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2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
12 数列的概念与简单表示
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 数列的概念
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
知识链接02 数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N*
知识链接03 数列的表示方法
（1）列表法：列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：
序号n 1 2 3 … n …
项an a1 a2 a3 … an …
（2）图象法：数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．
（3）通项公式法：如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式实际上是一个以N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．
（4）递推公式法：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
知识链接04 数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
知识链接05 常用结论
（1）若{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝．
（2）在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；
若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 由an与Sn的关系求通项公式
（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________．
（2）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是 ．
（3）设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________．
典例剖析02 由递推关系求通项公式
（1）在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________．
（2）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an， 则通项公式an＝________．
（3）若{an}满足2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0，且an>0，a1＝1，
则an＝____________．
（4）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________．
典例剖析03 数列的性质
（1）数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为______．
（2）若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 021的值为________．
（3）已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为________．
（4）已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn＋1，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
（5）数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是 ．
（6）数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项的值是________．
（7）在数列{an}中，an＝(n＋1)n，则数列{an}的最大项是第________项．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知数列，，，，，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为 ．
2．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，则能使an＝3的n的值可以等于(　　)
A．15 B．16 C．17 D．18
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于 ．
4．(多选)下列四个命题中，正确的有(　　)
A．数列的第k项为1＋
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列
5．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．
给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　)
A．an＝3n B．an＝n2＋1 C．an＝ D．an＝ln
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝ ．
7．在一个数列中，如果 n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 021等于 ．
8．若数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝ ．
9．已知{an}的通项公式为an＝n2－11n＋，a5是数列{an}的最小项，则实数a的取值范围是 ．
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．
（1）Sn＝2n－1，n∈N*；
（2）Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*．
11．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
12．已知Sn是数列{an}的前n项和，且an－Sn＝n－n2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝－5an，求数列{bn}中最小的项．
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
12 数列的概念与简单表示
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 数列的概念
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
知识链接02 数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N*
知识链接03 数列的表示方法
（1）列表法：列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：
序号n 1 2 3 … n …
项an a1 a2 a3 … an …
（2）图象法：数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．
（3）通项公式法：如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式实际上是一个以N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．
（4）递推公式法：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
知识链接04 数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
知识链接05 常用结论
（1）若{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝．
（2）在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；
若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 由an与Sn的关系求通项公式
（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________．
（2）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是 ．
（3）设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________．
【答案】（1）2n＋1 （2）an＝ （3）
典例剖析02 由递推关系求通项公式
（1）在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________．
（2）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an， 则通项公式an＝________．
（3）若{an}满足2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0，且an>0，a1＝1，
则an＝____________．
（4）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________．
【答案】（1）an＝4－ （2）an＝ （3）an＝n·2n－1 （4）an＝－2n－1
典例剖析03 数列的性质
（1）数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为______．
（2）若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 021的值为________．
（3）已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为________．
（4）已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn＋1，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
（5）数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是 ．
（6）数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项的值是________．
（7）在数列{an}中，an＝(n＋1)n，则数列{an}的最大项是第________项．
【答案】（1）1 （2）2 （3）(0，＋∞) （4）(－∞，3) （5）[9,12] （6） （7）6或7
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知数列，，，，，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为 ．
【答案】
2．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，则能使an＝3的n的值可以等于(　　)
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】 B　
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于 ．
【答案】 2＋ln n
4．(多选)下列四个命题中，正确的有(　　)
A．数列的第k项为1＋
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列
【答案】 ABD
5．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．
给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　)
A．an＝3n B．an＝n2＋1
C．an＝ D．an＝ln
【答案】 CD
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝______.
【答案】
7．在一个数列中，如果 n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 021等于 ．
【答案】 4 714
8．若数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝ ．
【答案】 1
9．已知{an}的通项公式为an＝n2－11n＋，a5是数列{an}的最小项，则实数a的取值范围是 ．
【答案】 [－40,0]
【解析】 由已知条件得a5是数列{an}的最小项，所以
即解得.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．
（1）Sn＝2n－1，n∈N*；
（2）Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*．
【答案】（1）an＝2n－1(n∈N*) （2）an＝．
11．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
【解析】（1）∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，
∴＝＝…＝＝1，∴an＝n(n∈N*)．
（2）由题意及（1）知bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<.
令cn＝，则＝·＝>1.
∴{cn}为递增数列，∴λ12． Sn是数列{an}的前n项和，且an－Sn＝n－n2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝－5an，求数列{bn}中最小的项．
【解析】（1）对任意的n∈N*，由an－Sn＝n－n2，得an＋1－Sn＋1＝(n＋1)－(n＋1)2，
两式相减得an＝n，因此数列{an}的通项公式为an＝n.
（2）由（1）得bn＝2n－5n，
则bn＋1－bn＝[2n＋1－5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5.
当n≤2时，bn＋1－bn<0，即bn＋1b2>b3；
当n≥3时，bn＋1－bn>0，即bn＋1>bn，∴b3所以数列{bn}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.

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