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运动学：追及相遇问题
人教版高三年级
物理基础知识复习
　　“追及”、“相遇”是运动学中研究同一直线上两个物体的运动时常常涉及的两类问题，两者的基本特征相同，处理方法也大同小异．
1．同时同位
　　两物体相遇一定是同一时刻处在同一位置．
　　(1)位移关系：x2＝x0＋x1
　　x0表示开始运动时两物体间的距离，x1表示前面被追物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移．
　　(2)时间关系：t1＝t2＝t
　　即追及过程经历时间相同，但t1、t2不一定是两物体运动的时间．
2．临界条件
　　当两物体速度相等时可能出现恰能追及、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即该四种情况的临界条件为
v1＝v2
　　3．分析v－t图象
　　说明：(1)Δx是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；
　　(2)x0是开始追及以前两物体之间的距离；
　　
　　(3)v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度．
4．解“追及”、“相遇”问题的思路
　　(1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图．
　　(2)根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程．注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程．
　　
(4)联立方程求解．
5．分析“追及”、“相遇”问题时应注意的问题
　　(1)分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住一个条件、两个关系．一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．两个关系是时间关系和位移关系．一定要养成画草图分析问题的良好习惯．
　　(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意在追上前，该物体是否已经停止运动．
　　(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件．
例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
x汽
x自
△x
二、例题分析
方法一：公式法
当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则
x汽
x自
△x
那么，汽车经过多少时间能追上自行车 此时汽车的速度是多大 汽车运动的位移又是多大？
方法二：图象法
解：画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移x自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。
v/ms-1
自行车
汽车
t/s
o
6
t0
V-t图像的斜率表示物体的加速度
当t=2s时两车的距离最大
动态分析随着时间的推移,矩形面积(自行车的位移)与三角形面积(汽车的位移)的差的变化规律
α
方法三：二次函数极值法
设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则
x汽
x自
△x
那么，汽车经过多少时间能追上自行车 此时汽车的速度是多大 汽车运动的位移又是多大？
方法四：相对运动法
选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v0=-6m/s，a=3m/s2，vt=0
对汽车由公式
问：xm=-6m中负号表示什么意思？
以自行车为参照物,公式中的各个量都应是相对于自行车的物理量.注意物理量的正负号.
表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.
例2：A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
方法一：公式法
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
由A、B 速度关系：
由A、B位移关系：
方法二：图象法
v/ms-1
B
A
t/s
o
10
t0
20
方法三：二次函数极值法
代入数据得
若两车不相撞，其位移关系应为
其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有
或列方程
代入数据得
∵不相撞 ∴△<0
方法四：相对运动法
以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0
以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号.
　　例3 甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图中所示，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0~20 s的运动情况.关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是(　　)
　　A．在0～10 s内，两车逐渐靠近
　　B．在10～20 s内，两车逐渐远离
　　C．在5～15 s内，两车的位移相等
　　D．在t＝10 s时，两车在公路上相遇
C
例4：某人骑自行车，v1=4m/s，某时刻在他前面7m处有一辆以v2=10m/s行驶的汽车开始关闭发动机，a=2m/s2，问此人多长时间追上汽车 （ ）
A、6s B、7s C、8s D、9s
C
注意“刹车”运动的单向性！
例5. (08海南) t=O 时，甲乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们的v一t 图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是 　
A．在第1小时末，乙车改变运动方向
B. 在第2 时末，甲乙两车相距10 km
C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D．在第4小时末，甲乙两车相遇
（BC）
例6.(08四川)（16分）A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84m 处时，B车速度为4m/s,且正以2m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20m/s的速度做匀速运动。经过12s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？
【解析】设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两车在t0时相遇。则有
①
②
由①②③式得
④
式中，t0=12s， vA=20m/s，vB=4m/s，a=2m/s2 s=84m。
代入数据有 ⑤
解得 t1=6s，t2=18s ⑥
t2=18s不合题意，舍去。因此，B车加速行驶的时间为6s。
③
例7.甲乙两年在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图所示。两图象在t=t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面，相距为d。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是
A.t′＝t1 ,d=S B.
C. D.
（D）
例8．甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一
方向沿直线运动中，甲以10ｍ/s的速度匀速行驶，
乙以2m/s2的加速度由静止启动，求：
(1)经多长时间乙车追上甲车 此时甲、乙两车
速度有何关系
(2)追上前经多长时间两者相距最远 此时二者
的速度有何关系
答案解析：
（1）设乙车追上甲车的时间为t，则
v甲t= at ，解得t=10s
此时v乙=at=20m/s
因此v乙=2v甲
故经过10s乙车追上甲车，此时乙车的速度是甲车速度的两倍；
（2）当v乙′=v甲时两车相距最远，
有v甲=at′得t′=5s
设所经过的时间为t′，则
x甲=v甲t′=10×5m=50m
x乙= at‘ =12×2×52m=25m
△x=x甲-x乙=25m
故经过5s两车相距最远，相距25m，此时两车的速度相等。

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