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1.3　集合的基本运算
第2课时 补集及综合应用
【学习目标】
学习目标 学科素养
1. 掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义；(难点) 2. 正确理解补集的概念，正确理解符号“”的含义； 3. 会求已知全集的补集，解决一些综合运算. (重点). 1、逻辑推理 2、直观想象 3、数学运算
【自主学习】
一．全集
文字语言 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为______
记法 通常记作____
图示
二．补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中______集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于______的补集，简称为集合A的补集，记作______
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x____A}
图形语言
解读： UA的三层含义：
(1) UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A U；
(3) UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
三．补集与全集的性质：
(1) UU＝ ；(2) U ＝ ；(3) U( UA)＝ ；
(4)A∪ UA＝ ；(5)A∩ UA＝ 。
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)设全集是U，集合A U，若x是U中的任一元素，则要么x∈A，要么x∈ UA，二者必居其一且只具其一．( )
(2)全集没有补集．( )
(3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同．( )
(4)已知集合A＝{x| x＜1}，则 RA＝{ x | x＞1} (　　)
(5)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．(　　)
2．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则 UM＝(　　)
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2}
C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x≤0，或x≥2}
【经典例题】
题型一 补集定义的应用
点拨：求集合补集的两种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
例1 设U={x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求 UA， UB.
【跟踪训练】1 若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求 SA.
(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．
题型二 交、并、补的综合运算
点拨：求集合交、并、补运算的方法
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边界问题．
例2 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2【跟踪训练】2 设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}， UA＝{5}，求实数m.
题型三 利用集合间的关系求参数
例3 已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{4}，求A∪B.
【跟踪训练】3 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【当堂达标】
1.已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则( UB)∩A＝(　　)
A．{3} B．{0,1,2,4,7,8} C．{1,2} D．{1,2,3}
2.设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则 RA等于(　　)
A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x<0或x>6} C．{x|03.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)＝(　　)
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
4．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
5.已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，( UA)∩B.
【课堂小结】
一．全集、补集概念的理解
1.全集的相对性：全集只是一个相对性的概念，只包含所研究问题中涉及的所有元素，全集因所研究问题的不同而不同。
2.补集的相对性：集合A的补集的前提是A是全集U的自己，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的。
二．补集的性质
1. UA∪A=U, UA∩A= .
2. U =U, UU= .
【参考答案】
【自主学习】
一．全集， U.
二．不属于全集U UA
三．(1) ；(2) U；(3) A；(4) U；(5) .
【小试牛刀】
1.(1)√ (2)× (3)√ (4) × (5)√ 2.A
【经典例题】
例1解：根据题意可知，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以 UA={4,5,6,7,8}， UB={1,2,7,8}。
【跟踪训练】1解：(1)把集合S和A表示在数轴上如图所示：
由图知 SA＝{x|x＜－1，或x≥1}．
(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：
由图易知 SA＝{x|x＜－1，或1≤x≤2}．
(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：
由图知 SA＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}．
例2 解：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下 ：
由图可知 UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2 U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ( UA)∩B＝{x|－3【跟踪训练】2 解：因为 UA＝{5}，所以5∈U但5 A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足 UA＝{5}；
当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．
综上，可知m＝3.
例3 解：由( UA)∩B＝{2}，得2∈B且2 A.
由A∩( UB)＝{4}，得4∈A且4 B.
分别代入得，
∴p＝－7，q＝6，∴A＝{3，4}，B＝{2，3}，
∴A∪B＝{2，3，4}．
【跟踪训练】3 解：由已知A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.
【当堂达标】
1.C解析：由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以( UB)∩A＝{1,2}．
2.B 解析：由补集定义并结合数轴易知 RA＝{ x | x <0或x >6}，故选B.
3. D 解析：∵A∪B＝{ x | x≤0或x≥1}，∴ U(A∪B)＝{ x |0＜x＜1}．故选D.3. 4
4. －3 解析：∵U＝{0,1,2,3}， UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
5.解：∵B＝{x|x≥3}， UA＝{x|x＜2或x≥4}，
∴A∪B＝{x|x≥2}，( UA)∩B＝{x|x≥4}．

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