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6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；
2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；
3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.
1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式；
2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；
3.数学运算：解三角形；
4.数学建模：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律.
重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用；
难点：正弦定理的探索及证明.
预习导入
阅读课本45-48页，填写。
1.正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即___________________＝2R，其中R是___________________．
2．正弦定理的变形
(1)a∶b∶c＝___________________；
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，___________________；
(3)sin A＝，sin B＝，___________________；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，___________________.
(5)＝＝＝.
3．正弦定理应用解三角形
(1) 已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；
(2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
4、三角形的面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝___________________.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理只适用于锐角三角形 (　　)
(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立 (　　)
(3)公式S＝absin C适合求任意三角形的面积 (　　)
(4)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 (　　)
2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝(　　)
A.　　 B.　　　　
C.　　　　 D．3
3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
＝，则角B的大小为 (　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
4．△ABC中，a＝，b＝，sin B＝，则符合条件的三角形有________个．
题型一 已知两角及一边解三角形
例1　在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B.
跟踪训练一
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝105°，C＝45°，c＝，则b＝ (　　)
A．1　　　B. C. D．2
2．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.　
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，A＝45°，c＝，a＝2，求b，B，C.
跟踪训练二
1．△ABC中，B＝45°，b＝，a＝1，则角A＝________.
2．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．
题型三 正弦定理在边角互化中的应用
例3 在△ABC中，已知b＋c＝1，C＝45°，B＝30°，则b＝________.
例4 在△ABC中，＝＝，试判断△ABC的形状；
跟踪训练三
1、在△ABC中，若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B等于(　　)
A．1 B.
C．－1 D．－
2．在△ABC中，acos ＝bcos，判断△ABC的形状．
题型四 与三角形面积有关问题
例5　在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．　
跟踪训练四
1．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的大小为(　　)
A．60°或120°　　　　 B．60°
C．120° D．30°或150°
2．在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝，则△ABC的面积为________．
1．在中，角，，所对的边分别为，，，，，＝，则=（ ）
A． B． C． D．
2．在锐角中，角所对的边长分别为.若（ ）
A． B． C． D．
3．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，的对边分别为，若，，，则角_____.
6．在中角所对的边分别是，，，．
求的值；
求的面积．
答案
小试牛刀
1. (1)×(2) √(3)√(4)√
2．B.
3．B.
4. 2.
自主探究
例1　【答案】B＝45°.b＝10，c＝5＋5.
【解析】因为A＝30°，C＝105°，所以B＝45°.
因为＝＝，
所以b＝＝＝10，
c＝＝＝5＋5.　
跟踪训练一
【答案】1、A. 2、．
【解析】1、在△ABC中，∵A＝105°，C＝45°，∴B＝180°－
A－C＝180°－105°－45°＝30°.
由正弦定理＝，得＝，解得b＝1.
故选A.
2、因为tan A＝，所以sin A＝.由正弦定理知AB＝·sin C＝sin 150°＝.
例2　【答案】　　b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
【解析】　∵＝，∴sin C＝＝＝，
∴C＝60°或120°.当C＝60°时，B＝75°，
b＝＝＝＋1.
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
跟踪训练二
【答案】1、30°. 2、1或2.
【解析】1、由正弦定理得，＝，解得sin A＝，所以A＝30°或A＝150°.又因b>a，所以B>A，则A＝30°.
2、由＝，得sin B＝＝.
∵aA＝30°，∴B为60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ ＝＝2.
②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.
此时，c＝a＝1.
综上知c＝1或2.
例3 【答案】－1.
【解析】　由正弦定理知＝，
所以，＝，b＝·sin B＝＝－1.
例4【答案】等边三角形.
【解析】　 (化边为角)根据正弦定理，得到＝＝，整理为＝＝.
∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
∴△ABC为等边三角形．
跟踪训练三
【答案】1、A. 2、等腰三角形.
【解析】1、由正弦定理，可得sin Acos A＝sin2B，即sin Acos A＝1－cos2B，所以sin Acos A＋cos2B＝1.
2、法一：(化角为边)∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a·＝b·.
∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
法二：(化边为角)∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsinB.
由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，
∴A＝B(A＋B＝π不合题意舍去)，
故△ABC为等腰三角形.
例5　【答案】2或.
【解析】　由正弦定理，得sin C＝＝，
又AB·sinB∴当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝AB·AC＝2；
当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·AC·sin A＝.
∴△ABC的面积为2或.　
跟踪训练四
【答案】1、A. 2、.
【解析】1、由S△ABC＝bcsin A得＝×2××sin A，
所以sin A＝，
故A＝60°或120°，故选A.
2、在钝角△ABC中，由a＝1，A＝30°，c＝，利用正弦定理可知C＝120°，得到B＝30°，利用面积公式得S△ABC＝×1××＝.
当堂检测
1-4. ADBD
5.
6．【答案】（1）；（2）
【解析】，，．，
由正弦定理可得：
，C为锐角，
由可得：，
，
.
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