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第四章 数列—
第一步：单元学习目标整合
必备知识 1.考查等差（比）数列的通项公式，前n项和公式，考查方程的思想以及运算能力2.以递推数列为载休，考查等差（比）数列的定义或等差（比）中项3.等差（比）数列项或和的一些简单性质的应用4.常与数列的项或前n项和结合考查等差（比）数列的性质5.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式，已知等差（比）的某些项或前几项的和，求其通项公式6.考查等差（比）数列的概念以及通项公式、前n项和公式等7.以等差（比）数列为命题背景，考查等差（比）的前n项和公式、分组求和8.以递推数列、等差（比）数列为命题背景，考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法
关键能力 1.以递推数列为命题背景考查等差（比）数列的证明方法2.等差（比）数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和3.常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等
第二步：单元思维导图回顾知识
第三步：单元重难知识易混易错
重点一：等差（比）数列的基本运算
1.等差数列
(1)等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)等差数列前n项和公式：Sn＝＝na1＋d．
(3)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
2.等比数列
(1)等比数列通项公式：an＝a1qn－1.
(2)等比数列前n项和公式：Sn＝.
(3)等比中项公式：a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)　
3.数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的关系
an＝
4.重要结论
通项公式的推广：
等差数列中，an＝am＋(n－m)d；
等比数列中，an＝am·qn－m .
5.等差（比）数列的判断与证明
（1）若{an}，{bn}均是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则{man＋kbn}，{}仍为等差数列，其中m，k为常数．
（2）若{an}，{bn}均是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m为常数)，{a}，{}仍为等比数列．
（3）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比数列，且公比为＝＝q．
（4）a.等比数列(q≠－1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其公比为qk．
b.等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d．
（5）若A2n－1，B2n－1分别为等差数列{an}，{bn}的前2n－1项的和，则＝．
6.等差（比）数列的性质
(1)增减性：
①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．
②等比数列中，若a1>0且q>1或a1<0且00且01，则数列为递减数列．
(2)等差数列{an}中，Sn为前n项和，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列；
等比数列{bn}中，Tn为前n项和．Tn，T2n－Tn，T3n－T2n，…一般仍成等比数列．
[典例]
在正项等比数列中,.则满足的的最大值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
[答案]：C
[解析] 设数列的公比为.正项等比数列中,,解得或.又,,,由得,,经检验满足题意.故选C.
重点二：求数列的通项公式及前n项和
1. 数列的通项公式
(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．
(2)已知Sn与an的关系，利用an＝求an．
(3)累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．
(4)累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)}前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．
(5)构造法：①递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)可化为an＋1＋＝p(an＋)(p≠1)的形式，利用{an＋}是以p为公比的等比数列求解；
②递推关系形如an＋1＝(p为非零常数)可化为－＝的形式．
2. 数列的前n项和
（1）分组求和法
分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
（2）裂项相消法
将数列的通项an分成两个代数式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如{}(其中{an}是公差d≠0且各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等．
（3）错位相减法
形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．
（4）倒序求和法
距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．
a.常见的拆项公式(其中n∈N*)
①．
②．
③．
④若等差数列{an}的公1差为d，则．
⑤．
⑥．
⑦．
b.公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式，如
①1＋2＋3＋…＋n＝；
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
3.与数列的和有关的综合应用
数列与函数、不等式的综合问题的常见题型
(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
(2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．
[典例]
已知为等比数列的前n项和，若，且是等差数列的前三项.
（1）求数列的前n项和；
（2）求数列的通项公式，并求使得的n的取值范围.
[解析] （1）设等比数列的公比为q，
由是等差数列的前三项，得，
即，
所以，整理得，解得.
由，得，所以， 所以.
（2）由（1）得，
所以，，
所以等差数列的前三项为，
所以.
由，得，即.
令，故有.
当时，，即；
当时，，即，而.
所以使得的n的取值范围是，.
第四步：单元核心素养对接高考
考情分析
1.本专题内容在高考试题中小题多以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题；解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推为主.
2.本专题重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理.
高考真题
1.【2022年 浙江卷，10】已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为，，所以，易知，所以有，所以可得.由，可得，即.一方面，由，累加可得（*），所以，从而.另一方面，由（*）式可得，所以，又，所以，由，累加可得，所以，所以.综上可知，.故选B.
2.【2022年 全国乙卷(文)，10】已知等比数列的前3项和为168，，则( )
A.14 B.12 C.6 D.3
答案：D
解析：解法一：设等比数列的首项为，公比为q，由题意可得，即，解得，所以，故选D.
解法二：设等比数列的首项为，公比为q，由题意可得，即，解得，所以，故选D.
3.【2022年 重庆市万州模拟，4】已知等差数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，，则（ ）
A.28 B.30 C.32 D.35
答案：D
解析：因为, 所以,
又因为, 所以公差,
所以 .故选D.
4.【2022年 四川内江模拟，6】已知等比数列的公比为，前项和为．若，，则（ ）
A.3 B.2 C. D.
答案：A
解析：由,两式作差得.,
即,故选A.
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