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6.4.3 余弦定理、正弦定理
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；
2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.
1.数学抽象：方位角、方向角等概念；
2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；
3.数学运算：解三角形；
4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．
重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；
难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.
预习导入
阅读课本48-51页，填写。
1、实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
基线 在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线 方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方 向 角 从指定方向线到 的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
方 位 角 从正北的方向线按 时针到目标方向线所转过的水平角
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边 (　　)
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得 (　　)
(3)方位角和方向角是一样的 (　　)
2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的 (　　)
A．东偏北45°10′方向上　 B．东偏北45°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上
3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为 （ ）
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
4.如图，已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3 km，B＝45°，C＝30°，则A，C两地的距离为________km.
题型一 测量高度问题
例1　济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)
　　　　　
跟踪训练一
1、乙两楼相距200 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？
题型二 测量角度问题
例2　如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？
跟踪训练二
1、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
题型三 测量距离问题
例3 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，则可求出A，B两点间的距离．若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
例4 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________ m.
跟踪训练三
1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
1．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　)
A．10 km B. km
C．10 km D．10 km
2．某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB＝a,0<β<α<，则水塔CD的高度为(　　)
A. B.
C. D.
3．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)
A．30 m B. m
C．15 m D．45 m
4．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.
5．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．
答案
小试牛刀
1. (1)×(2) ×(3)×
2．C.
3．B.
4. 3.
自主探究
例1　【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.
【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．
依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，
AB＝15.2 m，则∠ABD＝100°，
故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD中，根据正弦定理，
＝. ∴BD＝＝≈38.5(m)．
在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，
即泉城广场上泉标的高约为38 m.
　　　
跟踪训练一
1、【答案】甲楼高为200 m，乙楼高为 m.
【解析】如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．
在△ABC中，BC＝200×tan 60°＝200，AC＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，
∴△ACD为等腰三角形．由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×＝3AD2，AD2＝，AD＝.故甲楼高为200 m，乙楼高为 m.
例2　【答案】　救援船到达D点需要的时间为1 h.
【解析】由题意，知AB＝5(3＋)n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得＝，
即BD＝＝＝＝10 n mile.
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理，得
CD＝＝ ＝30 n mile，
则救援船到达D点需要的时间为＝1 h.
跟踪训练二
1、【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
【解析】 设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos 120°＝6，
∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝，
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
例3【答案】A，B两点间的距离为200 m.
【解析】在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝200 (m)．
即A，B两点间的距离为200 m.
例4【答案】20 .
【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，＝，
∴AB＝＝＝20(m)．
即A，B两点间的距离为20 m.
跟踪训练三
1.【答案】A，B两点间的距离为 km.
【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝.在△BCD中，∠DBC＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.
∴AB＝(km)．∴A，B两点间的距离为 km.
当堂检测
1-3.DAB
4. 30°
5．【答案】电视塔的高为40 m.
【解析】 设电视塔AB的高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.
在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，
即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，
所以电视塔的高为40 m.
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