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2022年下学期 高一数学 同步复习讲义
06 函数及其表示（2）
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 函数的表示法
（1）解析法——用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
（2）图象法——用图象表示两个变量之间的对应关系；
（3）列表法——列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
知识链接02 函数图像的变换
（1）函数图象的平移变换
①左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象．
即：
②上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象．
即：
（2）函数图象的对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
（3）函数图象的翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|；
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
注意点：
①左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值；
②自变量的绝对值是左右翻折，函数值的绝对值是上下翻折；
③若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图象关于x＝a对称．
知识链接03 函数值域的求法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
（2）配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
（3）图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域．
（4）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
（5）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 （1）已知函数y＝f(x)的图象如图所示，
则该函数的定义域为____________________，
值域为____________________．
（2）若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1,0,1}，则函数的值域为________．
（3）函数y＝f(x)＝的值域是________．
（4）函数f(x)＝(x≥1)的值域为________(用区间表示) ．
（5）函数y＝(1≤x≤2)的值域为______(用区间表示)．
典例剖析02 （1）为悼念四川汶川地震中遇难同胞，在全国哀悼日第一天，某校升旗仪式中，先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正确反映这一过程中，国旗上升的高度h(米)与升旗时间t(秒)的函数关系的大致图象是[设国旗的起始位置为h＝0(米)]
（2）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确论断的序号是________．
典例剖析03 作出下列函数的草图：
（1）y＝2x＋1，x∈[0,2]；
（2）y＝，x∈[2，＋∞)；
（3）y＝x2＋2x，x∈[－2,2] ；
（4）y＝；
（5）；
（6）．
典例剖析04 求下列函数的值域：
（1）y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
（2）y＝＋1；
（3）y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；
（4）y＝．
（5）y＝x＋．
（6）y＝(x>1)．
典例剖析05 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
（1）分别用图象法和解析式表示φ(x)；
（2）求函数φ(x)的定义域，值域．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1,3]上的值域为_______．
2．函数y＝－0的定义域为____________．
3．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为_______．
4．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是_______．
5．若函数f(x)＝ 的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
6．已知函数f(x)＝若f(x－4)＞f(2x－3)，则实数x的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．
8．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当a9．求下列函数的值域：
（1）y＝； （2）y＝2x－； （3）y＝2|x－1|－3|x|．
10．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
2022年下学期 高一数学 同步复习讲义
06 函数及其表示（2）
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 函数的表示法
（1）解析法——用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
（2）图象法——用图象表示两个变量之间的对应关系；
（3）列表法——列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
知识链接02 函数图像的变换
（1）函数图象的平移变换
①左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象．
即：
②上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象．
即：
（2）函数图象的对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
（3）函数图象的翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|；
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
注意点：
①左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值；
②自变量的绝对值是左右翻折，函数值的绝对值是上下翻折；
③若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图象关于x＝a对称．
知识链接03 函数值域的求法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
（2）配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
（3）图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域．
（4）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
（5）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 （1）已知函数y＝f(x)的图象如图所示，
则该函数的定义域为____________________，
值域为____________________．
（2）若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1,0,1}，则函数的值域为________．
（3）函数y＝f(x)＝的值域是________．
（4）函数f(x)＝(x≥1)的值域为________(用区间表示) ．
（5）函数y＝(1≤x≤2)的值域为______(用区间表示)．
【解析】（1）{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}　{y|－4≤y≤3}
（2）{0,1} （3）{－1,0,1} （4）[0，＋∞)　 （5）[1,2]
典例剖析02 （1）为悼念四川汶川地震中遇难同胞，在全国哀悼日第一天，某校升旗仪式中，先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正确反映这一过程中，国旗上升的高度h(米)与升旗时间t(秒)的函数关系的大致图象是[设国旗的起始位置为h＝0(米)]
（2）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确论断的序号是________．
【解析】（1）国旗的运动规律是：匀速升至旗杆顶部——停顿3秒——国旗匀速下落至旗杆中部．
对应的图象为B．
（2）设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图象知y1＝t，y2＝2t.由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4点不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，应该是所有水口都打开，进出均衡，故③亦不正确．所以正确论断的序号只有①．
典例剖析03 作出下列函数的草图：
（1）y＝2x＋1，x∈[0,2]；
（2）y＝，x∈[2，＋∞)；
（3）y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
（4）y＝；
（5）；
（6）．
典例剖析04 求下列函数的值域：
（1）y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
（2）y＝＋1；
（3）y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；
（4）y＝．
（5）y＝x＋．
（6）y＝(x>1)．
【解析】（1）∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，∴y∈{3,5,7,9,11}．∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．
（2）∵≥0，∴＋1≥1.∴函数的值域为[1，＋∞)．
（3）配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，画函数图象如图所示，
由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2,11]．
（4）∵y＝＝＝3＋≠3，
∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
（5）设u＝，则u≥0，∴x＝. ∴y＝＋u＝(u＋1)2．
∵u≥0，∴y≥，∴y＝x＋的值域为．
（6）令t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1，
∴y＝＝＝t＋＋1≥2＋1，
当且仅当t＝即t＝时取等号，
∴函数的值域为[2＋1，＋∞)．
典例剖析05 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
（1）分别用图象法和解析式表示φ(x)；
（2）求函数φ(x)的定义域，值域．
【解析】（1）在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝
（2）由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1,3]上的值域为_______．
【答案】
2．函数y＝－0的定义域为____________．
【答案】 [－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2)
3．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为_______．
【答案】 (0,1)
4．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
5．若函数f(x)＝ 的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
【答案】 －
6．已知函数f(x)＝若f(x－4)＞f(2x－3)，则实数x的取值范围是________．
【答案】 (－1,4)
7．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．
【解析】 由f(3)＝3，得b＝－3a－9.
由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，
所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，所以a＝－6，b＝9.
所以f(x)＝x2－5x＋9.
8．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当a【答案】 [－2,2]
【解析】 由题意知f(x)＝x2－2，因为x∈(－2,2]，所以x2∈[0,4]，所以f(x)∈[－2,2]．
9．求下列函数的值域：
（1）y＝； （2）y＝2x－； （3）y＝2|x－1|－3|x|．
【解析】 （1）y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
（2）设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋，
由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为.
（3）当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.故y＝
根据函数解析式作出函数图象，如图所示．
由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}．
10．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解析】存在．理由如下：
∵ f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的对称轴为x＝1，顶点为(1,1)且开口向上．
∵m>1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，
∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有
∴m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，∴m＝3或m＝1(舍) ∴存在实数m＝3满足条件．

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