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(共35张PPT)
向量的数量积
本节目标
课前预习
预习检测
预习检测
a·b=|a||b|cos60°
B
B
6或-6
0
新知精讲
1．向量数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件 向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义 a与b的数量积(或内积)是数量__________
记法 ___________________
|a||b|cos θ
a·b＝|a||b|cos θ
(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
易错提醒
2．向量的数量积的几何意义
设两个非零向量a，b，它们的夹角为θ.
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为___________.
②向量a在b的方向上的投影为___________.
(2)数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与___________________________的乘积．
|b|cos θ
|a|cos θ
b在a的方向上的投影|b|cos θ
(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成 .
(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
知识点睛
(1)a⊥b _____________.
(2)当a与b同向时，a·b＝________，
当a与b反向时，a·b＝_________.
(3)a·a＝______或|a|＝ .
(4)cos θ＝__________.
(5)|a·b|______|a||b|.
3．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量， θ为a与b的夹角．
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即
若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；
若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
知识点睛
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________(交换律)；
(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝_____________(分配律)．
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2) (a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
易错提醒
典例剖析
题型一 向量数量积的运算
[典例]　(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b; ②(a＋b)·(a－2b)．
①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
典例剖析
题型一 向量数量积的运算
方法技巧
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
活学活用
A
B
C
4
4
0
-16
-16
典例剖析
题型二 与向量的模有关的问题
典例剖析
题型二 与向量的模有关的问题
方法技巧
向量模的常见求法
活学活用
a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4， a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
难点突破
题点一：求两向量的夹角
A
题点二：证明两向量垂直
2．已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直．
方法技巧
求向量a与b夹角的思路
易错解析
向量线性运算与数量积运算应用不当致误
错因与防范
随堂检测
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则a＝0或λ＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
B
2．(高考北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)
A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|=0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.
由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.
故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
D
3．已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b方向上的投影是________．
2
4．已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5× ＝10 .
本课小结
1．向量数量积的求法
2 ．求向量a与b夹角的思路
3 ．向量模的常见求法

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