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第一章 空间向量与立体几何——2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一大单元“四步复习法”
第一步：单元学习目标整合
必备知识 1.利用空间向量证明平行与垂直关系2. 利用空间向量求线线角、线面角、面面角3. 利用空间向量解决采索性问题或其他问题
关键能力 1.会建立空间直角坐标系，利用向量的知识证明平行与垂直2.以具体几何体为命题背景，直接求角或已知角求相关量
第二步：单元思维导图回顾知识
第三步：单元重难知识易混易错
重点一：空间向量及其线性运算
1.空间向量的概念
（1）空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
（2）空间向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或.
（3）零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0.
（4）单位向量：模为1的向量叫单位向量.
（5）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a.
（6）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
（7）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
2. 空间向量的运算律
a.空间向量的加法、减法及数乘运算：
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时，；
当时，.
b.空间向量线性运算的运算律：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，.（其中，）
3. 共线向量和共面向量
（1）共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使.
（2）直线的方向向量： O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
（3）共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
4.空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作. 如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
2.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可以得到：；.
3.空间向量数量积的运算律：，；（交换律）；（分配律）.
5.空间向量基本定理
（1）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
（2）如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
（3）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
（4）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解
[典例]
已知,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] ,,
,故当时，取得最小值，最小值为.故选D.
重点二：空间向量在立体几何中的应用
1.空间向量及其运算的坐标表示
（1）空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
（2）空间向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示：设，，则
，
，
，，
.
空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示：
当时，，，；
；
；
.
空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则.
2.用空间向量研究直线、平面的位置关系
（1）空间直线的向量表示式
取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，将代人①式，得 ②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
（2）空间平面的向量表示式
取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使 ③. 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
（3）空间中直线、平面的平行
①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.
②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.
③平面与平面平行：设，分别是平面，的法向量，则，使得.
（4）空间中直线、平面的垂直
①直线与直线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则.
②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.
③平面与平面垂直：设平面，的法向量分别为，，则.
[典例]
已知分别为直线的方向向量，则( )
A. ，但与不垂直
B. ，但与不垂直
C. ，但与不垂直
D. 两两互相垂直
[答案]：A
[解析] 因为，，，所以，a与c不垂直，，即，但与不垂直.故选A.
重点三：用空间向量研究距离、夹角问题
1.点到直线的距离
如图，向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得.
2.点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此
.
3.异面直线所成的角
若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
4.直线与平面所成的角
直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
5.二面角
若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则
[典例]
如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，
则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线AB与CM所成角为，
则.故选：C.
第四步：单元核心素养对接高考
考情分析
利用空间向量证明平行与垂直以及求空间角、空间距离均是高考的热点，通过向量的运算来证明直线平行、垂直，求夹角，难度中等，以解答题形式出现，把立体几何问题转化为空间向量问题.
高考真题
1.【2022年 新高考Ⅱ卷，20】如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.
（1）求证：平面PAC；
（2）若，，，求二面角正余弦值.
解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.
因为，所以.
因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以.
又平面POD，且，所以平面POD.
因为平面POD，所以，
又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
又平面ODE，，
所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）连接OA，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，，
所以.
易得在中，，
所以，，
又，
所以在中，.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，
设平面AEC的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面AEB的法向量为，
则，即，令，则.
所以.
设二面角的大小为，
则.
2.【2022年 全国甲卷(理)，17】在四棱锥中，底面ABCD，，，，.
（1）证明：；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则.
又，所以四边形DCBO为平行四边形.
又，
所以四边形DCBO为菱形，所以.
同理可得，四边形DCOA为菱形，所以，
所以.
因为底面ABCD，底面ABCD，所以，
又，平面ADP，所以平面ADP.
因为平面ADP，所以.
（2）由（1）知，又，所以，
所以三角形ADO为正三角形.
过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
则，，.
设平面PAB的法向量为，
则.
令，则，，所以.
设直线PD与平面PAB所成的角为，
则，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
3.【2022年 浙江卷，19】如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
解析：（Ⅰ）因为ABCD是直角梯形，，
所以，即，
因为CDEF是直角梯形，，
所以，即.
如图，在AB边上作，连接DH，易得，
在中，因为，所以，.
在DC边上作，连接EG，易得，
在中，因为，所以，.
易知二面角的平面角为，又，故为等边三角形，
又N为BC的中点，所以.
因为，，，所以平面BCF.
又平面BCF，所以.
因为，，故平面ABCD，
又平面ABCD，故.
（Ⅱ）如图，取AD的中点K，连接NK，以N为坐标原点，
以NK，NB，NF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面ADE的法向量为，
则，即，
取，则，，即是平面ADE的一个法向量.
设直线BM与平面ADE所成角为，
因为，
所以.
2

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