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2023年中考数学复习专题★★
模块一 比例的性质和成比例线段的概念
一、比例的性质：
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或 或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质： 已知，则当时，.
二、成比例线段的概念：
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
3．黄金分割：
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
模块二 平行线分线段成比例定理
1．平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．
【教师备课提示】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
2．平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．
平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【教师备课提示】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可．
模块三 相似三角形的定义、性质和判定
1．相似图形
①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．
②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形的定义
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．对应边的比例叫做相似比．全等三角形是特殊的相似三角形，全等三角形的相似比是1．如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．注意：如果写成“”，则前后的字母一定对应；如果写成文字，则可以不对应．
3．相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等．如图，，则有．
②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有
4．相似三角形的判定
判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果，则．
判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
（1）已知，则的值是_______．
（2）若．则_______．
（3）若，且，则的值是_______．
（1）设，则________，________．
（2）已知：，则________．
（3）如果，则下列成立的等式是（ ）
A． B． C． D．
（1）已知线段，，线段c是a、b的比例中项，那么c等于________．
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且，，以CA为边的正方形的面积为，以BC、BG为边的矩形的面积为，则（填“”、“”或“”）．
（1）如图4-1，已知，用面积法证明：．
（2）如图4-2，，若，，，则______．
（3）如图4-3，，，，，则，．
图4-1 图4-2 图4-3
（1）如图5-1，中，BE平分，DE∥BC，若，，那么______．
（2）如图5-2，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
图5-1 图5-2
如图所示，，，，，连接EF，GH相交于点O．求证：GH与EF互相平分．
（1）下列命题正确的是（　　）
A．有一个角对应相等的平行四边形都相似 B．对应边成比例的两个平行四边形相似
C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似 D．有一个角对应相等的两个菱形相似
（2）一个矩形剪去一个宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是（　　）
A． B． C． D．
（1）且相似比为，且相似比为，则与的相似比为___________．
（2）如图8-1，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为________，和的周长比为________，面积比为_________．
（3）如图8-2，在平行四边形ABCD中，，，E是AD的中点，在AB上取一点F，使，则__________．
（4）如图8-3，在和中，，，，若这两个三角形相似，则BD的长为____________．
图8-1 图8-2 图8-3
（1）下列所给条件中，可以判断与相似的是（　　）
A．，，，，，
B．，，
C．，，，，，
D．，，，
（2）如图9-1，在中，点D是BC边上的中点，且，，交BA于点E，EC与AD相交于点F．求证：．
（3）如图9-2，为等腰直角三角形，，求证：．
图9-1 图9-2
（1）如果，则下列各式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
（2）已知：，求值：①；②．
（3）已知，求的值．
（1）已知两个数，，则它们的比例中项为_____________．
（2）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则____________cm，__________cm．
（1）如图3-1，直线，已知，，，_____．
（2）如图3-2，在中，D、E分别为AB、AC边上的点，若，，则___________．
（3）如图3-3，AB∥DE，AE与DB交于C，，，，则______．
图3-1 图3-2 图3-3
如图所示，在的边BC上，边AC上，求：．
（1）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知且，则___________．
（3）已知的三边长分别为、、2，的两边长分别是1和，如果与相似，那么的第三边长应该是（　　）
A． B． C． D．
如图，直角梯形ABCD中，，，点E在BC上，点F在AC上，．
（1）求证：．
（2）当，，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积．
相似三角形（一）
模块一 比例的性质和成比例线段的概念
模块二 平行线分线段成比例定理
模块三 相似三角形的定义、性质和判定
复 习 巩 固
模块一 比例的性质和成比例线段的概念
模块二 平行线分线段成比例定理
模块三 相似三角形的定义、性质和判定

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