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2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
13 等差数列及其前n项和
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 等差数列的有关概念
（1）定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
（2）符号语言：an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
（3）等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，
则A叫做a与b的等差中项，且有A＝．
知识链接02 等差数列的通项公式
（1）an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d；
（2）an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；
（3）an＝kn＋b(k∈R)．
知识链接03 等差数列公差的求法
（1）d＝a2－a1＝a3－a2＝……＝an＋1－an ；
（2）d＝ ．
知识链接04 等差数列的单调性
当d>0时，是递增数列；当d＝0时，是常数列；当d<0时，是递减数列．
知识链接05 等差数列的前n项和公式
（1）Sn＝＝＝＝……；
（2）Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n；
（3）Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
知识链接06 判断数列{an}是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
（2）中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
（3）通项法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
（4） Sn 法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
知识链接07 等差数列的性质 已知{an}为等差数列，其公差为d，前n项和为Sn．
（1）若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
（2）ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
（3）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列且公差为n2d．
（4）为等差数列，且首项为a1，公差是．
（5）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 等差数列基本量的运算
（1）已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝________．
（2）已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则d＝________．
（3）已知等差数列{an}前n项的和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________．
（4）已知等差数列{an}前n项的和为Sn，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝______．
（5）已知等差数列{an}前n项的和为Sn，若S4＝24，S9＝99，则a7＝________．
典例剖析02 等差数列的判定与证明
（1）已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．
（ⅰ）记bn＝log2(an＋1)，判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
（ⅱ）求数列{an}的通项公式．
（2）记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且当n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S．
（ⅰ）证明：数列是等差数列；
（ⅱ）求数列{an}的通项公式．
典例剖析03 等差数列的性质及其应用
（1）设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于________．
（2）在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为________．
（3）等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋(a＋3)n＋a2－2a－3，则a＝____．
（4）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于________．
（5）等差{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
（6）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝1，S12＝4，则S18＝________．
（7）已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为________．
知识链接05 前n项和的最值问题与绝对值和问题
（1）已知数列{an}的通项an＝－2n＋15，则其前n项和Sn取得最大值时的n的值为________．
（2）在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值时的n的值为________．
（3）在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．
（4）(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
（5）(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S6S8，则(　　)
A．在数列{an}中，a1最大 B．在数列{an}中，a3或a4最大
C．S3＝S10 D．当n≥8时，an<0
（6）在等差数列{an}中，a1＝13，公差d＝－4，则{|an|}前n项和Tn＝________．
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知{an}是等差数列，且a2＋a5＋a8＋a11＝48，则a6＋a7等于________．
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
3．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1＋a10＝a9，则＝________．
4．若数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则a3＝ ，通项公式an＝________．
5．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11＝________．
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则m＝________．
7．已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________．
8．数列{an}的前n项和Sn＝n(2n－1)，若k－l＝4(k，l∈N*)，则ak－al等于________．
9．等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则an＝ ，S10＝_______．
10．已知在数列{an}中，a6＝11，且nan－(n－1)an＋1＝1，则an＝______；的最小值为______．
11．已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于________．
12．数列{an}满足a1＝2，a2＝3，且an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前9项之和为______．
13．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是________．
14．数列{an}满足a1＝1，(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1，且an＋1>an(n∈N*)，则{an}的通项公式an＝____．
15．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a20＝________．
16．若数列{an}为等差数列，an>0，前n项和为Sn，且S2n－1＝a，则a9的值是 ．
17．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
18．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的(　　) 条件 （填：充分而不必要、必要而不充分、充分必要、既不充分也不必要）
19．设{an}是等差数列，且公差不为零，其前n项和为Sn.则“ n∈N*，Sn＋1>Sn”是“{an}为递增数列”的(　　) 条件（填：充分而不必要、必要而不充分、充分必要、既不充分也不必要）
20．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5 C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
21．(多选)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是(　　)
A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S19＝0
22．(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　)
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
23．(多选)设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则(　　)
A．a2a9的最大值为10 B．a2＋a9的最大值为2
C．＋的最大值为 D．a＋a的最小值为200
24．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N*，满足
Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　)
A．a9＝17 B．a10＝18 C．S9＝81 D．S10＝91
25．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则(　　)
A．an＝－ B．an＝
C．数列为等差数列 D．＋＋…＋＝－5 050
26．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6．
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
27．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
2022年下学期 高二数学 同步复习讲义
13 等差数列及其前n项和
◇ 知 识 链 接 ◇
知识链接01 等差数列的有关概念
（1）定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
（2）符号语言：an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
（3）等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，
则A叫做a与b的等差中项，且有A＝．
知识链接02 等差数列的通项公式
（1）an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d；
（2）an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；
（3）an＝kn＋b(k∈R)．
知识链接03 等差数列公差的求法
（1）d＝a2－a1＝a3－a2＝……＝an＋1－an ；
（2）d＝ ．
知识链接04 等差数列的单调性
当d>0时，是递增数列；当d＝0时，是常数列；当d<0时，是递减数列．
知识链接05 等差数列的前n项和公式
（1）Sn＝＝＝＝……；
（2）Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n；
（3）Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
知识链接06 判断数列{an}是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
（2）中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
（3）通项法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
（4） Sn 法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
知识链接07 等差数列的性质 已知{an}为等差数列，其公差为d，前n项和为Sn．
（1）若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
（2）ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
（3）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列且公差为n2d．
（4）为等差数列，且首项为a1，公差是．
（5）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 等差数列基本量的运算
（1）已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝________．
（2）已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则d＝________．
（3）已知等差数列{an}前n项的和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________．
（4）已知等差数列{an}前n项的和为Sn，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝______．
（5）已知等差数列{an}前n项的和为Sn，若S4＝24，S9＝99，则a7＝________．
【答案】（1）－17 （2）2 （3）126 （4）25 （5）15
典例剖析02 等差数列的判定与证明
（1）已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．
（ⅰ）记bn＝log2(an＋1)，判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
（ⅱ）求数列{an}的通项公式．
【解析】（1）（ⅰ）{bn}是等差数列，理由如下：b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，
当n≥2时，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)＝log2＝log2＝1，
∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．
（ⅱ）由（ⅰ）知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＋1＝＝2n，∴an＝2n－1.
（2）记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且当n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S．
（ⅰ）证明：数列是等差数列；
（ⅱ）求数列{an}的通项公式．
【解析】（2）（ⅰ）证明　当n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S，
即(Sn－Sn－1)·(2Sn－1)＝2S，即2S－Sn－2Sn·Sn－1＋Sn－1＝2S，
故－Sn＋Sn－1＝2Sn·Sn－1，故－＝2，
易知＝＝1，故是首项为1，公差为2的等差数列．
（ⅱ）由（ⅰ）可知，＝2n－1，故Sn＝，
所以an＝Sn－Sn－1＝－＝(n≥2)，
当n＝1时，上式不成立，
所以an＝
典例剖析03 等差数列的性质及其应用
（1）设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于________．
（2）在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为________．
（3）等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋(a＋3)n＋a2－2a－3，则a＝____．
（4）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于________．
（5）等差{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
（6）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝1，S12＝4，则S18＝________．
（7）已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为________．
【答案】（1）36 （2）8 （3）3或－1 （4）4 046 （5） （6）9 （7）20
知识链接05 前n项和的最值问题与绝对值和问题
（1）已知数列{an}的通项an＝－2n＋15，则其前n项和Sn取得最大值时的n的值为________．
（2）在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值时的n的值为________．
（3）在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．
（4）(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
（5）(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S6S8，则(　　)
A．在数列{an}中，a1最大 B．在数列{an}中，a3或a4最大
C．S3＝S10 D．当n≥8时，an<0
（6）在等差数列{an}中，a1＝13，公差d＝－4，则{|an|}前n项和Tn＝________．
【答案】（1）7 （2）15 （3）5或6 （4）ABD （5）AD （6）Tn＝
◇ 小 试 牛 刀 ◇
1．已知{an}是等差数列，且a2＋a5＋a8＋a11＝48，则a6＋a7等于________．
【答案】 24
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
【答案】 25
3．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1＋a10＝a9，则＝________．
【答案】
4．若数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则a3＝ ，通项公式an＝________．
【答案】 9　3n
5．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11＝________．
【答案】 44
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则m＝________．
【答案】 1 011
7．已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________．
【答案】 2n－1
8．数列{an}的前n项和Sn＝n(2n－1)，若k－l＝4(k，l∈N*)，则ak－al等于________．
【答案】 16
9．等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则an＝ ，S10＝_______．
【答案】 2n－11　0
10．已知在数列{an}中，a6＝11，且nan－(n－1)an＋1＝1，则an＝______；的最小值为______．
【答案】 2n－1　44
11．已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于________．
【答案】 19
12．数列{an}满足a1＝2，a2＝3，且an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前9项之和为______．
【答案】 34
13．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是________．
【答案】 17
14．数列{an}满足a1＝1，(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1，且an＋1>an(n∈N*)，则{an}的通项公式an＝____．
【答案】 n2
15．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a20＝________．
【答案】 40
16．若数列{an}为等差数列，an>0，前n项和为Sn，且S2n－1＝a，则a9的值是 ．
【答案】 19
17．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】 3n2－2n
18．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的(　　) 条件 （填：充分而不必要、必要而不充分、充分必要、既不充分也不必要）
【答案】 充分而不必要
19．设{an}是等差数列，且公差不为零，其前n项和为Sn.则“ n∈N*，Sn＋1>Sn”是“{an}为递增数列”的(　　) 条件（填：充分而不必要、必要而不充分、充分必要、既不充分也不必要）
【答案】 充分而不必要
20．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5 C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
【答案】 ABC
21．(多选)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是(　　)
A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S19＝0
【答案】 ACD
22．(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　)
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
【答案】 BC
23．(多选)设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则(　　)
A．a2a9的最大值为10 B．a2＋a9的最大值为2
C．＋的最大值为 D．a＋a的最小值为200
【答案】 ABD
24．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N*，满足
Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　)
A．a9＝17 B．a10＝18 C．S9＝81 D．S10＝91
【答案】 BD　
25．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则(　　)
A．an＝－ B．an＝
C．数列为等差数列 D．＋＋…＋＝－5 050
【答案】 BCD　
26．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵S2＝2，S3＝－6，∴解得
∴an＝4＋(n－1)×(－6)＝－6n＋10，∴Sn＝4n＋×(－6)＝－3n2＋7n.
（2）假设存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，则2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3，
∴2[－3(n＋2)2＋7(n＋2)＋2n]＝－3n2＋7n＋7(n＋3)－3(n＋3)2，解得n＝5.
27．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
【解析】（1）∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，
∵a1＝8，a4＝2，∴d＝＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，则由（1）可得，
Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
由（1）知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，
∴当n>5时，an<0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
∴Tn＝

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