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1.1　集合的概念
第2课时　集合的表示
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点) 1、数学抽象 逻辑推理
【自主学习】
一．列举法
把集合的元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法．
思考1：列举法的特点有哪些
描述法
（1）定义：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法．
（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 .
思考2：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2){x|x>1}与{y|y>1}是不是相同的集合？
思考3：描述法的特点有哪些
注意：(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.
(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}.
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}． (　　)
(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．(　　)
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　　)
(4)集合{x|x＞3，且x∈N}与集合{x∈N|x＞3}表示同一个集合．(　　)
(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1,0,1}．(　　)
2．(1)由方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合为________；
(2)不等式4x－5＜3的解集为________．
【经典例题】
题型一　用列举法表示集合
点拨：使用列举法表示集合的四个注意点
（1）元素间用“，”分隔开；
（2）元素不重复，满足元素的互异性；
（3）元素无顺序，满足元素的无序性；
（4）对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
例1　用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由120以内的所有质数组成的集合．
【跟踪训练】1 用列举法表示下列集合：
(1)绝对值小于5的偶数；
(2)24与36的公约数；
(3)方程组的解集．
题型二　用描述法表示集合
点拨：用描述法表示集合时的三个注意点
（1）用描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.
（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围.
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.
例2　用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【跟踪训练】2 下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们各自的含义是什么？
(2)它们是不是相同的集合？
题型三　列举法与描述法的综合运用
例3 已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【跟踪训练】3 若、、且、，集合，则用列举法可表示为______.
【当堂达标】
1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1,1} B．{1} C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
2.已知集合A＝{x|－1＜x＜，x∈Z}，则一定有(　　)
A．－1∈A　　 B.∈A C．0∈A D．1 A
3.给出下列说法：
①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；
②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集；
③集合{x|x∈N ，x<5}＝{0,1,2,3,4}；
④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．
其中正确说法的序号是(　　)
A．①② B．②③ C．② D．①③④
4.集合用列举法表示为______.
5.选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
6.用列举法表示如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
【课堂小结】
1.掌握2种方法——列举法和描述法
表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．
2.规避1个易错点——点集与数集的区别
处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．
【参考答案】
【自主学习】
1．一一列举 花括号“{}”
思考1：集合中的元素一目了然，适合表示元素较少的集合.
2．（1）共同特征 （2）一般符号 取值(或变化)范围 共同特征
思考2：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.
(2) 相同，只是代表元素的符号不同，但是元素相同.．
思考3：运算的规律与性质能清楚地表示出来，适合表示无限集或元素较多的集合.语言简洁、抽象.
【小试牛刀】
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2.(1){－3,3}或{x|x2－9＝0} 解析：由x2－9＝0得x＝±3，所以方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合为{－3,3}．也可用描述法表示为{x|x2－9＝0}．
(2){x|x＜2} 解析：由4x－5＜3得x＜2.所以不等式4x－5＜3的解集为{x|x＜2}．
【经典例题】
例1 解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．
(3)设由1 20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
【跟踪训练】1解：(1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集．
(2){1,2,3,4,6,12}，是有限集．
(3)由得
∴方程组的解集为{(x，y)|}＝{(x，y)|}
＝{(1,1)}，是有限集．
例2　解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N ，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N }．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈ ，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
【跟踪训练】2 解：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．
例3 C 解析：因为，所以中含6个元素．
故选：C.
【跟踪训练】3 解析：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以用列举法可表示为.故答案为：.
【当堂达标】
1．B　
2.C 解析：因为－1＜0＜，且0∈Z，所以0∈A.
3.C
4.{2,3}或{3,2} 解析：方程的两个解为2或3，故集合
故答案为：{2,3}或{3,2}.
5.解：(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；
(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；
(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．
6.解：题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.

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