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第二章 直线和圆的方程
第一步：单元学习目标整合
必备知识 1.求直线的倾斜角、斜率及直线方程2.圆的几何性质的应用3.求圆的方程
关键能力 1.根据两直线平行或垂直求参数的值2.利用位置关系解决参数问题3.利用位置关系解决轨迹等综合问题
第二步：单元思维导图回顾知识
第三步：单元重难知识易混易错
重点一：直线的有关问题
(1)直线的斜率公式
①已知直线的倾斜角为α(α≠90°)，则直线的斜率为k＝tan α．
②已知直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2≠x1)，则直线的斜率为k＝　(x2≠x1)．
(2)三种距离公式
①两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝．
②点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
③两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线的距离d＝．
(3)直线与圆相交时弦长公式
设圆的半径为R，圆心到弦的距离为d，则弦长l＝2．
(4)直线方程的五种形式
①点斜式：y－y0＝k(x－x0)．
②斜截式：y＝kx＋b．
③两点式：＝．
④截距式：＋＝1　 (a≠0，b≠0)．
⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
(5)直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(ⅰ)两直线平行：l1∥l2 k1＝k2．
(ⅱ)两直线垂直：l1⊥l2 k1·k2＝－1．
②当两直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0时：
(ⅰ)l1与l2平行或重合 A1B2－A2B1＝0．
(ⅱ)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
[典例]
直线，的图象可能是( )
A. B.
C. D.
[答案]：C
[解析] 直线可化为，直线可化为.
A中，由可知，，但此时与图像不符，错误；
B中，由可知，，但此时与图像不符，错误；
C中，由可知，，此时图象合理，正确；
D中，由可知，，但此时与图像不符，错误.
故选：C.
重点二：圆的有关问题
1.圆的三种方程
①圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
③圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0　(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
2.判断直线与圆的位置关系的方法
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0 相交，Δ<0 相离，Δ＝0 相切．
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr 相离，d＝r 相切．(主要掌握几何方法)．
3.两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系
设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.
圆心距与两圆半径的关系 两圆的位置关系
|O1O2|<|r1－r2| 内含
|O1O2|＝|r1－r2| 内切
|r1－r2|<|O1O2|<|r1＋r2| 相交
|O1O2|＝|r1＋r2| 外切
|O1O2|>|r1＋r2| 外离
[典例]
已知圆，若点A，B在圆C上，满足，且AB的中点M在直线上，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 圆C的方程可化为，因此圆心为，半径，连接CM，由于弦AB满足，所以，因此点M在以为圆心、1为半径的圆上.又点M在直线上，所以直线与圆有公共点，于是，解得.故选D.
第四步：单元核心素养对接高考
考情分析
从近几年高考情况来看，直线和圆主要考查方程的求法，常以选择题、填空题的形式出现.
高考真题
1.【2022年 新高考Ⅰ卷，14】写出与圆和都相切的一条直线的方程___________.
答案：或或.（填一条即可）
解析：通解：如图，因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以，，所以，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线的方程为.②另一条公切线与公切线关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为，由，得，由对称性可知公切线过点，设公切线的方程为，则点到的距离为1，所以，解得，所以公切线的方程为，即.③还有一条公切线与直线l：垂直，设公切线的方程为，易知，则点到的距离为1，所以，解得或（舍去），所以公切线的方程为，即.综上，所求直线方程为或或.
光速解：根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速看出直线是两圆的一条公切线，经验证符合题意，故可填.
2.已知直线，若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线l的方程是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意，得直线l过点，，由，，得，则，所以当时，S有最大值2，则直线l的方程是.
3.已知定点，P是圆上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是_______________.
答案：
解析：设点Q的坐标为，点P的坐标为，则，，即，.又点P在圆上，所以，即，故所求的轨迹方程为.
4.已知过点且斜率为k的直线l与圆交于M,N两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若，其中O为坐标原点，求.
答案：(1)由题设可知直线l的方程为.
因为直线l与圆C交于两点，所以，
解得，所以k的取值范围为.
(2)设，将代入方程，
整理得
所以，.
.
由题设可得，解得，所以直线l的方程为.
故圆心C在直线l上，所以.
2

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