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第五章 一元函数的导数及其应用
第一步：单元学习目标整合
必备知识 1.确定或应用过某点的切线的斜率（方程）2.利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性（区间）3.根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围.4.利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值5.根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围
关键能力 1.利用导数研究函数的单调性2.利用导数研究函数的极值和最值
第二步：单元思维导图回顾知识
第三步：单元重难知识易混易错
重点一：导数的几何意义
1.基本初等函数的八个导数公式
原函数 导函数
αxα－1
2. 导数的四则运算法则
（1）；
（2）；
（3）.
3.复合函数的求导公式
设函数均可导，则复合函数也可导，且.
即：因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.（链式法则）.
4.切线的斜率
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
[典例]
已知函数，其导函数记为，则( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
[答案]：A
[解析] 由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，，所以.故选A.
重点二：利用导数研究函数的单调性和极值、最值
1.函数的单调性：在某个区间(a，b)内，如果f′(x0)>0那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x0)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值
a.函数的极值的定义
一般地，设函数f（x）在点x=x0及其附近有定义，
（1）若对于x0附近的所有点，都有f（x）（2）若对于x0附近的所有点，都有f（x）f（x0），则f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）.
极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
b.求函数极值的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极小值（最好通过列表法）.
3. 函数的最值
（1）函数的最小值与最大值定理
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值；在开区间
（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值，如.
（2）通过导数求数最值的的基本步骤：
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]有定义，在开区间（a，b）内有导数，则求函数y=f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数f（x）在（a，b）内的导数；
②求方程f（x）=0在（a，b）内的根；
③求在（a，b）内使f（x）=0的所有点的函数值和f（x）在闭区间端点处的函数值f（a），f（b）；
④比较上面所求的值，其中最大者为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最大值，最小者为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最小值.
[典例]
已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.-1
[答案]：A
[解析] 因为是奇函数，当时，的最小值为1，所以在区间上的最大值为-1，当时，，令，得.又，所以，令，则，所以在区间上单调递增；令，则，所以在区间上单调递减，所以，所以，则.故选A.
第四步：单元核心素养对接高考
考情分析
1.在高考试题中，导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，导数的应用主要考查函数的单调性，极值与最值，利用导数研究函数零点，不等式的证明及不等式恒成立或有解时参数的取值范围.
2.通过导数研究函数的单调性，极值、最值问题，考查分类讨论思想，等价转化思想等.
高考真题
1.【2022年 新高考Ⅰ卷，10】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为偶函数，则( )
A. B. C. D.
答案：BC
解析：通解（转化法）因为为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，，即，所以C正确；因为为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称，因为，所以函数的图象关于点对称，所以的周期，因为，所以，即，所以D不正确；因为，即，所以，所以，所以，所以B正确；不妨取，经验证满足题意，但，所以选项A不正确.综上，选BC.
光速解（特例法）因为，均为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称.取符合题意的一个函数，则，排除A；取符合题意的一个函数，则，即，所以，，所以，排除D.故选BC.
2.【2022年 新高考Ⅰ卷，15】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________.
答案：
解析：因为，所以.设切点为，O为坐标原点，依题意得，切线斜率，化简，得.因为曲线有两条过坐标原点的切线，所以关于的方程有两个不同的根，所以，解得或，所以a的取值范围是.
3.【2022年 新高考Ⅱ卷，14】曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，_________.
答案：，
解析：先求当时，曲线过原点的切线方程，设切点为，则由，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以，解得，代入，得，所以切线斜率为，切线方程为.同理可求得当时的切线方程为.综上可知，两条切线方程为，.
4.【2022年 全国乙卷(理)，16】已知，和分别是函数（且）的极小值点和极大值点.若，则a的取值范围是_________.
答案：
解析：由，得.令，得，因为且，所以显然，所以.令，则.令，得.故当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，也是最小值.因为有极小值点和极大值点，故有两个不同的根，，故的图象与直线有两个交点，所以，即，又，所以，又，所以易知当，时，；当时，.若，则当时，，不符合题意，所以，则，所以.
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