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2022年下学期 高一数学 同步复习讲义
函数及其表示（1）
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 函数的概念
函数
两集合A，B A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
知识链接02 函数的定义域、值域
（1）函数y＝f(x)自变量取值的范围A叫做函数的定义域；
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域；
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，
则这两个函数为相等函数．
知识链接03 函数的表示法
函数常用的表示方法有解析法、图象法和列表法．
知识链接04 分段函数
（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
（2）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
（3）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
（4）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
知识链接05 区间的概念
设a，b∈R，且a集合 区间 数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 把下列数集用区间表示：
（1）{x|x ≥－1}；　 （2）{x|x<0}；
（3）{x|－1（5）{x|－2（6）已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．
典例剖析02 已知函数解析式求定义域
（1）y＝；　
（2）y＝；　
（3）y＝－＋；
（4）f(x)＝．
典例剖析03 分段函数
（1）已知函数f(x)＝　
（ⅰ）求f[f()]的值；　 （ⅱ）若f(a.)＝3，求a．
（2）设f(x)＝若f(a.)>a.，求实数a的取值范围．
（3）已知f(x)＝若f(x－4)＞f(2x－3)，则实数x的取值范围是___．
典例剖析04 抽象函数定义域的求法
（1）函数y＝f(x)的定义域是[－1,3]，则f(2x＋1)的定义域为________．
（2）若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2,4]，则y＝f(x)的定义域是________．
（3）已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则f(2x＋1)的定义域为________．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x，g(x)＝ B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4)
2．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则正确论断的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知陈校长某日晨练时，行走的时间x与离家的直线距离y之间的函数图象如图，若用黑点表示陈校长家的位置，则陈校长晨练所走的路线可能是(　　)
4．若f(x)＝2x－1，则f(f(x))等于________．
5．设f(x)＝，则等于________．
6．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f ＋f(x－2)的定义域为________．
7．已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(x)的定义域是________．
8．已知f(x)＝，则f(f(f(－1)))的值是__________．
9．已知f(x)＝，g(x)＝，则当x<0时，f[g(x)]等于________．
10．已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是__________．
11．设函数f(x)＝，使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是____________________．
12．函数f(x)对于任意实数x均满足f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))等于________．
13．函数y＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
14．已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝(x≠0)，则f ＝________.
2022年下学期 高一数学 同步复习讲义
05 函数及其表示（1）
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 函数的概念
函数
两集合A，B A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
知识链接02 函数的定义域、值域
（1）函数y＝f(x)自变量取值的范围A叫做函数的定义域；
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域；
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，
则这两个函数为相等函数．
知识链接03 函数的表示法
函数常用的表示方法有解析法、图象法和列表法．
知识链接04 分段函数
（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
（2）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
（3）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
（4）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
知识链接05 区间的概念
设a，b∈R，且a集合 区间 数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 把下列数集用区间表示：
（1）{x|x ≥－1}；　 （2）{x|x<0}；
（3）{x|－1（5）{x|－2（6）已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．
【解析】（1）{x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．
（2）{x|x<0}＝(－∞，0)．
（3）{x|－1（4）{x|0（5）{x|－2（6）由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，解得－3所以实数a的取值范围是(－3,2)．
典例剖析02 已知函数解析式求定义域
（1）y＝；　 （2）y＝；　
（3）y＝－＋； （4）f(x)＝．
【解析】（1）要使函数有意义，需 x≤1且x≠0，
所以函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
（2）要使函数有意义，需 x≤0且x≠－.
故函数y＝的定义域为∪.
（3）要使函数有意义，需解得－≤x<2且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为∪(0,2)．
（4）由，得∴x<0且x≠－1，
∴f(x)＝的定义域为{x|x<0且x≠－1}．
典例剖析03 分段函数
（1）已知函数f(x)＝　
（ⅰ）求f[f()]的值；　 （ⅱ）若f(a.)＝3，求a．
【解析】（1）（ⅰ）∵－1<<2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
（ⅱ）当a.≤－1时，f(a.)＝a.＋2，又f(a.)＝3，∴a.＝1(舍去)；
当－1当a.≥2时，f(a.)＝2a.，又f(a.)＝3，∴a.＝(舍去)．
综上所述，a.＝.
（2）设f(x)＝若f(a.)>a.，求实数a的取值范围．
【解析】（2）当a.≥0时，f(a.)＝a.－1，∴ a.－1>a.，得a.<－2与a.≥0矛盾，
当a.<0时，f(a.)＝，解>a.，得a.<－1.
∴a.<－1.
（3）已知f(x)＝若f(x－4)＞f(2x－3)，则实数x的取值范围是___．
【解析】（3）函数f(x)＝在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值保持不变，若f(x－4)＞f(2x－3)，则或x－4＜2x－3≤0，解得x∈(－1，4).
典例剖析04 抽象函数定义域的求法
（1）函数y＝f(x)的定义域是[－1,3]，则f(2x＋1)的定义域为________．
（2）若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2,4]，则y＝f(x)的定义域是________．
（3）已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则f(2x＋1)的定义域为________．
【解析】（1）令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，所以f(2x＋1)的定义域为[－1,1]．
（2）由题意知，－2≤x≤4，所以－5≤3x＋1≤13，所以y＝f(x)的定义域是[－5,13]．
（3）∵函数y＝f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，
∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤2}．
∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤ ．
即函数f(2x＋1)的定义域为．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x，g(x)＝ B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4)
【答案】 CD
2．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则正确论断的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，故①正确；从题干丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量也保持不变，故③错．
3．已知陈校长某日晨练时，行走的时间x与离家的直线距离y之间的函数图象如图，若用黑点表示陈校长家的位置，则陈校长晨练所走的路线可能是(　　)
【答案】 D
4．若f(x)＝2x－1，则f(f(x))等于________．
【答案】 4x－3
5．设f(x)＝，则等于________．
【答案】 －1
6．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f ＋f(x－2)的定义域为________．
【答案】 (1,2)
7．已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(x)的定义域是________．
【答案】 [－3,3]
8．已知f(x)＝，则f(f(f(－1)))的值是__________．
【答案】 π＋1
9．已知f(x)＝，g(x)＝，则当x<0时，f[g(x)]等于________．
【答案】 －x2
10．已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是__________．
【答案】 {x|x≤1}
11．设函数f(x)＝，使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是____________________．
【答案】 (－∞，－2]∪[0,2]
12．函数f(x)对于任意实数x均满足f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))等于________．
【答案】 －
13．函数y＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
【答案】 [0,4]
14．已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝(x≠0)，则f ＝________.
【答案】 15

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