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圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：
例1：已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x0,y0），
则AB所在直线为y=－x＋b.
与椭圆联立得：x2－2bx＋4b2－12=0，
∴ x0= = ,
y0= = EQ \F(－x1＋b－x2＋b,2) = .
∵ C在y=4x＋m上,
∴= ×4＋m, b=－ .
又∵ △=4b2－4× (4b2－12)=4b2－52b2＋13×12>0,
故 b2<,即 <，
解得：－ EQ \F(2,13) 由此解题过程不难归纳出步骤如下：
1．假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程.
2．联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.
3．把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.
4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.
利用此通法、步骤可解决以下类似问题：
1．已知双曲线x2－ =1,双曲线存在关于直线l：y=k x＋4的对称点，求k的取值范围.
注：对于此类求斜率k范围要考虑k=0和k≠0，因为要用到－ .
2．k为何值时，抛物线y2=x上总存在两点关于直线l：y=k（x－1）＋1对称.
在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题：
1o弦中点位置问题
椭圆 双曲线 抛物线
弦中点在内部 弦中点在Ⅰ（交点在同一支上） 弦中点在抛物线“内部”
或Ⅱ（交点不在同一支上）
2o范围问题
椭圆 ＋=1 双曲线 抛物线
M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则
＋<1 － >1或 －<0 y2－2px<0 (p>0)
(焦点在x轴上) y2＋2px<0 (p>0)
－>1或 －<0 x2－2py<0 (p>0)
（焦点在y轴上） x2＋2py<0 (p>0)
在此基础上用第二种通法来解例1：
已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x,y），则
3x12＋4y12=12,
3x22＋4y22=12, 得 =－ =－ =－ ,
∴ y=3x.
联立y=4x＋m,解的x=－m,y=－3m,
∵M在椭圆内部，
∴＋<1,即－ EQ \F(2,13) 这种通法的步骤是：
1o设出两点和中点坐标（x，y）；
2o用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；
3o联立直线方程，求出交点，即中点；
4o由中点位置及对应范围求出参数取值范围.
另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法：
例2：在抛物线y= ax2－1上存在两点关于直线x＋y=0对称，求a的范围.
解：显然a≠0.
设存在两点为A（x1,y1）、B(x2,y2)，
= = a（x1＋x2）=1，即x1＋x2= ，
＋=0，即x1x2= ，
因为存在这样的两点，
故方程x2－ x＋=0的△>0，
即 －4>0，a>.
这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围.
当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.

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