资源简介

PAGE
圆锥曲线中最值和范围问题
班级________姓名___________学号_________
【问题呈现】
1．椭圆上一动点M满足：为钝角，则M点横坐标的取值范围_______．
2．已知点，P是抛物线上一动点，则的最小值为___________．
3．椭圆上一动点P，则P到直线的距离最小值为：________．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为__________．
5．斜率为1的直线与椭圆交于A,B两不同点，则线段AB中点M 的轨迹方程为_______．
【方法小结】
求解范围问题的一般方法：
（1）结合定义，利用图形找出几何量的有界性；
（2）构造一个二次方程，利用判别式0；
（3）函数法是探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．
（4）利用代数基本不等式．代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性．直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式．因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题．
【典题剖析】
例1已知圆⊙，动圆与⊙相切且过定点；
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与轨迹交于两点，求四点围成的四边形面积的最大值。
例2已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值．
课后练习
1．已知为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上且，则此椭圆离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
2.已知点P在圆上，点Q在椭圆上，则=___________。
3．已知点A,B在抛物线上，且A,B满足，则线段的中点到轴距离的最小值为：___________。
4. 已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，
＋＝(－4，－12)．
（1）求直线l和抛物线C的方程；
（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．
5. （2010浙江）(21) （本题满分15分）已知m＞1，直线，
椭圆，分别为椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为．若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围．
答案
例1
（Ⅰ）解：设动圆圆心为，则，所以动圆圆心是以为焦点的椭圆，方程为。
（Ⅱ）设，代入得：，设，
则，解得：
（1） 若，则
，
（取等号。）
（2）若或则
四点围成的四边形面积的最大值为。
例2
解　(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．
∴所求轨迹的方程为x2＝4y.
(2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，
与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
∵直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为(－，－1)，
·＝(x1＋，y1＋1)·(x2＋，y2＋1)
＝(x1＋)(x2＋)＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋(＋2k)(x1＋x2)＋＋4
＝－4(1＋k2)＋4k(＋2k)＋＋4＝4(k2＋)＋8，
∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．
·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.
练习4
分析　(1)根据根与系数关系和＋＝(－4，－12)列方程组，利用待定系数法求解；
(2)线段AB的长度为定值，只要求点P到直线AB的最大值即可．
解析　(1)由得x2＋2pkx－4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
因为＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以解得
所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.
(2)解法一：设P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大，y′＝－x，所以－x0＝2 x0＝－2，y0＝－x＝－2，所以P(－2，－2)．
此时点P到直线l的距离d＝＝＝，由得x2＋4x－4＝0，
|AB|＝·
＝·＝4.
∴△ABP的面积最大值为＝8.
解法二：由得x2＋4x－4＝0，
|AB|＝·＝·＝4，
设P(t，－t2)(－2－2因为AB为定值，当点P到直线l的距离d最大时，△ABP的面积最大，d＝＝，
因为－2－2∴△ABP的面积最大值为＝8.
练习5
解：（Ⅰ）由题设知,
根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，
设其方程为
则， ，，所以的方程为. ……5分
（II）依题设直线的方程为.将代入并整理得，
. . …6分
设，，
则， ……7分
设的中点为，则，，即. ……8分
因为，
所以直线的垂直平分线的方程为，…9分
令解得，， ……10分
当时，因为，所以； …12分
当时，因为，所以. ……13分
综上得点纵坐标的取值范围是. ……14分
PAGE
2

展开更多......

收起↑