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反比例函数专题之易错题、典型题
要点一、反比例函数的概念
基础知识归纳： 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
基本方法归纳：判断一个函数是否是反比例函数关键是看它的横纵坐标的乘积k是否为一个非零常数．
注意问题归纳：当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑k 0及指数为-1．
要点二、反比例函数的性质
基础知识归纳：当k＞0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限．在每个象限内，y随x 的增大而减小．当k＜0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限．在每个象限内，随x 的增大而增大．
基本方法归纳：关键是熟练掌握反比例函数的性质．
注意问题归纳：准确抓住“在每个象限内”是解答关键．
要点三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系
基础知识归纳：反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等都等于k．
基本方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合．
注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．
要点四、反比例函数与一次函数的综合运用
基础知识归纳：一次函数与反比例函数的交点坐标为对应方程组的解
基本方法归纳：列方程组是关键．
注意问题归纳：坐标要准确，利用增减性时要分象限考虑．
要点五、反比例函数的图象和k的几何意义
基础知识归纳：主要涉及到与三角形、四边形面积问题，线段长度和坐标．
基本方法归纳：数形结合思想，坐标线段间的相互转化．
注意问题归纳：在确定k的值时一定要注意符号问题．
类型一、：反比例函数的性质易错题
1. 点（2，﹣4）在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A．（2，4）　　　　B．（﹣1，﹣8）　　　　C．（﹣2，﹣4）　　　　D．（4，﹣2）
举一反三：
【变式1】已知点在反比例函数的图像上，则与的大小关系
为 .
【变式2】一次函数与反比例函数，其中为常数，它们在同一坐标系中的图像可以是( )
【变式3】已知的三个顶点为，将向右平移
个单位长度后，某边的中点恰好落在反比例函数的图像上，则的值
为 .
类型二、有关于反比例函数图象的易错题．
2. 点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数 图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2　　　　　　
B．y1=y2　　　　　　
C．y1＜y2　　　　　　
D．不能确定
举一反三：
【变式1】.反比例函数图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （　　）
A．y1＜y2＜y3　　　　　
B．y2＜y1＜y3　　　　　
C．y2＜y3＜y1　　　　　
D．y1＜y3＜y2
【变式2】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD，反比例函数（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（　　）
A．　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
【变式3】如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（　　）
A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D．
类型三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系
3. 如图，已知点A，B分别在反比例函数和的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为 ．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像相交于点，则不等式的解集为( )
A. B. 或
C. D. 或
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，其边长为2，点，点分别在轴，轴的正半轴上.函数的图像与交于点，函数为常数，)的图像经过点，与交于点，与函数的图像在第三象服内交于点，连接.
(1)求函数的表达式，并直接写出两点的坐标;
(2)求的面积.
类型四、反比例函数与一次函数的综合运用
4. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式的解集．
举一反三：
【变式1】
如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y（微克/毫升）用药后的时间x（小时）变化的图象（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．并测得当y=a时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABCD的对称中心．边AB与x轴平行，点B（1，-2），反比例函数（k≠0）的图象经过A，C两点．
（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
（2）直线BC与反比例函数图象的另一交点为E，求以O，C，E为顶点的三角形的面积．
类型五、反比例函数的图象和k的几何意义
5. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 ．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　）
A．　　　　B．10　　　　C．　　　　D．
【变式2】如图，直线y=2x+4与反比例函数的图象相交于A（﹣3，a）和B两点．
（1）求k的值；
（2）直线y=m（m＞0）与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于点N．若MN=4，求m的值；
（3）直接写出不等式的解集．
参考答案
类型一、：反比例函数的性质易错题
1. 点（2，﹣4）在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A．（2，4）　　　　B．（﹣1，﹣8）　　　　C．（﹣2，﹣4）　　　　D．（4，﹣2）
【思路点拨】
由点（2，﹣4）在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为k值，由此即可得出结论．
【答案与解析】D．
【总结升华】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是关键．
举一反三：
【变式1】已知点在反比例函数的图像上，则与的大小关系
为 .
【答案】
【变式2】一次函数与反比例函数，其中为常数，它们在同一坐标系中的图像可以是( )
【答案】C
【变式3】已知的三个顶点为，将向右平移
个单位长度后，某边的中点恰好落在反比例函数的图像上，则的值
为 .
【答案】0.5或4
类型二、有关于反比例函数图象的易错题．
2. 点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数 图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2　　　　　　
B．y1=y2　　　　　　
C．y1＜y2　　　　　　
D．不能确定
【思路点拨】
根据反比例函数图象的增减性进行填空．
【答案与解析】A
【总结升华】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数图象与系数的关系以及函数图象的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】.反比例函数图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （　　）
A．y1＜y2＜y3　　　　　
B．y2＜y1＜y3　　　　　
C．y2＜y3＜y1　　　　　
D．y1＜y3＜y2
【答案】∵反比例函数 中，k=3＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜0＜x3，∴（x1，y1）、（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0＜y3．故选B．
【变式2】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD，反比例函数（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（　　）
A．　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
【答案】
同理，可求出点D的坐标为（6﹣a，a）．
∵反比例函数（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，∴k=a×a=（6﹣a）×a，∴a=，k=．故选A．
【变式3】如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（　　）
A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D．
【答案】
类型三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系
3. 如图，已知点A，B分别在反比例函数和的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为 ．
【思路点拨】设A（a，b），则B（2a，2b），将点A、B分别代入所在的双曲线方程进行解答．
【答案与解析】
【总结升华】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的 点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像相交于点，则不等式的解集为( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，其边长为2，点，点分别在轴，轴的正半轴上.函数的图像与交于点，函数为常数，)的图像经过点，与交于点，与函数的图像在第三象服内交于点，连接.
(1)求函数的表达式，并直接写出两点的坐标;
(2)求的面积.
【答案】(1)函数的表达式: ，;
(2)的面积为.
类型四、反比例函数与一次函数的综合运用
4. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式的解集．
【思路点拨】
（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【答案与解析】
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，不等式的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
【总结升华】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．待定系数法求一次函数解析式．
举一反三：
【变式1】
如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y（微克/毫升）用药后的时间x（小时）变化的图象（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．并测得当y=a时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？
【答案】
【变式2】（涉及初三三角函数）如图，已知等边三角形OAB与反比例函数（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则的值为 ．（已知sin15°=）
【答案】
CNO是等腰直角三角形，∴CN=ON，设CN=x，则OC=，∴OB=，∴ =，∴BF=，∵BF⊥x轴，CN⊥x轴，∴BF∥CN，∴△BDF∽△CDN，∴ ==，故答案为：．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABCD的对称中心．边AB与x轴平行，点B（1，-2），反比例函数（k≠0）的图象经过A，C两点．
（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
（2）直线BC与反比例函数图象的另一交点为E，求以O，C，E为顶点的三角形的面积．
【答案】（1）连结AC，BD，∵坐标原点O是菱形ABCD的对称中心，∴AC，BD相交于点O，且∠AOB=90°，∵B（1，﹣2），且AB∥x轴，∴设A（a，﹣2），则AO2=a2+4，BO2=5，AB2=（1﹣a）2，在Rt△AOB中，由勾股定理得（1﹣a）2=a2+4+5，解得a=﹣4，∴A（﹣4，﹣2），∴C（4，2），∵反比例函数（k≠0）的图象经过A，C两点，∴反比例函数解析式为；
（2）连结OE，则△OCE是以O，C，E为顶点的三角形，设直线BC的解析式为y=kx+b，∵点B（1，﹣2），C（4，2）在该直线上，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设其与y轴交于点F（0，），∵反比例函数为，∴，解得x1=4，x2=，∴点E的横坐标为，∴以O，C，E为顶点的三角形的面积==．
类型五、反比例函数的图象和k的几何意义
5. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 ．
【思路点拨】
易证S菱形ABCO=2S△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入反比例函数即可解题．
【答案与解析】
作DE∥AO，CF⊥AO，设CF=4x，∵四边形OABC为菱形，∴AB∥CO，AO∥BC，∵DE∥AO，∴S△ADO=S△DEO，同理S△BCD=S△CDE，∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，∴S菱形ABCO=2（S△DEO+S△CDE）=2S△CDO=40，∵tan∠AOC=，∴OF=3x，∴OC= =5x，∴OA=OC=5x，∵S菱形ABCO=AO CF=20x2，解得：x=，∴OF=，CF=，∴点C坐标为（﹣，），∵反比例函数的图象经过点C，∴代入点C得：k=﹣24，故答案为：﹣24．
【总结升华】
本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO=2S△CDO是解题的关键．
考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．菱形的性质；4．解直角三角形；5．综合题．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　）
A．　　　　B．10　　　　C．　　　　D．
【答案】
的最小值，∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =，故选C．
【变式2】如图，直线y=2x+4与反比例函数的图象相交于A（﹣3，a）和B两点．
（1）求k的值；
（2）直线y=m（m＞0）与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于点N．若MN=4，求m的值；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）∵点A（﹣3，a）在y=2x+4与的图象上，∴2×（﹣3）+4=a，∴a=﹣2，∴k=（﹣3）×（﹣2）=6；
（2）∵M在直线AB上，∴M（，m），N在反比例函数上，∴N（，m），∴MN=xN﹣xm=﹣=4或xM﹣xN=﹣=4，解得：∵m＞0，∴m=2或m=；
（3）由，得，∴，∴，∴或，得：或，∴此时x＜﹣1，由，得：，∴5＜x＜6．
综上，原不等式的解集是：x＜﹣1或5＜x＜6．

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