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圆锥曲线中的最值和范围问题
高考在考什么
【考题回放】
1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)
2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（ ）
(A) (B) (C) (D)
5．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .
6．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.
高考要考什么
【考点透视】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式0。
突破重难点
【范例1】已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的最小值为．
（１）求动点P的轨迹方程；
（２）若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上且，求实数的取值范围．
【范例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。
【范例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
【范例4】已知△OFQ的面积为，
（1）设，求OFQ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），
当 取得最小值时，
求此双曲线的方程。
自我提升
1．设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为F1(-c，0)，则△F1AB的面积最大为（ ）
A．bc B．ab C．ac D．b2
2．已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ）
A．10 B． C． D．
3．已知双曲线，过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，若|AB|=5，则直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1, 到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 （ ）
A．5 B．4 C． （D）
5．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为____
6．抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________
7．如图，已知A、B是椭圆的两个顶点，
C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD
面积的最大值是_______
8．如图3，抛物线y2=4x的一段与椭圆的一段围成封闭图形，点N（1，0）在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x轴，
求△NAB的周长l的取值范围。
9．求实数m的取值范围，使抛物线y2=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称
10．已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB，且满足kPAkPB=t (t≠0且t≠－1).
（１）求动点P的轨迹C的方程；
（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．
圆锥曲线中的最值和范围问题
高考在考什么
【考题回放】
1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )
A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)
2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ B ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）
(A) (B) (C) (D)
5．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 .
6．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.
【专家解答】（1）法1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.
记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组
的解. 将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，
所以
于是
设点P的坐标为(x,y), 则
消去参数k得4x2+y2-y=0 ③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0
解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以
④ ⑤
④—⑤得，
所以
当时，有 ⑥
并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0 ⑧
当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为
（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
（2）由点P的轨迹方程知所以
故当，取得最小值，最小值为
当时，取得最大值，最大值为
高考要考什么
【考点透视】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式0。
突破重难点
【范例1】已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的最小值为．
（１）求动点P的轨迹方程；
（２）若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上且，求实数的取值范围．
讲解　(１)由题意c2=5．设|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理, 得
．
又·，
当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1||PF2| 取最大值，
此时cosF1PF2取最小值，令，
解得a2=9，，∴b2=4，故所求P的轨迹方程为.
（２）设N(s,t)，M(x,y)，则由，可得(x，y-3) =(s，t-3)，
故x=s，y=3+(t-3).
∵M、N在动点P的轨迹上，
且，
消去s可得，解得，
又|t|2，∴，解得，
故实数的取值范围是．
【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．
【范例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。
解析：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义
于是 为定值
其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为
所以，当取得最小值时，B点坐标为
【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。
【范例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②
将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当时，
此时
【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
【范例4】已知△OFQ的面积为，
（1）设，求OFQ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。
解析：（1）设OFQ =
（2）设所求的双曲线方程为
∴，∴
又∵，∴
当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标是或
，所求方程为
【点晴】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。
自我提升
1．设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为F1(-c，0)，则△F1AB的面积最大为（ A ）
A．bc B．ab C．ac D．b2
2．已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ C ）
A．10 B． C． D．
3．已知双曲线，过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，若|AB|=5，则直线l有（ B ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1, 到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 （ C ）
A．5 B．4 C． （D）
5．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为____
.
6．抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________，1）
7．如图，已知A、B是椭圆的两个顶点，
C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD
面积的最大值是_______
8．如图3，抛物线y2=4x的一段与椭圆的一段围成封闭图形，点
N（1，0）在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x轴，求△NAB
的周长l的取值范围。
解：易知N为抛物线y2=4x的焦点，又为椭圆的右焦点，
抛物线的准线l1：x=-1，椭圆的右准线l2：x=4，
过A作ACl1于C，过B作BDl2于D，
则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。
由，得抛物线与椭圆的交点M的横坐标
而|BN|=e|BD|=|BD|,|AN|=|AC|
∴△NAB的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|
=|BC|+|BD|=|BC|+|BD|-|BD|
=|CD|-|BD|=5-|BD|
，即
，即l的取值范围为（，4）
9．求实数m的取值范围，使抛物线y2=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称
解法1：设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=m(x-3)对称，A，B中点M(x,y)，则当m=0时，有直线y=0，显然存在点关于它对称。
当m0时，
所以，所以M的坐标为，∵M在抛物线内，
则有，得且m0，综上所述，
解法2：设两点为A(x1，y1),B(x2，y2)，它们的中点为M(x，y)，两个对称点连线的方程为x=-my+b，与方程y2=x联立，得y2+my-b=0 所以 y1+y2= -m，即，
又因为中点M在直线y=m(x-3)上，所以得M的坐标为
又因为中点M在直线x=-my+b上，，
对于，有=m2+4b=10-m2>0，所以。
10．已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB，且满足kPAkPB=t (t≠0且t≠－1).
（１）求动点P的轨迹C的方程；
（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．
解：(１) 设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)
+=1，轨迹C的方程为+=1（x≠2）.
(２) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2, 则r1+ r2=2a=4.
在△F1PF2中，|F1F2|=2c=4, ∠F1PF2=120O，由余弦定理得
4c2=r+r－2r1r2cos120= r+r+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,
∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.
所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2, 则r1+ r2=2a= -4t,
在△F1PF2中，|F1F2|=2c=4.∠F1PF2=120O，由余弦定理得
4c2=r+r－2r1r2cos120= r+r+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,
∴16（-1-t）≥-12t, ∴t≤－4.
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O　
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是.
①
②
图3
A
B
N
O
x
y
y
x
O
N
B
A
图3
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