的求法：这种问题的特征是函数的解析式需要根据实际问题的条件求出，根据求出的解析式并结合实际问题本身的特点确定函数的定义域；解答的基本方法是：
①根据实际问题的条件求出符合题意的解析式；②由函数解析式求出函数的自然定义域；③结合实际问题求出函数的实际定义域；④得出函数f(x)的定义域；⑤函数定义域问题的引伸：这种问题的特征是函数的解析式是确定的，函数的定义域已知，需要求函数解析式中参数的取值范围；解答的基本方法是：①由函数的解析式和函数的定义域结合相关知识确定问题必须满足的条件；②根据问题必须满足的条件得到关于参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）；④求出函数实际应用问题的定义域。
【探导考点】
考点1函数的定义及其表示：热点①判断两个函数是否相等；热点②函数的解析式；热点③函数的定义域；
考点2分段函数及其应用：热点①已知分段函数的解析式，求复合函数的函数值；热点②已知含某个参数的分段函数解析式和分段函数的函数值，求参数的值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列函数中与函数y=x相等的是（ ）
A y= B y= C y= D y=
2、设M={x|0 x 2}，N={y|0 y 2}，给出下列四个图像，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
y y y3 ------ -| y
2 ---| 2 --------| 2 | 2 ------|
1 | 1 | | 1 |
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
① ② ③ ④
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
3、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A y=x-1和y= B y= 和y=1
C f(x)= 和 g(x)= D f(x)= 和 g(x)=
4、有以下判断：①f(x)= 与g(x)= 1，（x 0），表示同一函数；②函数y=f(x)的图像与直线x=1的交点最多有一个； -1，（x＜0），③f(x)= -2x+1与g(t)= -2t+1是同一函数；④若f(x)=|x-1|-|x|，则f(f())=0。其中正确判断的序号是 ；
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数的定义及应用的问题，解答这类问题需要理解函数的定义，掌握函数的三要素和判断两个函数是否相等的基本方法；
（2）判断两个不同解析式表示的函数是不是同一函数的主要是依据函数的三要素，如果它们的三要素相同，那么表示的是同一函数；
（3）对于一个函数如果它的定义域，对应法则确定，那么这个函数的值域也就确定了。根据这一点，在解答判定两个不同解析式表示的函数是不是同一函数的问题时，只需要确定它们的对应法则和定义域是否相同就可以。
「练习1」解答下列问题：
1、下列是集合M上的函数的有（ ）
①M=Z，N=，对应关系f：对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应；②M={-1，1，2，-2}，N={1，4}，对应关系f：x→ y=，xM，yN；③M={三角形}，N={x|x＞0},对应关系f：对M中的三角形求面积与N中元素的对应。
A 1个 B 2个 C 3个 D 0个
2、下列函数中，与y=x相等的函数是（ ） ， x＞0，
A f(x)= B f(x)= +1 C f(x)= D f(x)= 0， x=0，
3、与函数y=x+1 相等的函数是（ ） - ， x＜0，
A y= B y=t+1 C y= D y= |x+1|
【典例2】解答下列各题：
1、如图某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的
水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A y=-x B y=-x C y=-x D y=+x
2、如图修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A y=--x B y=+-3x C y=-x D y=+-2x
3、如果f()=，则当x0且x1时，f(x)=( )
A B C D -1
『思考问题2』
【典例2】是求函数解析式的问题，解答这类问题需要理解函数解析式的定义，掌握求函数解析式的基本方法；
（2）求函数解析式的基本方法是：①确定问题属于求函数解析式问题的类型；②根据该种类型问题的解题思路和方法实施解得；③求出所求函数的解析式。
〔练习2〕解答下列问题：
1、某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数），公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100，x）人去进行新开发的产品B的生产；分流后继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%，若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）
A、15 B、16 C、17 D、18
2、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积 A
最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为
m． x 40m
3、若f()=，则f(x)等于（ ）
A (x-1) B (x0) 40m
C (x-1) D 1+x(x-1)
4、已知f(+1)=lgx，则f(x)= 。
5、若f(x)- f(-x)=2x(x∈R)，则f(x)= 。
【典例3】解答下列问题：
1、函数f(x)= +的定义域为（ ）
A （-3,0］ B （-3,1］ C （-,-3）（-3,0］ D （-,-3）（-3,1］
2、若函数f(x)= ，则f(x)的定义域为（ ）
A （- ,0） B （- ,0］ C （- ，+,） D （0，+）
3、若函数y=f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)= 的定义域是（ ）
A ［0,1］ B ［0,1） C ［0,1）（1,4］ D （0,1）
4、函数f(x)= 的定义域为 ；
5、已知函数f(2x+1)的定义域为[-1，5]，则函数f(x)的定义域为 ；
『思考问题3』
（1）【典例3】是求函数定义域的问题，解答这类问题需要理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本方法；
（2）函数的定义域包括：①函数自然定义域（使函数解析式有意义的自变量x的取值范围）；②函数实际定义域（实际问题中符合实际问题条件的自变量x的取值范围）。
（3）是已知函数的解析式求函数定义域的基本方法是：①根据函数解析式有意义的条件（注意应该包括解析式有意义的所有条件）列出不等式（或不等式组；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(x)的定义域；
（4）如果已知函数f(x)的定义域，求函数f〔g(x)〕定义域的基本方法是：①将函数f(x)的定义域视为函数g(x)的值域得到不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f〔g(x)〕的定义域；
（5）已知函数f〔g(x)〕的定义域，求函数f(x)的定义域的基本方法是：①根据函数f〔g(x)〕的定义域求出函数g(x)的值域；②将函数g(x)视为整体未知数；③求出函数f(x)的定义域。
〔练习3〕解答下列问题：
1、函数f(x)=（+2x-3）的定义域是（ ）
A 〔-3，1〕 B (-3，1) C（-∞，-3〕∪〔1，+∞） D （-∞，-3）∪（1，+∞）
2、函数f(x)= + 的定义域为（ ）
A （-3,0］ B （-3,1］ C（-∞，-3〕∪（-3,0］ D （-∞，-3）∪（-3,1］
3、设函数f(x)=ln ，则函数g(x)= f()+ f()的定义域是 ；
4、已知函数f(x)的定义域为［0,1］，求函数f(-1)的定义域；
5、已知函数f(x+3)的定义域是〔-4,5〕,求函数f(x)的定义域；
【典例4】解答下列问题：
设函数f(x)= +1，x1，则f(f(3))=（ ）
，x＞1，
A B 3 C D
2、设函数f(x)= 3x-1，x＜1，则满足f(f(a))= ，的a的取值范围是（ ）
，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
3、已知函数f(x)= +1，x≥0，若f(x)=10，则x= ；
-2x，x＜0，
4、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为 ；
-x-2a，x≥1，
『思考问题4』
（1）【典例4】是分段函数求值的问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，注意分段函数的结构特征，掌握分段函数求值的基本方法；
（2）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果。
〔练习4〕解答下列各题：
1、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（ ）
A（-，-1］ lnx，x≥1，B （-1，） C ［-1，） D （0，）
2、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)= ，x＜A，
（A，c为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品 ，x≥A，用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）
A 71,25 B 75,16 C 60,25 D 60，16
3、设函数f(x)= ，x≥1，则使得f(x) 2成立的x的取值范围是 ；
，x＜1，
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
2、下列函数中，与函数y=x相等的是（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A y= B y= C y= D y=
设函数f(x)= +2，x<3，则f(f(0))的值为（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上
（-1），x 3，期期末调研考试）
A 2 B 3 C -1 D -1
4、已知函数f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，则a=（）（成都市2020级高三零诊）
+a，x0，
A - B 0 C 1 D 2
5、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
6、已知函数f(x)= |x-1|，x0，则f(f())=（ ）（2021成都市高三零诊）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
7、函数f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，则a的值为 。（2021成都市高三二诊）
+1，x1,
8、已知函数f(x)= sin(x+)，x0，则f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
+1， x>0，
A B C D
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中函数定义及其表示的问题，归结起来主要包括：①函数定义及运用；②函数解析式及运用；③函数定义域及运用值；④求分段函数值等几种类型；
（2）解答这类问题的基本方法是：①确定问题所属的类型；②根据该类型问题的解答思路和基本方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列各题：
1、汽车从A地出发直达B地，途中经过C地，假设汽车匀速行驶，5h后到达B地，汽车与C地的距离S（单位：km）关于时间t（单位：h）的函数关系如图所示，则汽车从A地到B地行驶的路程为 km。（成都市高2020级2019-2020学年度上期期末调研考试）
2、已知函数f(x)= x，0＜x＜1，则f(f())= （成都市高2020级2019-2020学
，x＜0,年度上期期末调研考试）
3、下列四组函数中，f(x)与g(x)相等的是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A f(x)=1，g(x)= B f(x)=ln ，g(x)=2lnx C f(x)=x，g(x)= D f(x)=x，g(x)=
4、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020全国高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
5、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能够完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新增订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）（2020全国高考新课标II）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名
解析版
第二讲 函数的概念
【考纲解读】
理解函数，函数定义域，函数解析式，函数值域和函数最值的定义；
了解映射的定义；
掌握表示函数和求函数解析式，函数定义域，函数值域与最值的基本方法；
能够熟练地运用函数概念解决相关的数学问题。
【知识精讲】
函数的定义：
映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与它对应，则称这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B；
原像：在映射f：A→B中，集合A中的元素，称为映射的原像；
像：在映射f：A→B中，集合B中与原像对应的元素，称为映射的像；
一 一映射：设A，B是两个非空集合，f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的像，且集合B中的每一个元素都有原像，那么称映射f：A→B是集合A到集合B的一一映射。
函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对任意的xA，在集合B中都有唯一确定的数y与它对应，则称这个映射f：A→B为函数，记作：y=f(x)，其中xA，yB；
（1）式子y=f(x)的意义：函数y等于在对应法则f下自变量x的对应值；
（2）函数的定义域：在映射f：A→B中，所有原像x（也称为自变量）组成的数集，称为函数y=f(x)的定义域；
（3）函数的值域：在映射f：A→B中，所有像y（也称为函数值）组成的数集，称为函数y=f(x)的值域（注意：函数的值域是数集B的子集）；
（4）函数的三要素：在函数y=f(x)中，定义域，对应法则和值域称为函数的三要素（注意：这三个要素中，核心是对应法则）；
（5）表示函数的基本方法：①解析法：把函数y用一个关于x的等式表示出来，这个式子称为函数的解析式，这种表示函数的方法称为解析法；②列表法：把函数y与自变量x之间的对应关系用表格表示出来的方法，称为列表法；③图像法：把函数y与自变量x之间的关系用图像表示出来的方法，称为图像法；
（6）判断两个函数是否相等的基本方法：如果两个函数的三要素一致，那么这两个函数相等，
对于一个函数来说，若定义域和对应法则确定了，则这个函数的值域也就确定了，因此在实际判断两个函数是否相等时，只需看两个函数的定义域和对应法则是不是一致就可以了。
函数与映射的关系：
相同点：①有两个非空的集合A，B；②有一个确定的对应法则f；③对集合A中的任意一个原像，通过对应法则f在集合B中都有唯一的像与它对应；
不同点：函数的两个非空的集合A，B只能是数集，映射的两个非空的集合A，B可以是数集，也可以是其他集合；
函数与映射的关系：函数一定是映射，但映射不一定是函数。
二、数集的区间表示：
1、有限区间：
（1）有限区间的定义：数轴上两点之间的区间，称为有限区间；
（2）有限区间的类型及其表示方法：设a，b是两个实数，且a＜b。
数 集 不等式表示 区间表示 数轴表示
｛x|a≤x≤b｝ a≤x≤b [a，b]
a 0 b
｛x|a＜x＜b｝ a＜x＜b (a，b)
a 0 b
｛x|a≤x＜b｝ a≤x＜b [a，b)
a 0 b
｛x|a＜x≤b｝ a＜x≤b (a，b]
a 0 b
2、无限区间：
（1）无限区间的定义：数轴上有一个端点（或没有端点）的区间，称为无限区间；
（2）无限区间的类型及其表示方法：设a，b是两个实数，且a＜b。
数 集 不等式表示 区间表示 数轴表示
｛x|a≤x｝ a≤x [a，+∞）
a 0
｛x|a＜x｝ a＜x (a，+∞） a 0
｛x|x≤b｝ x≤b (-∞，b] 0 b
｛x|x＜b｝ x＜b (-∞，b) 0 b
R -∞＜x＜+∞ (-∞，+∞) 0
三、函数的解析式：
函数解析式的定义：用运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子，称为函数的解析式，也称为解析表达式。
函数解析式的意义：函数解析式是函数三要素中的核心部分对应法则的具体反应；
函数解析式的形式：函数解析式可以是一个式子，也可以是多个式子（分段函数的解析式）；
求函数解析式的基本方法：
定义法：已知函数f(g(x))关于x的解析式，求函数f(x)的解析式，基本方法是拼凑法或换元法；
待定系数法：已知函数的类型，求函数f(x)的解析式，基本方法是：①设出该类型函数的一般式；②根据问题条件得到关于系数的方程（或方程组）；③求解方程（或方程组）求出系数的值；④把求出的系数值代入假设式得出函数f(x)的解析式；
函数方程法：已知函数关于自变量x和函数y的混合式子（或一个等式中涉及的两个函数），求函数f(x)的解析式，基本方法是把求函数f(x)视为未知数建立方程（或方程组），求解方程（或方程组）求出函数f(x)的解析式；
参数法：已知函数自变量x和函数y关于某个参数的等式，求函数f(x)的解析式，基本方法是消去参数求出函数f(x)的解析式；
实际应用问题：已知某个实际应用问题，求函数f(x)的解析式，基本方法是：①判断问题属于应用问题的哪种类型；②确定该类型应用问题涉及的基本量及基本量之间的关系；③引入合适的变量求出函数f(x)的解析式。
四、函数的定义域：
函数定义域的定义：所有自变量x组成的数集，称为函数y=f(x)的定义域。
求函数定义域的基本方法：
已知函数f(x)的解析式，求函数的定义域：基本方法是：①根据函数解析式有意义的条件得到关于自变量x的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）求出自变量x的取值范围；③得出函数f(x)的定义域；（函数f(x)解析式有意义的原则：①分式的分母不能为零；②偶次根式的被开方式为非负数；③对数的真数大于零；④对数（或指数）的底数大于零且不等于1；⑤零指数的底数不等于零；）
（2）已知函数f(x)的定义域，求函数f(g(x))的定义域：基本方法是：①把函数f(x)的定义域作为中间函数g(x)的值域得到关于自变量x的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(g(x))的定义域；
（3）已知函数f(g(x))的定义域，求函数f(x)的定义域：基本方法是：①由函数f(g(x))的定义域求出中间函数g(x)的值域；②把中间函数g(x)视为整体未知数x；③根据中间函数g(x)的值域得到自变量x的取值范围；④求出函数f(x)的定义域；
（4）实际应用问题定义域的求法：这种问题的特征是函数的解析式需要根据实际问题的条件求出，根据求出的解析式并结合实际问题本身的特点确定函数的定义域；解答的基本方法是：
①根据实际问题的条件求出符合题意的解析式；②由函数解析式求出函数的自然定义域；③结合实际问题求出函数的实际定义域；④得出函数f(x)的定义域；⑤函数定义域问题的引伸：这种问题的特征是函数的解析式是确定的，函数的定义域已知，需要求函数解析式中参数的取值范围；解答的基本方法是：①由函数的解析式和函数的定义域结合相关知识确定问题必须满足的条件；②根据问题必须满足的条件得到关于参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）；④求出函数实际应用问题的定义域。
【探导考点】
考点1函数的定义及其表示：热点①判断两个函数是否相等；热点②函数的解析式；热点③函数的定义域；
考点2分段函数及其应用：热点①已知分段函数的解析式，求复合函数的函数值；热点②已知含某个参数的分段函数解析式和分段函数的函数值，求参数的值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列函数中与函数y=x相等的是（ ）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【知识点】①函数的定义与性质；②判断两个函数解析式是否表示同一函数的基本方法。
【解题思路】根据函数的性质和判断两个函数解析式是否表示同一函数的基本方法，判断各个选项中的函数解析式表示的函数是否与函数y=x相等就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y=的定义域为［0，+），不等于R，函数y=与函数y=x不相等，即A错；对B，函数y=的定义域为R，y==x，函数y=与函数y=x相等，即B正确，选B。
2、设M={x|0 x 2}，N={y|0 y 2}，给出下列四个图像，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
y y y3 ------ -| y
2 ---| 2 --------| 2 | 2 ------|
1 | 1 | | 1 |
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
① ② ③ ④
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
【知识点】①函数的定义与性质；②函数图像即运用。
【解题思路】根据函数的性质和函数图像判断各个函数图像是否能表示从集合M到集合N的函数关系就可得出选项。
【详细解答】对①，由图知函数的定义域为［0，1］，不能表示从集合M到集合N的函数关系；对②，由图知函数的定义域为［0，2］，值域也是［0，2］，能表示从集合M到集合N的函数关系；对③，由图知函数的定义域为［0，2］，但值域是［0，3］，不能表示从集合M到集合N的函数关系；对④，由图知函数的定义域为［0，2］，值域也是［0，2］，但对取定的x［0，2］，与它对应的y值不唯一，不能表示从集合M到集合N的函数关系，能表示从集合M到集合N的函数关系只有一个②，B正确，选B。
3、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A y=x-1和y= B y= 和y=1
C f(x)= 和 g(x)= D f(x)= 和 g(x)=
【解析】
【知识点】①函数的定义与性质；②判断两个函数解析式是否表示同一函数的基本方法。
【解题思路】根据函数的性质和判断两个函数解析式是否表示同一函数的基本方法，判断各个选项中的两个函数解析式表示的函数是否同一函数就可得出选项。
【详细解答】对A，函数 y=x-1的定义域为R，函数y= 的定义域为（-，-1）（-1，+），两个函数的定义域不相同，函数 y=x-1与函数y= 不能是同一函数；对B，函数 y=的定义域为（-，0）（0，+），函数y=1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，函数 y=与函数y=1不能是同一函数；对C，函数 y=的定义域为R，函数y= 的定义域为R，两个函数的定义域相同，但两个函数的对应法则分别是，不一样，函数 y=与函数y= 不能是同一函数；对D，函数 y=的定义域为（0，+），函数y= 的定义域为（0，+），两个函数的定义域相同，函数y==1，函数y= =1，两个函数的对应法则也一样，函数 y=与函数y= 是同一函数，D正确，选D。
4、有以下判断：①f(x)= 与g(x)= 1，（x 0），表示同一函数；②函数y=f(x)的图像与直线x=1的交点最多有一个； -1，（x＜0），③f(x)= -2x+1与g(t)= -2t+1是同一函数；④若f(x)=|x-1|-|x|，则f(f())=0。其中正确判断的序号是 ；
【解析】
【知识点】①函数的定义与性质；②判断两个函数解析式是否表示同一函数的基本方法；③函数图像及运用；④求函数值的基本方法。
【解题思路】根据函数的性质和判断两个函数解析式是否表示同一函数的基本方法，运用函数图像和求函数值的基本方法，对各个判断的正确与错误进行判断就可得出正确判断的序号。
【详细解答】对①，函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+），函数g(x)的定义域为R，两个函数的定义域不一样，函数f(x)与函数g(x)不能表示同一函数，即①错误；对②，当函数f(x)= 时，函数y=f(x)的图像与直线x=1一两个交点，②错误；对③，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为R，两个函数的定义域一样，且对应法则也相同，函数f(x)与函数g(x)能够表示同一函数，即③正确；对④， f()=|-1|-||=-=0， f(f())=f(0)=|0-1|-|0|=1-0=1，即④错误，其中正确判断的序号是③。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数的定义及应用的问题，解答这类问题需要理解函数的定义，掌握函数的三要素和判断两个函数是否相等的基本方法；
（2）判断两个不同解析式表示的函数是不是同一函数的主要是依据函数的三要素，如果它们的三要素相同，那么表示的是同一函数；
（3）对于一个函数如果它的定义域，对应法则确定，那么这个函数的值域也就确定了。根据这一点，在解答判定两个不同解析式表示的函数是不是同一函数的问题时，只需要确定它们的对应法则和定义域是否相同就可以。
「练习1」解答下列问题：
1、下列是集合M上的函数的有（ ）
①M=Z，N=，对应关系f：对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应；②M={-1，1，2，-2}，N={1，4}，对应关系f：x→ y=，xM，yN；③M={三角形}，N={x|x＞0},对应关系f：对M中的三角形求面积与N中元素的对应。（答案：B）
A 1个 B 2个 C 3个 D 0个
2、下列函数中，与y=x相等的函数是（ ）（答案：D） ， x＞0，
A f(x)= B f(x)= +1 C f(x)= D f(x)= 0， x=0，
3、与函数y=x+1 相等的函数是（ ）（答案：B） - ， x＜0，
A y= B y=t+1 C y= D y= |x+1|
【典例2】解答下列各题：
1、如图某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的
水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A y=-x B y=-x C y=-x D y=+x
【解析】
【考点】①函数的性质及运用；②导数的定义与几何意义；③求函数解析式的基本方法。
【解题思路】由题意可知，函数在x=5时，导数为0，令（x）=0得：A x==5成立，
B x=5不成立，C x=5不成立，D x=5不成立，从而得出选项。
【详细解答】由题意可知，函数在x=5时，导数为0，A（x）=-,B（x）=-,C（x）=-1,D（x）=+,令（x）=0得：Ax==5成立，
Bx=5不成立，C x=5不成立，D x=5不成立，A正确，选A。
2、如图修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A y=--x B y=+-3x C y=-x D y=+-2x
【解析】
【考点】①函数的性质及运用；②导数的定义与几何意义；③求函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据题意设函数f(x)=a+b+cx+d，由函数f(x)的图像经过点（0，0），（2，0），曲线y=f(x)在点（0，0），（2，0）处的切线方程分别是y=-x，y=3x-6，d=0，8a+4b+2c=0，
（0）=c=-1，（2）=12a+4b+c=3，a=，b=-，c=-1，d=0，从而得到函数 f(x)的解析式。
【详细解答】设函数f(x)=a+b+cx+d，函数f(x)的图像经过点（0，0），（2，0），曲线y=f(x)在点（0，0），（2，0）处的切线方程分别是y=-x，y=3x-6，d=0，8a+4b+2c=0，
（0）=c=-1，（2）=12a+4b+c=3，a=，b=-，c=-1，d=0，f(x)= --x，
A正确，选A。
3、如果f()=，则当x0且x1时，f(x)=( )
A B C D -1
【解析】
【知识点】①复合函数定义与性质；②数学换元法及运用。
【解题思路】设t=，x=， f(t)= = ，从而得到函数f(x)的解析式。
【详细解答】设t=，x=， f(t)= = ， f(x)= ，B正确，
选B。
『思考问题2』
【典例2】是求函数解析式的问题，解答这类问题需要理解函数解析式的定义，掌握求函数解析式的基本方法；
（2）求函数解析式的基本方法是：①确定问题属于求函数解析式问题的类型；②根据该种类型问题的解题思路和方法实施解得；③求出所求函数的解析式。
〔练习2〕解答下列问题：
1、某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数），公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100，x）人去进行新开发的产品B的生产；分流后继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%，若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）（答案：B）
A 15 B 16 C 17 D 18
2、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积 A
最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为
m．（答案：边长x=20m） x 40m
3、若f()=，则f(x)等于（ ）(答案：C)
A (x-1) B (x0) 40m
C (x-1) D 1+x(x-1)
4、已知f(+1)=lgx，则f(x)= 。（答案：f(x)=lg2-lg(x-1)）
5、若f(x)- f(-x)=2x(x∈R)，则f(x)= 。(答案：f(x)= )
【典例3】解答下列问题：
1、函数f(x)= +的定义域为（ ）
A （-3,0］ B （-3,1］ C （-,-3）（-3,0］ D （-,-3）（-3,1］
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③指数函数的定义与性质；④求解不等式或不等式组的基本方法。
【解题思路】根据二次根式和分式有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组就可求出函数的定义域。 x+3>0，
【详细解答】函数f(x)有意义，必有1-0，-32、若函数f(x)= ，则f(x)的定义域为（ ）
A （- ,0） B （- ,0］ C （- ，+,） D （0，+）
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④求解不等式或不等式组的基本方法。
【解题思路】根据二次根式，分式和对数有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域。
【详细解答】函数f(x)有意义，必有（2x+1）>0，-2x+1>0，
3、若函数y=f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)= 的定义域是（ ）
A ［0,1］ B ［0,1） C ［0,1）（1,4］ D （0,1）
【解析】
【知识点】①函数y=f(x)有意义的条件；②分式的定义与性质；③求解不等式或不等式组的基本方法；④复合函数的定义与性质。
【解题思路】根据函数g(x)有意义的条件和函数y=f(x)的定义域，2x为整体未知数得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数g(x)的定义域。
【详细解答】函数g(x)有意义，必有 02x2， 0x1，0x<1，函数g(x)
x-1≠0， x≠1, 的定义域为[0，1）；B
正确，选B。
4、函数f(x)= 的定义域为 ；
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②对数函数的定义与性质；③求解不等式或不等式组的基本方法。
【解题思路】根据二次根式和对数有意义的条件得到关于x的不等式组，然后求解不等式组，从而得到函数的定义域。 x>0，
【详细解答】函数f(x)有意义，必有1-2x0，05、已知函数f(2x+1)的定义域为[-1，5]，则函数f(x)的定义域为 ；
【解析】
【知识点】①函数y=f(x)的意义；②复合函数的定义与性质；③函数值域的求法。
【解题思路】根据函数f(2x+1)的定义域，求出函数g(x)=2x+1的值域，从而得到函数f(x)的定义域。
【详细解答】函数f(2x+1)的定义域为[-1，5]，设g(x)=2x+1，-1g(x) 11，
函数f(x)的定义域为[-1，11]。
『思考问题3』
（1）【典例3】是求函数定义域的问题，解答这类问题需要理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本方法；
（2）函数的定义域包括：①函数自然定义域（使函数解析式有意义的自变量x的取值范围）；②函数实际定义域（实际问题中符合实际问题条件的自变量x的取值范围）。
（3）是已知函数的解析式求函数定义域的基本方法是：①根据函数解析式有意义的条件（注意应该包括解析式有意义的所有条件）列出不等式（或不等式组；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(x)的定义域；
（4）如果已知函数f(x)的定义域，求函数f〔g(x)〕定义域的基本方法是：①将函数f(x)的定义域视为函数g(x)的值域得到不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f〔g(x)〕的定义域；
（5）已知函数f〔g(x)〕的定义域，求函数f(x)的定义域的基本方法是：①根据函数f〔g(x)〕的定义域求出函数g(x)的值域；②将函数g(x)视为整体未知数；③求出函数f(x)的定义域。
〔练习3〕解答下列问题：
1、函数f(x)=（+2x-3）的定义域是（ ）（答案：D）
A 〔-3，1〕 B (-3，1) C（-∞，-3〕∪〔1，+∞） D （-∞，-3）∪（1，+∞）
2、函数f(x)= + 的定义域为（ ）（答案：A）
A （-3,0］ B （-3,1］ C（-∞，-3〕∪（-3,0］ D （-∞，-3）∪（-3,1］
3、设函数f(x)=ln ，则函数g(x)= f()+ f()的定义域是 ；（答案：函数g(x)
的定义域为（-2，-1）∪（1，2））
4、已知函数f(x)的定义域为［0,1］，求函数f(-1)的定义域；（答案：［- ，-1］∪［1 ，］）
5、已知函数f(x+3)的定义域是〔-4,5〕,求函数f(x)的定义域；（答案：［-1，8］）
【典例4】解答下列问题：
1、设函数f(x)= +1，x1，则f(f(3))=（ ）
A ，x＞1，B 3 C D
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。
【解题思路】根据自变量3，确定求函数值的解析式，并求出f(3)的函数值，把求出的结果作为自变量，确定求函数值的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出结果。
【详细解答】3>1， f(3)= ，1， f()=+1=， f(f(3))= ，
D正确，选D。
2、设函数f(x)= 3x-1，x＜1，则满足f(f(a))= ，的a的取值范围是（ ）
，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③指数函数的定义与性质；④参数分类讨论的原则与方法。
【解题思路】运用分段函数的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件，应该从a≥1和a<1两种情况考虑去解答问题。
【详细解答】①当a≥1时，f(a)= >1，f(f(a))= =；②当a<1时，f(a)=3a-1，若3a-1≥1，即a≥时，f(f(a))= =，若3a-1<1，即a<时，f(f(a))=3（3a-1）-1=9a-4；当f(f(a))= 时，实数a的取值范围是[，+）。
3、已知函数f(x)= +1，x≥0，若f(x)=10，则x= ；
-2x，x＜0，
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。
【解题思路】这里是已知f(x)的函数值，求自变量的问题，现在是自变量未知，需要从x<0和x≥0两种情况分别考虑去解答问题。
【详细解答】①当x<0时， f(x)= -2x=10， x=-5；②当x≥0时， f(x)= +1=10，
x=3；当f(x)=10时，x=-5或x=3。
4、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为 ；
-x-2a，x≥1，
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③参数分类讨论的基本原则和基本方法；
【解题思路】运用分段函数的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件，根据a0，应该从a>0和a<0两种情况考虑去解答问题。
【详细解答】①当a>0时，1-a<1，1+a>1， f(1-a)=2（1-a）+a=2-a，f(1+a)=-（1+a）-2a=-3a-1，
f(1-a)=f(1+a)，2-a=-3a-1，a=-<0，此时无解；②当a<0时，1-a>1，1+a<1， f(1-a)=-（1-a）-2a=-1-a，f(1+a)=2（1+a）+a=3a+2， f(1-a)=f(1+a)，-1-a=-3a+2，a=- <0，当a0，f(1-a)=f(1+a)时，a=- 。
『思考问题4』
（1）【典例4】是分段函数求值的问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，注意分段函数的结构特征，掌握分段函数求值的基本方法；
（2）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果。
〔练习4〕解答下列各题：
1、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（ ）（答案：A）
A（-，-1］ lnx，x≥1，B （-1，） C ［-1，） D （0，）
2、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)= ，x＜A，
（A，c为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品 ，x≥A，用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）（答案：D）
A 71,25 B 75,16 C 60,25 D 60，16
3、设函数f(x)= ，x≥1，则使得f(x) 2成立的x的取值范围是 ；
，x＜1，（答案：使得f(x) 2成立的x的取值范围是（-，8］）
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②函数解析式定义与性质；④已知函数解析式与函数值，确定自变量值的基本方法。
【解题思路】根据对数和函数解析式的性质，运用函数解析式和已知函数解析式，函数值，确定自变量值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出的值就可得出选项。
【详细解答】当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s， =2000ln(1+)，v=2000ln(1+)=2=22000ln(1+), ln(1+)=2ln(1
+)=ln, 1+=, =+2,D正确，选D。
2、下列函数中，与函数y=x相等的是（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考点】①函数定义与性质；②判断两个函数相等的基本方法。
【解题思路】根据函数的性质和判断两个函数相等的基本方法对各选项的函数是否与函数y=x相等进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y=的定义域为R与函数y=x的定义域相同，对应法则y=
=|x|与函数y=x的对应法则不一致，函数y=与函数y=x不相等，排除A；对B，函数y=的定义域为R与函数y=x的定义域相同，对应法则y==x与函数y=x的对应法则一致，函数y=与函数y=x相等，B正确，选B。
设函数f(x)= +2，x<3，则f(f(0))的值为（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上
（-1），x 3，期期末调研考试）
A 2 B 3 C -1 D -1
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③对数函数定义与性质；③求分段函数函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，指数函数和对数函数的性质，运用求分段函数函数值的基本方法求出f(f(0))的值就可得出选项。
【详细解答】0<3， f(0)= +2=1+2=3，33， f(f(0))= f(3)= （9-1）=8
=3，B正确，选B。
4、已知函数f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，则a=（）（成都市2020级高三零诊）
+a，x0，
A - B 0 C 1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②幂函数定义与性质；③指数函数定义与性质；④分段函数求值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，幂函数和指数函数的性质，运用分段函数求值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】 f(-1)=1+a，a>-1，1+a >0，f(f(-1))= =4=，1+a=2，即a=1，
C正确，选C。
5、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(-2)+ f(ln4)的值就可得出选项。
【详细解答】 -2<1， f(-2)= （2+2）=4=2，ln4>1， f(ln4)= =4，f(-2)+ f(ln4)=2+4=6，C正确，选C。
6、已知函数f(x)= |x-1|，x0，则f(f())=（ ）（2021成都市高三零诊）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数的定义与性质；②分段函数求值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数的性质和求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(f())的函数值就可得出选项。
【详细解答】 f()=ln=-1， f(-1)=|-1-1|=2， f(f()) =2，D正确，选D。
7、函数f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，则a的值为 。（2021成都市高三二诊）
【解析】 +1，x1,
【考点】①一元二次函数的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数和指数函数的性质，运用求函数值的基本方法求得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】①当a＜1时， f(a)= -a=2，a=-1或a=2， a=-1，②当a1时, f(a)= +1=2，a=0＜1，此时无解，综上所述，若f(a)=2，则a的值为-1。
8、已知函数f(x)= sin(x+)，x0，则f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
+1， x>0，
A B C D
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②分段函数求值的基本方法；③正弦函数定义与性质；④三角函数诱导公式及运用；⑤指数函数定义与性质。
【解答思路】根据分段函数求值的基本方法，正弦函数的性质，三角函数诱导公式，指数的性质，结合问题条件分别求出f(-2)，f(1)的函数值，把两个函数值相加就可得出选项。
【详细解答】 f(-2)= sin(-2+)=sin=，f(1)= +1=3， f(-2)+f(1)=+3
=，C正确，选C。
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中函数定义及其表示的问题，归结起来主要包括：①函数定义及运用；②函数解析式及运用；③函数定义域及运用值；④求分段函数值等几种类型；
（2）解答这类问题的基本方法是：①确定问题所属的类型；②根据该类型问题的解答思路和基本方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列各题：
1、汽车从A地出发直达B地，途中经过C地，假设汽车匀速行驶，5h后到达B地，汽车与C地的距离S（单位：km）关于时间t（单位：h）的函数关系如图所示，则汽车从A地到B地行驶的路程为 km。（成都市高2020级2019-2020学年度上期期末调研考试）（答案：500km.）
2、已知函数f(x)= x，0＜x＜1，则f(f())= （成都市高2020级2019-2020学
，x＜0,年度上期期末调研考试）(答案：f(f())=3。)
3、下列四组函数中，f(x)与g(x)相等的是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：D）
A f(x)=1，g(x)= B f(x)=ln ，g(x)=2lnx C f(x)=x，g(x)= D f(x)=x，g(x)=
4、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020全国高考新高考I）（答案：B）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
5、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能够完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新增订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：B）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名

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