资源简介

(共14张PPT)
专题十 计数原理
10.1 计数原理、排列与组合
考点　计数原理、排列、组合
1.两个计数原理的联系与区别
2.排列与排列数
1)排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序
原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言的 区别一 每类办法都能独立完成这件事,
它是独立的、一次的,且每次得
到的是最后结果,只需一种方法
就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果,任
何一步都不能独立完成这件事,
缺少任何一步也不可,只有各步
骤都完成了才能完成这件事
区别二 各类办法之间是互斥的、并列
的、独立的 各步之间是相互依存的,并且既
不能重复也不能遗漏
排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作 .
【注意】 易混淆排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数而是一件
事,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数.
3.组合与组合数
1)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作 .
【注意】 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺
序有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.
4.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1) =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= ;
(2) =
=
= .(n,m∈N*,且m≤n)
特别地, =1
性质 (1)0!=1;(2) =n!;(3) = ;(4) = +
考法一　排列问题的解决方法

例1 在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目:(写出必要的数
学式,结果用数字作答)
(1)三名女生不能相邻,有多少种不同的站法
(2)四名男生相邻,有多少种不同的站法
(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的站法
(4)甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同的站法 (甲、乙、丙三
位同学身高互不相等)
(5)现有7个座位连成一排,仅安排4名男生就座,恰好有两个空座位相邻的
不同坐法共有多少种
解析 (1)根据题意,分2步进行分析:
①将4名男生全排列,有 =24种情况,排好后有5个空位.②在5个空位中任
选3个,安排3名女生,有 =60种情况.
则三名女生不能相邻的排法有24×60=1 440种.
(2)根据题意,分2步进行分析:
①将4名男生看成一个整体,考虑4人间的顺序,有 =24种情况.②将这个
整体与三名女生全排列,有 =24种情况.
则四名男生相邻的排法有24×24=576种.
(3)根据题意,分2种情况讨论:
①女生甲站在右端,其余6人全排列,有 =720种站法.②女生甲不站在右
端,有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,
有 =120种站法,则此时有5×5×120=3 000种站法.
则一共有720+3 000=3 720种站法.
(4)根据题意,首先把7名同学全排列,共有 种结果,甲、乙、丙三人内部
的排列共有 =6种结果,要使甲、乙、丙三个人按照高矮顺序排列,则有
=840种结果.
(5)7个座位连成一排,仅安排4名男生就座,还有3个空座位,分2步进行分
析:
①将4名男生全排列,有 种情况,排好后有5个空位.②将3个空座位分成
2、1的2组,在5个空位中任选2个,安排2组空座位,有 种情况,则有 =
480种排法.
考法二　组合问题的常见解法

例2 (2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普
通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有　　　
种不同的选法.(用数字作答)
解析 从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为 - =55.从4人
中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为 =12种.故总共有55×
12=660种选法.
答案 660
考法三　分组与分配问题的解题方法

例3 (2020北京八中10月月考,10)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部
分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分
法种数是　　　 .
解析 5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4
种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4 =96.
答案 96
例4 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
解析 (1)无序不均匀分组问题.
先选1本,有 种选法;再从余下的5本中选2本,有 种选法;最后余下3本
全选,有 种选法.故共有 =60(种).
(2)有序不均匀分组问题.
由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)问基础上,还应考虑再分配,共有
=360(种).
(3)无序均匀分组问题.
先选2本,再从余下的4本中选2本,最后余下2本全选,有 种方法,但
是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二
步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则 种分法中
还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有
种情况,而这 种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种
分法,故分配方式有 =15(种).
(4)有序均匀分组问题.
在第(3)问的基础上再分配给3个人,共有分配方式 · = =90(种).
(5)无序部分均匀分组问题.共有 =15(种).
(6)有序部分均匀分组问题.
在第(5)问的基础上再分配给3个人,共有分配方式 · =90(种).
(7)直接分配问题.
甲选1本,有 种方法;乙从余下的5本中选1本,有 种方法;余下4本留给
丙,有 种方法.共有分配方式 =30(种).

展开更多......

收起↑