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1.2　集合间的基本关系
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点) 2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点) 3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。 1、逻辑推理 2、直观想象 3、数形结合
【自主学习】
一. 子集的相关概念
1．Venn图
表示：在数学中，经常用平面上 ___ ___ 的_____代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
优点：形象直观。
2.子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的 元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素_________ ，就称集合A是集合B的真子集 A B(或B A)
集合相等 如果集合A的 元素都是集合B的元素，同时集合B的 元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A B
思考1：任何两个集合之间是否有包含关系？
思考2：符号“∈”与“ ”有何不同？
3.集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则 ；
②若AB，BC，则 .
(3)若A B，A≠B，则 .
(4)若A B，且B A，则 .
二. 空集
定义 的集合叫做空集
符号 用符号表示为___
规定 空集是任何集合的 ，是任何非空集合的________
思考3：{0}与 相同吗？
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　)
(2)任何一个集合都有子集．(　　)
(3)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　　)
(4)任何集合都有子集和真子集．(　　)
2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是(　　)
A．0 A B．{0}∈A C． ∈A D．{0} A
【经典例题】
题型一　集合间关系的判断
点拨：判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．
提示：若A B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系.
例1 下列各式中，正确的个数是(　　)
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2} {2,1,0}；③ {0,1,2}；④ ＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4
【跟踪训练】1
(1)能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
题型二　子集、真子集的个数问题
点拨：
1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个．
2．求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
例2 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
例2-变式 写出集合{a,b,c}的所有子集 写出集合{a,b,c,d}的所有子集
【跟踪训练】2
已知集合M满足：{1,2}M {1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．
题型三　根据集合的包含关系求参数
点拨：
1.分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．
2.借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
3.此类问题要注意对空集的讨论．
思考：集合A＝{x|1例3已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．
【跟踪训练】3 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a的取值集合．
【当堂达标】
1.下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；
④若 A，则A≠ .其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　)
A．16 B．8 C．7 D．4
3.已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是(　　)
A．A B B．A B C．AB D．AB
4.设A＝{x|2A．m>3 B．m≥3 C．m<3 D．m≤3
5.满足{a，b} A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是(　　)
A．2　　　　　B．6 C．7 D．8
6.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B A，求由实数a的值组成的集合C.
7.已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1【课堂小结】
1．辨清4个概念
(1)子集；(2)真子集；(3)空集；(4)集合相等．
2．掌握3种方法
(1)会判断两集合的关系，当所给的集合是与不等式有关的无限集时，常借助数轴，利用数形结合思想判断．
(2)会求子集、真子集的个数问题．求集合的子集时，可按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
(3)对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
3．规避2个易错点
(1) 是任何集合的子集；
(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
【参考答案】
【自主学习】
一．1.封闭曲线 内部 2.任意一个 x∈B，且x A 任何一个 任何一个 ＝
思考1：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
思考2：符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“ ”表示集合与集合之间的关系．
3. A A A C AC AB A＝B
二．不含任何元素 子集 真子集
思考3：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
【小试牛刀】
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2. D解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0} A，D正确．
【经典例题】
例1 B 解析：(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.
【跟踪训练】1 (1)B 解析：解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．
(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图
例2 解：集合{a,b}的所有子集为 ，{a}，{b}，{a,b}. 真子集为 ，{a}，{b}.
例2-变式：集合{a,b,c}的所有子集为 ，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}.
集合{a,b,c,d}的所有子集为 ，{a}，{b}，{c}，{d}，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，
{b,d}，{c,d}，{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}，{a,b,c,d}.
【跟踪训练】2 解：由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
思考：不一定．当b≤1时，A＝ ，其不含有任何元素，当b>1时，集合A中含有元素.
例3 解： (1)当B＝ 时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠ 时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
【跟踪训练】3　解：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝时，
由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.
(2)当B＝ 时，满足B A，此时a＝0；当B≠ ，a≠0时，集合B＝，
由B A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.
综上所述，实数a的取值集合为
【当堂达标】
1.B解析：①空集是它本身的子集；②空集只有一个子集；③空集不是它本身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错误，④正确．
2.C 解析：易知集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，∴A的真子集有23－1＝7个.
3.D 解析：集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA.
4.B解析：因为A＝{x|25.C 解析：由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，共7个．
6.解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2. 所以A＝{1,2}．
因为B A，所以对B分类讨论如下：①若B＝ ，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0；
②若B≠ ，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
7.解：(1)当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠ 时，有解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.

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