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金沙县2022-2023学年高三上学期期中教学质量检测
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列三个数依次成等比数列的是（ ）
A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．20
5．现有下列四个命题：
①函数无零点；
②命题“”的否定为“”；
③若，则；
④不等式的解集为．
其中所有真命题的序号为（ ）
A．②④ B．①③ C．③④ D．②③④
6．已知四边形为梯形，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若不等式组表示的平面区域的面积为1，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的最小值为2，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为，高为，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积V（单位：）关于时间t（单位：s）的函数解析式为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
12．设数列满足，则数列的前19项和为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．命题“若，则”的否命题为______________．
14．已知，若的最小值大于7，写出一个满足条件的a的值：______________．
15．已知数列是公差为1的等差数列，且，则______________．
16．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．如图，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的．已知，点P为上一点，则的最小值为______________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（12分）
设a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，向量，且．
（1）求B；
（2）若，求b．
19．（12分）
已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的值；
（2）试问正弦曲线经过怎样的变换可以得到曲线？
20．（12分）
已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
21．（12分）
据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气，漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律．如果某物体的初始温度为，那么经过t分钟后，温度T满足，其中为室温，h为半衰期．为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至．（参考数据：）
（1）若欲将这杯茶水继续降温至，至少还需要多少分钟？（结果保留整数）
（2）为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投人固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调的售价为3000元，且生产的空调能全部销售完．问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润．
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若在上恒成立，求整数a的最小值．
金沙县2022-2023学年高三上学期期中教学质量检测
数学参考答案（文科）
1．D 因为，所以．
2．C 因为，所以9，6，4依次成等比数列．
3．A ．
4．B 由，得，则，所以．
5．D 因为直线与函数的图象有交点，所以①是假命题．命题“”的否定为“”，所以②是真命题．若，则或，又，则，所以③是真命题．由，得，解得，所以④为真命题．
6．C 若A，则显然未必成立．若，则一定不是梯形的底边，而是梯形的两腰，则是梯形的底边，所以，故选C．
7．A 因为，所以，故．
8．B 作出不等式组表示的平面区域（图略），由图可知，可行域的形状为三角形，它的三个顶点为，则的面积，因为，所以．
9．C 依题意可得，则，
因为，所以的最小值为，故的最小值为．
10．B 因为定义在R上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，因为定义在R上的偶函数在上单调递增，且，所以在上是单调递减，且．所以满足．
11．B 设杯中水的商度为，则，解得，则，当时，．故当时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为．
12．A 因为，所以，
所以，
又，所以，则
，
故数列的前19项和为．
13．若，则 命题“若，则”的否命题为“若，则”．
14．4（答案不唯一，只要即可） 因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，由，得．
15． 由题意可得，故．
16． 令D为的中点，E为的中点，所以．
因为，所以的最小值为．
17．解：（1）设等比数列的公比为q，因为，
所以，则，
又，所以，
故．
（2）
．
18．解：（1）因为，且，所以，
由正弦定理知，
因为，所以，
因为，所以或．
（2）当时，由余弦定理得，
则；
当时，由余弦定理得，
则．
19．解：（1）依题意可得，
，即，
则，即，
因为，所以．
（2）由（1）知．
正弦曲线的横坐标不变，将纵坐标变为原来的倍，得到曲线．
（方法一）得到的曲线的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到曲线，
再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线．
（方法二）将得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，
所得曲线各点的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到曲线．
20．解：（1）当时，，
则，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即（或）．
（2），
令，得．
当时，在R上单调递增．
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
21．解：（1）由题意可得，解得．
设经过t分钟，这杯茶水降温至，则，
解得．
故欲将这杯茶水降温至，至少还需要14分钟．
（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，
当时，，
当时，取得最大值3400万元；
当时，，
因为，当且仅当时，等号成立，
则当时，取得最大值3380万元．
因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元．
22．解：（1）当时，，则，
令，得．
若，则；
若，则．
所以．
（2）（方法一）由，可得在上恒成立．
令，则，
令，则，
因此在上为减函数．
而，可知在区间上必存在，使得满足，
且在上单调递增，在上单调递减．
由于，而，故，
由，可知，
所以，因此整数a的最小值为1．
（方法二）由，可得，当时，，则，即．
当时，令，则，
则在上单调递增，所以，所以成立．
因此整数a的最小值为1．

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