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圆锥曲线三种弦长问题的探究
在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究：
一、一般弦长计算问题：
例1、已知椭圆，直线被椭圆C截得的弦长为，且，过椭圆C的右焦点且斜率为的直线被椭圆C截的弦长AB，
⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.
思路分析：把直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.
解析：⑴由被椭圆C截得的弦长为，得，………①
又，即，所以………………………….②
联立①②得，所以所求的椭圆的方程为.
⑵∴椭圆的右焦点，∴的方程为：，
代入椭圆C的方程，化简得，
由韦达定理知，
从而，
由弦长公式，得，
即弦AB的长度为
点评：本题抓住的特点简便地得出方程①，再根据得方程②，从而求得待定系数，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。
二、中点弦长问题：
例2、过点作抛物线的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。
思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率，有P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.
解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为，
则有，两式相减，得
又
则，所以所求直线AB的方程为，即.
解法2：设AB所在的直线方程为
由，整理得.
设，由韦达定理得，
又∵P是AB的中点，∴，∴
所以所求直线AB的方程为.
由 整理得，，则
有弦长公式得，.
点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.
三、焦点弦长问题：
例3、（同例1、⑵）
另解：⑵∴椭圆的右焦点，∴的方程为： ，
代入椭圆C的方程，化简得，
由韦达定理知，
由过右焦点，有焦半径公式的弦长为.
即弦AB的长度为
点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.

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